9. (2025·南京期中)图①是一把“U形”尺,图②是该尺内侧的示意图,已知边 $AB ⊥ BC$,边$CD ⊥ BC,AB=CD=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}.$
算一算
将该尺摆放在一些圆上,测量并计算圆的半径$r$.
(1) 如图③,点 $A,B,C,D$ 恰好都在圆上,则 $r=$ cm.
(2) 如图④,该尺的 $AB$ 边与圆相切于点 $P$,且点 $P$ 在该尺上的读数为 1 cm,点 $D$ 在圆上,则$r=$ cm.
(3) 如图⑤,该尺的 $AB$ 边与圆有两个公共点$P,Q$,它们在该尺上的读数分别为 5 cm,1 cm,$CD$ 边与圆也有两个公共点,其中一个公共点$R$ 在该尺上的读数为 2 cm,求 $r$ 的值.
想一想
(4)若将该尺摆放在一个圆上(尺子只摆放一次,圆的圆心未标注),一定可以通过测量并计算出该圆的半径 $r$ 吗? 如果可以,说明理由;如果不一定可以,请直接写出可计算出的$r$ 的最小值和最大值.

(1) 解析:连接 $AC$,由题意可知,$AB=CD=6\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,$AB⊥ BC$,则 $∠ ABC=90°$,$\therefore AC$ 为直径,由勾股定理可得 $AC=2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$,$\therefore r=\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$.
(2) 解析:如图①,连接圆心 $O$ 与切点 $P$,交 $CD$ 于点 $Q$,连接 $OD$,则 $OP⊥ AB$,由题意可知,$BP=1\ \mathrm{cm}$,$\because AB⊥ BC$,$CD⊥ BC$,$\therefore$ 四边形 $BCQP$ 为矩形,$\therefore PQ=BC=4\ \mathrm{cm}$,$CQ=PB=1\ \mathrm{cm}$,$\therefore OQ=OP-PQ=(r-4)\ \mathrm{cm}$,$DQ=CD-CQ=6-1=5(\mathrm{cm})$,在 $\mathrm{Rt}△ DOQ$ 中,$OD^2=OQ^2+DQ^2$,即 $r^2=(r-4)^2+5^2$,解得 $r=\frac{41}{8}$.
(3) 如图②,过点 $O$ 作 $OM⊥ AB$ 于点 $M$,延长 $MO$ 交 $CD$ 于点 $N$,连接 $OQ,OR$,$\therefore ∠ OMQ=90°$,$MQ=\frac{1}{2}PQ$.$\because AB⊥ BC$,$CD⊥ BC$,$OM⊥ AB$,$\therefore$ 四边形 $BCNM$ 为矩形,$\therefore ∠ ONR=90°$,$BM=CN$,$MN=BC=4\ \mathrm{cm}$,由题意可知,$PB=5\ \mathrm{cm}$,$BQ=1\ \mathrm{cm}$,$CR=2\ \mathrm{cm}$,$\therefore PQ=PB-BQ=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore MQ=\frac{1}{2}PQ=2\ \mathrm{cm}$,$\therefore BM=CN=MQ+BQ=3\ \mathrm{cm}$,则 $NR=CN-CR=1\ \mathrm{cm}$,设 $OM=x\ \mathrm{cm}$,则 $ON=(4-x)\ \mathrm{cm}$,在 $\mathrm{Rt}△ MOQ$ 中,$OQ^2=r^2=OM^2+MQ^2=x^2+2^2$,在 $\mathrm{Rt}△ NOR$ 中,$OR^2=r^2=ON^2+NR^2=(4-x)^2+1^2$,则 $x^2+2^2=(4-x)^2+1$,解得 $x=\frac{13}{8}$,$\therefore r=OQ=\sqrt{(\frac{13}{8})^2+2^2}=\frac{5\sqrt{17}}{8}(\mathrm{cm})$.
(4) 不一定,$r$ 的最小值为 $2\ \mathrm{cm}$,最大值为 $\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$. 解析:如图③,当圆的直径小于 $BC$ 的长度时,此时没有任何读数,则无法测量并计算出圆的半径 $r$;
如图④,当圆与 $AB$ 和 $CD$ 其中一边相交时,也相当于只测得一条弦的长度,也无法得到圆的半径 $r$,$\therefore$ 若将该尺摆放在一个圆上(尺子只摆放一次,圆的圆心未标注),不一定可以通过测量并计算出该圆的半径 $r$,要能够测出圆的半径,则圆与 $AB,CD$ 都要有交点;
如图⑤,当 $\odot O$ 与 $AB,CD$ 均相切时,直径等于 $BC$ 的长度 $4\ \mathrm{cm}$,即 $\odot O$ 的半径 $r$ 的最小值为 $2\ \mathrm{cm}$;
假设圆心 $O$ 在 $CD$ 右侧,要能测出圆的半径,$\odot O$ 至少要与 $AB$ 相切,与 $CD$ 有交点,令 $\odot O$ 与 $AB$ 相切于点 $P$,与 $CD$ 交于边界点 $D$,如图⑥,由题意可知,$QD≤6$,类比(2)可知,$PQ=4\ \mathrm{cm}$,则 $OQ=(r-4)\ \mathrm{cm}$,由勾股定理可得 $QD^2=OD^2-OQ^2$,$\therefore r^2-(r-4)^2≤36$,整理得 $8r≤52$,$\therefore r≤\frac{13}{2}$,则 $\odot O$ 的半径 $r$ 的最大值为 $\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$.综上,半径 $r$ 的最小值为 $2\ \mathrm{cm}$,最大值为 $\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$.

【分析】
本题围绕U形尺测量圆半径的问题，分四个小问展开：
(1) 利用圆周角定理（90°圆周角对的弦为直径），结合勾股定理计算直径，进而得到半径；
(2) 利用切线性质（切线垂直于过切点的半径）构造直角三角形，结合矩形性质，通过勾股定理列方程求解；
(3) 利用垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）构造两个共斜边（半径）的直角三角形，设未知数后列方程求解；
(4) 分析圆与U形尺边的位置关系，确定能计算半径的条件，进而推导半径的最值。
【解析】
(1) 连接AC，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，
∴AC为圆的直径。在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(6²+4²)=2√13 cm，
∴半径r=AC/2=√13 cm。
(2) 如图①，连接圆心O与切点P，则OP⊥AB。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴四边形BCQP为矩形，
∴PQ=BC=4cm，CQ=PB=1cm，
∴OQ=OP-PQ=r-4，DQ=CD-CQ=6-1=5cm。在Rt△DOQ中，由勾股定理得OD²=OQ²+DQ²，即r²=(r-4)²+5²，解得r=41/8 cm。
(3) 如图②，过O作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OQ、OR。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，OM⊥AB，
∴四边形BCNM为矩形，
∴MN=BC=4cm，BM=CN。由读数得PB=5cm，BQ=1cm，
∴PQ=PB-BQ=4cm，根据垂径定理，MQ=PQ/2=2cm，
∴BM=BQ+MQ=3cm，故CN=3cm，NR=CN-CR=1cm。设OM=x cm，则ON=(4-x)cm。在Rt△MOQ中，OQ²=x²+2²；在Rt△NOR中，OR²=(4-x)²+1²。
∵OQ=OR=r，
∴x²+4=(4-x)²+1，解得x=13/8，
∴r=√((13/8)²+2²)=5√17/8 cm。
(4) 不一定可以计算出r。理由：当圆的直径小于BC长度（4cm），或圆仅与AB、CD中的一边相交时，无法得到足够条件计算半径。当圆与AB、CD均相切时，直径等于BC=4cm，故半径最小值为2cm；当圆与AB相切、与CD交于D点时，由r²-(r-4)²≤6²，解得r≤13/2，故半径最大值为13/2 cm。
【答案】
(1) √13；(2) 41/8；(3) 5√17/8；(4) 不一定，最小值为2cm，最大值为13/2 cm
【知识点】
圆周角定理、切线性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合应用，结合U形尺的测量场景，需灵活运用圆的性质，通过构造直角三角形、方程思想解决问题，对几何直观和逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.6