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4. 新定义:在平面直角坐标系$xOy$中,若几何图形$G$与$\odot A$有公共点,则称几何图形$G$为$\odot A$的关联图形,特别地,若$\odot A$的关联图形$G$为直线,则称该直线为$\odot A$的关联直线.如图①,$∠ M$为$\odot A$的关联图形,直线$l$为$\odot A$的关联直线.
(1)已知$\odot O$是以原点为圆心,2 为半径的圆,下列图形:①直线$y=2x+2$;②直线$y=-x+3$;③双曲线$y=\dfrac{2}{x}$,是$\odot O$的关联图形的是
(2)如图②,$\odot T$的圆心为$T(1,0)$,半径为$1$,直线$l$:$y=-x+b$与$x$轴交于点$N$,若直线$l$是$\odot T$的关联直线,求点$N$的横坐标的取值范围.
(3)如图③,已知点$B(0,2)$,$C(2,0)$,$D(0,-2)$,$\odot I$经过点$C$,$\odot I$的关联直线$HB$经过点$B$,与$\odot I$的一个交点为$P$;$\odot I$的关联直线$HD$经过点$D$,与$\odot I$的一个交点为$Q$;直线$HB$,$HD$交于点$H$,若线段$PQ$在直线$x=6$上且恰为$\odot I$的直径,请直接写出点$H$横坐标$h$的取值范围.
(1)已知$\odot O$是以原点为圆心,2 为半径的圆,下列图形:①直线$y=2x+2$;②直线$y=-x+3$;③双曲线$y=\dfrac{2}{x}$,是$\odot O$的关联图形的是
①③
(填序号).(2)如图②,$\odot T$的圆心为$T(1,0)$,半径为$1$,直线$l$:$y=-x+b$与$x$轴交于点$N$,若直线$l$是$\odot T$的关联直线,求点$N$的横坐标的取值范围.
(3)如图③,已知点$B(0,2)$,$C(2,0)$,$D(0,-2)$,$\odot I$经过点$C$,$\odot I$的关联直线$HB$经过点$B$,与$\odot I$的一个交点为$P$;$\odot I$的关联直线$HD$经过点$D$,与$\odot I$的一个交点为$Q$;直线$HB$,$HD$交于点$H$,若线段$PQ$在直线$x=6$上且恰为$\odot I$的直径,请直接写出点$H$横坐标$h$的取值范围.
答案
4.(1)①③
解析:根据作图可得①③是⊙O的关联图形.
(2)如图
,∵直线l是⊙T的关联直线,
∴直线l的临界状态是与⊙T相切的两条直线l₁和l₂,当临界状态为l₁时,连接TM,
∴TM=1,TM⊥MN.
∵当x=0时,y=b,当y=0时,x=b,
∴∠MNO=45°,
∴TN=√2,
∴ON=1+√2,
∴点N的坐标为(1+√2,0).同理可得当临界状态为l₂时,点N(1-√2,0),
∴1-√2 ≤x_N ≤1+√2.
(3)-6≤h＜0或0＜h≤2
解析:①如图②,
∵只考虑横坐标的取值范围,
∴将⊙I的圆心I平移到x轴上,当点Q在点P的上方时,连接BP,DQ,交于点H.设点H(x,0),直线HB的表达式为y₁=k₁x+2,直线HD的表达式为y₂=k₂x-2,当x=6时,y₁与y₂互为相反数,可得6k₁+2=-6k₂+2,得k₁=-k₂,由图可得IC=4,则PQ=8,
∴y₂-y₁=k₂x-2 -k₁x-2=8,结合k₁=-k₂,解得k₁=-1,k₂=1,
∴y₁=-x+2,当y₁=0时,x=2,
∴H(2,0),h的最大值为2;
②如图
,当点P在点Q的上方时,直线BP,DQ交于点H,当圆心I在x轴上时,设点H(x,0),直线HB的表达式为y₁=k₁x+2,直线HD的表达式为y₂=k₂x-2,当x=6时,y₁与y₂互为相反数,可得6k₁+2=-6k₂+2,得k₁=-k₂,由图可得IC=4,则PQ=8,∴y₁-y₂=k₁x+2 -k₂x+2=8,结合k₁=-k₂,解得k₁=1/3,k₂=-1/3,
∴y₁=1/3 x+2,当y₁=0时,x=-6,
∴H(-6,0),h的最小值为-6;
③当h=0时,两条直线与圆无公共点,不符合题意,
∴h≠0.
综上可得-6≤h＜0或0＜h≤2.
解析
【分析】
本题是新定义题型，需先明确“关联图形”“关联直线”的含义：几何图形与圆有公共点即为关联图形，关联直线是关联图形为直线的情况。
(1) 需判断直线、双曲线与⊙O是否有公共点，可通过圆心到直线的距离（直线）或联立方程（双曲线）判断；
(2) 关联直线的临界状态是直线与圆相切，利用圆心到直线的距离公式求相切时的参数，再结合直线与x轴交点的坐标关系，确定N点横坐标范围；
(3) 结合PQ为⊙I的直径且在直线x=6上，分析两条关联直线HB、HD的临界情况，推导H点横坐标的取值范围，注意排除无公共点的情况。
【解析】
(1) 已知⊙O圆心为原点，半径r=2。
① 直线y=2x+2：圆心O到直线的距离$d_1=\frac{|0 - 0 + 2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx0.894 ＜ 2$，直线与⊙O相交，有公共点，是关联图形；
② 直线y=-x+3：圆心O到直线的距离$d_2=\frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx2.121 ＞ 2$，直线与⊙O相离，无公共点，不是关联图形；
③ 双曲线$y=\frac{2}{x}$：联立$x^2 + y^2=4$与$y=\frac{2}{x}$，得$x^2 + \frac{4}{x^2}=4$，整理为$(x^2-2)^2=0$，解得$x^2=2$，存在公共点，是关联图形；
故答案为①③。
(2) 直线l是⊙T的关联直线，即直线l与⊙T有公共点，临界状态为直线l与⊙T相切。
⊙T圆心$T(1,0)$，半径$r=1$，直线$l:y=-x+b$即$x+y - b=0$，圆心T到直线l的距离$d=\frac{|1 + 0 - b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b - 1|}{\sqrt{2}} ≤ r=1$，
解得$|b -1| ≤\sqrt{2} \implies 1 -\sqrt{2} ≤ b ≤1 +\sqrt{2}$。
直线l与x轴交点N的横坐标为b（令$y=0$，得$x=b$），故点N的横坐标取值范围是$1 -\sqrt{2} ≤ x_N ≤1 +\sqrt{2}$。
(3) 结合题意，PQ为⊙I的直径且在直线$x=6$上，分析两条关联直线HB、HD的临界情况：
① 当直线HB、HD与⊙I相切时，求得H的横坐标最大值为2；
② 当直线HB、HD与⊙I相切于另一侧时，求得H的横坐标最小值为-6；
③ 当$h=0$时，两条直线与⊙I无公共点，不符合关联直线要求，故排除$h=0$；
综上，点H横坐标h的取值范围是$-6≤ h＜0$或$0＜h≤2$。
【答案】
(1) ①③；
(2) $1-\sqrt{2} ≤ x_N ≤1+\sqrt{2}$；
(3) $-6≤ h＜0$或$0＜h≤2$；
【知识点】
圆与直线的位置关系，新定义应用，坐标与图形性质
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“关联图形”“关联直线”的定义，结合圆与直线的位置关系（相交、相切）解题，第三问需数形结合分析临界情况，对逻辑推理能力要求较高，是区分度较好的题目。
【难度系数】
0.4
本题是新定义题型，需先明确“关联图形”“关联直线”的含义：几何图形与圆有公共点即为关联图形，关联直线是关联图形为直线的情况。
(1) 需判断直线、双曲线与⊙O是否有公共点，可通过圆心到直线的距离（直线）或联立方程（双曲线）判断；
(2) 关联直线的临界状态是直线与圆相切，利用圆心到直线的距离公式求相切时的参数，再结合直线与x轴交点的坐标关系，确定N点横坐标范围；
(3) 结合PQ为⊙I的直径且在直线x=6上，分析两条关联直线HB、HD的临界情况，推导H点横坐标的取值范围，注意排除无公共点的情况。
【解析】
(1) 已知⊙O圆心为原点，半径r=2。
① 直线y=2x+2：圆心O到直线的距离$d_1=\frac{|0 - 0 + 2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx0.894 ＜ 2$，直线与⊙O相交，有公共点，是关联图形；
② 直线y=-x+3：圆心O到直线的距离$d_2=\frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx2.121 ＞ 2$，直线与⊙O相离，无公共点，不是关联图形；
③ 双曲线$y=\frac{2}{x}$：联立$x^2 + y^2=4$与$y=\frac{2}{x}$，得$x^2 + \frac{4}{x^2}=4$，整理为$(x^2-2)^2=0$，解得$x^2=2$，存在公共点，是关联图形；
故答案为①③。
(2) 直线l是⊙T的关联直线，即直线l与⊙T有公共点，临界状态为直线l与⊙T相切。
⊙T圆心$T(1,0)$，半径$r=1$，直线$l:y=-x+b$即$x+y - b=0$，圆心T到直线l的距离$d=\frac{|1 + 0 - b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b - 1|}{\sqrt{2}} ≤ r=1$，
解得$|b -1| ≤\sqrt{2} \implies 1 -\sqrt{2} ≤ b ≤1 +\sqrt{2}$。
直线l与x轴交点N的横坐标为b（令$y=0$，得$x=b$），故点N的横坐标取值范围是$1 -\sqrt{2} ≤ x_N ≤1 +\sqrt{2}$。
(3) 结合题意，PQ为⊙I的直径且在直线$x=6$上，分析两条关联直线HB、HD的临界情况：
① 当直线HB、HD与⊙I相切时，求得H的横坐标最大值为2；
② 当直线HB、HD与⊙I相切于另一侧时，求得H的横坐标最小值为-6；
③ 当$h=0$时，两条直线与⊙I无公共点，不符合关联直线要求，故排除$h=0$；
综上，点H横坐标h的取值范围是$-6≤ h＜0$或$0＜h≤2$。
【答案】
(1) ①③；
(2) $1-\sqrt{2} ≤ x_N ≤1+\sqrt{2}$；
(3) $-6≤ h＜0$或$0＜h≤2$；
【知识点】
圆与直线的位置关系，新定义应用，坐标与图形性质
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“关联图形”“关联直线”的定义，结合圆与直线的位置关系（相交、相切）解题，第三问需数形结合分析临界情况，对逻辑推理能力要求较高，是区分度较好的题目。
【难度系数】
0.4
