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1. 用公式法解方程$\sqrt{2}x^{2}+4\sqrt{3}x=2\sqrt{2}$，其中求得$b^{2}-4ac$的值是（
A.16
B.$\pm4$
C.32
D.64
D
）A.16
B.$\pm4$
C.32
D.64
答案
D 解析:方程$\sqrt{2}x^{2}+4\sqrt{3}x=2\sqrt{2}$整理得$\sqrt{2}x^{2}+4\sqrt{3}x-2\sqrt{2}=0$，$\therefore a=\sqrt{2},b=4\sqrt{3},c=-2\sqrt{2},\therefore b^{2}-4ac=(4\sqrt{3})^{2}-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=64$,故选D.
解析
【分析】
要解决这道题，需先将给定的一元二次方程整理为标准形式$ax^2+bx+c=0$，再准确确定$a$、$b$、$c$的值，最后代入根的判别式公式$b^2-4ac$计算，重点注意移项后常数项的符号，避免计算错误。
【解析】
首先将原方程移项化为一元二次方程的一般形式：
$\sqrt{2}x^{2}+4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2}=0$
根据一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
$a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$
代入根的判别式公式计算：
$b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2 - 4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})$
$=16×3 - 4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})$
$=48 + 8×(\sqrt{2}×\sqrt{2})$
$=48 + 8×2$
$=48+16=64$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的计算，解题核心是正确将方程化为一般形式并准确确定$a$、$b$、$c$的取值，尤其注意常数项移项后的符号，计算时需细心处理根式运算，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先将给定的一元二次方程整理为标准形式$ax^2+bx+c=0$，再准确确定$a$、$b$、$c$的值，最后代入根的判别式公式$b^2-4ac$计算，重点注意移项后常数项的符号，避免计算错误。
【解析】
首先将原方程移项化为一元二次方程的一般形式：
$\sqrt{2}x^{2}+4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2}=0$
根据一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
$a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$
代入根的判别式公式计算：
$b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2 - 4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})$
$=16×3 - 4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})$
$=48 + 8×(\sqrt{2}×\sqrt{2})$
$=48 + 8×2$
$=48+16=64$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的计算，解题核心是正确将方程化为一般形式并准确确定$a$、$b$、$c$的取值，尤其注意常数项移项后的符号，计算时需细心处理根式运算，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
2. (2025·娄底期中)利用公式法解得一元二次方程$3x^{2}-11x-1=0$的两个根为a,b,且$a＞b$,则a的值为（
D
）答案
D 解析:$\because 3x^{2}-11x-1=0,\therefore a=3,b=-11,c=-1,\therefore b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4×3×(-1)=133＞0,\therefore x=\frac{11\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}.\because$ 一元二次方程$3x^{2}-11x-1=0$的两个根为$a,b$,且$a＞b,\therefore a$的值为$\frac{11+\sqrt{133}}{6}$,故选D.
解析
【分析】
要解决这个问题，需运用一元二次方程的公式法求解根：先确定方程的系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式得到两个根，最后根据“a＞b”的条件选出较大的根。
【解析】
对于一元二次方程$3x^{2}-11x-1=0$，其中二次项系数$A=3$，一次项系数$B=-11$，常数项$C=-1$。
1. 计算判别式：$\Delta = B^2 - 4AC = (-11)^2 - 4×3×(-1) = 121 + 12 = 133$，因$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x = \frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}$，可得：
$x = \frac{11\pm\sqrt{133}}{2×3} = \frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$。
3. 已知两根$a,b$满足$a＞b$，故较大的根为$\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，即$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；判别式
【点评】
本题考查一元二次方程公式法的应用，核心是牢记求根公式，准确确定系数、计算判别式，再结合根的大小关系选择结果，属于基础题型，需注意系数符号的处理。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需运用一元二次方程的公式法求解根：先确定方程的系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式得到两个根，最后根据“a＞b”的条件选出较大的根。
【解析】
对于一元二次方程$3x^{2}-11x-1=0$，其中二次项系数$A=3$，一次项系数$B=-11$，常数项$C=-1$。
1. 计算判别式：$\Delta = B^2 - 4AC = (-11)^2 - 4×3×(-1) = 121 + 12 = 133$，因$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x = \frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}$，可得：
$x = \frac{11\pm\sqrt{133}}{2×3} = \frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$。
3. 已知两根$a,b$满足$a＞b$，故较大的根为$\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，即$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；判别式
【点评】
本题考查一元二次方程公式法的应用，核心是牢记求根公式，准确确定系数、计算判别式，再结合根的大小关系选择结果，属于基础题型，需注意系数符号的处理。
【难度系数】
0.7
3. (2025·保定期中)用公式法解一元二次方程
得 $y=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$,请你写出一个满足条
件的方程:
得 $y=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$,请你写出一个满足条
件的方程:
$3y^{2}+5y-1=0$(合理即可)
.答案
$3y^{2}+5y-1=0$(合理即可) 解析:设该方程为$ay^{2}+by+c=0$($a≠0$),由$y=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$得有以下其中一种情况:$a=3,b=5,c=-1$,此时该方程为$3y^{2}+5y-1=0$.
解析
【分析】
要写出满足条件的一元二次方程，需利用一元二次方程的求根公式逆推：对于一元二次方程$ay^2 + by + c = 0$（$a≠0$），其求根公式为$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。题目给出的根的形式与求根公式对比，可分别确定$a$、$b$、$c$的值，进而得到方程。
【解析】
设所求一元二次方程为$ay^2 + by + c = 0$（$a≠0$），根据求根公式，方程的根为$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
对比题目给出的根$y=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$，可得：
1. 分母$2a = 2×3$，解得$a=3$；
2. 分子中$-b = -5$，解得$b=5$；
3. 根号内$b^2 - 4ac = 5^2 + 4×3×1$，将$a=3$、$b=5$代入得：$25 - 12c = 25 + 12$，解得$c=-1$。
因此满足条件的方程为$3y^2 + 5y -1=0$（合理即可）。
【答案】
$3y^2 +5y -1=0$（合理即可）
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的逆用，核心是掌握求根公式的结构，通过对比系数确定方程的各项系数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要写出满足条件的一元二次方程，需利用一元二次方程的求根公式逆推：对于一元二次方程$ay^2 + by + c = 0$（$a≠0$），其求根公式为$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。题目给出的根的形式与求根公式对比，可分别确定$a$、$b$、$c$的值，进而得到方程。
【解析】
设所求一元二次方程为$ay^2 + by + c = 0$（$a≠0$），根据求根公式，方程的根为$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
对比题目给出的根$y=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$，可得：
1. 分母$2a = 2×3$，解得$a=3$；
2. 分子中$-b = -5$，解得$b=5$；
3. 根号内$b^2 - 4ac = 5^2 + 4×3×1$，将$a=3$、$b=5$代入得：$25 - 12c = 25 + 12$，解得$c=-1$。
因此满足条件的方程为$3y^2 + 5y -1=0$（合理即可）。
【答案】
$3y^2 +5y -1=0$（合理即可）
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的逆用，核心是掌握求根公式的结构，通过对比系数确定方程的各项系数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. 教材变式 已知 $y_{1}=2x^{2}+7x-1$ , $y_{2}=6x+2$ , 当 $x$ 取
$1或-\dfrac{3}{2}$
时 , $y_{1}=y_{2}$.答案
1 或$-\frac{3}{2}$ 解析:令$2x^{2}+7x-1=6x+2$,整理得$2x^{2}+x-3=0$,$a=2,b=1,c=-3,\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4×2×(-3)}}{2×2}=\frac{-1\pm5}{4}$,得$x=1$或$-\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
要找到使$y_1=y_2$的$x$值，核心思路是利用“函数值相等时，自变量满足两个函数表达式相等”，因此先令两个函数表达式相等，转化为一元二次方程，再通过解一元二次方程得到$x$的解。
【解析】
1. 令$y_1=y_2$，可得方程：$2x^2 +7x -1 =6x +2$；
2. 整理方程：将右侧项移到左侧并合并同类项，得$2x^2 +x -3=0$；
3. 确定一元二次方程的系数：$a=2$，$b=1$，$c=-3$；
4. 计算判别式：$\Delta =b^2 -4ac=1^2 -4×2×(-3)=25$；
5. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{-1\pm5}{4}$；
6. 计算根：当取“$+$”时，$x=\frac{-1+5}{4}=1$；当取“$-$”时，$x=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}$。
【答案】
1或$-\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法、函数与方程的转化
【点评】
本题为教材变式题，将函数值相等的问题转化为一元二次方程求解，考查一元二次方程的基本解法，属于基础题型，需掌握函数与方程的联系及求根公式的应用。
【难度系数】
0.7
要找到使$y_1=y_2$的$x$值，核心思路是利用“函数值相等时，自变量满足两个函数表达式相等”，因此先令两个函数表达式相等，转化为一元二次方程，再通过解一元二次方程得到$x$的解。
【解析】
1. 令$y_1=y_2$，可得方程：$2x^2 +7x -1 =6x +2$；
2. 整理方程：将右侧项移到左侧并合并同类项，得$2x^2 +x -3=0$；
3. 确定一元二次方程的系数：$a=2$，$b=1$，$c=-3$；
4. 计算判别式：$\Delta =b^2 -4ac=1^2 -4×2×(-3)=25$；
5. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{-1\pm5}{4}$；
6. 计算根：当取“$+$”时，$x=\frac{-1+5}{4}=1$；当取“$-$”时，$x=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}$。
【答案】
1或$-\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法、函数与方程的转化
【点评】
本题为教材变式题，将函数值相等的问题转化为一元二次方程求解，考查一元二次方程的基本解法，属于基础题型，需掌握函数与方程的联系及求根公式的应用。
【难度系数】
0.7
5. 教材变式 用公式法解下列方程.
(1)$x^{2}+3x+1=0$;
(2)$8x^{2}-2x-3=0$;
(3)$(x-2)(3x-5)=1$;
(4)$\sqrt{3}x^{2}=x+2\sqrt{3}$;
(5)$2(x-3)^{2}-(x+1)(x-1)=18-6x$.
(1)$x^{2}+3x+1=0$;
(2)$8x^{2}-2x-3=0$;
(3)$(x-2)(3x-5)=1$;
(4)$\sqrt{3}x^{2}=x+2\sqrt{3}$;
(5)$2(x-3)^{2}-(x+1)(x-1)=18-6x$.
答案
(1)$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$.
(2)$x_1=\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
(3)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$.
(4)$x_1=\sqrt{3},x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
(5)$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$.
(2)$x_1=\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
(3)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$.
(4)$x_1=\sqrt{3},x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
(5)$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$.
解析
【分析】用公式法解一元二次方程的核心步骤为：①将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②确定$a、b、c$的值；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$；④若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，注意移项时符号的处理，避免计算错误。
【解析】
(1) 方程$x^2+3x+1=0$已是一般形式，其中$a=1$，$b=3$，$c=1$。
判别式$\Delta=3^2 -4×1×1=9-4=5＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$，即$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。
(2) 方程$8x^2-2x-3=0$为一般形式，其中$a=8$，$b=-2$，$c=-3$。
判别式$\Delta=(-2)^2 -4×8×(-3)=4+96=100＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2±\sqrt{100}}{2×8}=\frac{2±10}{16}$，
计算得$x_1=\frac{2+10}{16}=\frac{3}{4}$，$x_2=\frac{2-10}{16}=-\frac{1}{2}$。
(3) 先展开左边：$(x-2)(3x-5)=3x^2-11x+10$，原方程整理为$3x^2-11x+10=1$，移项得一般形式$3x^2-11x+9=0$，其中$a=3$，$b=-11$，$c=9$。
判别式$\Delta=(-11)^2 -4×3×9=121-108=13＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{11±\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11±\sqrt{13}}{6}$，即$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
(4) 移项整理为一般形式：$\sqrt{3}x^2 -x -2\sqrt{3}=0$，其中$a=\sqrt{3}$，$b=-1$，$c=-2\sqrt{3}$。
判别式$\Delta=(-1)^2 -4×\sqrt{3}×(-2\sqrt{3})=1 + 24=25＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{1±\sqrt{25}}{2×\sqrt{3}}=\frac{1±5}{2\sqrt{3}}$，
化简得$x_1=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，$x_2=\frac{-4}{2\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(5) 先展开左边：$2(x-3)^2 - (x+1)(x-1)=2(x^2-6x+9)-(x^2-1)=2x^2-12x+18 -x^2 +1=x^2-12x+19$，
原方程整理为$x^2-12x+19=18-6x$，移项合并得一般形式$x^2-6x+1=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=1$。
判别式$\Delta=(-6)^2 -4×1×1=36-4=32＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{6±\sqrt{32}}{2×1}=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}=3±2\sqrt{2}$，即$x_1=3+2\sqrt{2}$，$x_2=3-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$；
(2)$x_1=\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{2}$；
(3)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$；
(4)$x_1=\sqrt{3},x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(5)$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$。
【知识点】
一元二次方程公式法；一元二次方程一般形式
【点评】
本题为教材变式题，聚焦公式法解一元二次方程的核心步骤，要求学生熟练掌握将方程化为一般形式、确定系数、计算判别式及代入求根公式的操作，需注意移项时的符号处理和根式化简，整体难度适中，是一元二次方程解法的基础巩固题。
【难度系数】
0.5
【解析】
(1) 方程$x^2+3x+1=0$已是一般形式，其中$a=1$，$b=3$，$c=1$。
判别式$\Delta=3^2 -4×1×1=9-4=5＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$，即$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。
(2) 方程$8x^2-2x-3=0$为一般形式，其中$a=8$，$b=-2$，$c=-3$。
判别式$\Delta=(-2)^2 -4×8×(-3)=4+96=100＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2±\sqrt{100}}{2×8}=\frac{2±10}{16}$，
计算得$x_1=\frac{2+10}{16}=\frac{3}{4}$，$x_2=\frac{2-10}{16}=-\frac{1}{2}$。
(3) 先展开左边：$(x-2)(3x-5)=3x^2-11x+10$，原方程整理为$3x^2-11x+10=1$，移项得一般形式$3x^2-11x+9=0$，其中$a=3$，$b=-11$，$c=9$。
判别式$\Delta=(-11)^2 -4×3×9=121-108=13＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{11±\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11±\sqrt{13}}{6}$，即$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
(4) 移项整理为一般形式：$\sqrt{3}x^2 -x -2\sqrt{3}=0$，其中$a=\sqrt{3}$，$b=-1$，$c=-2\sqrt{3}$。
判别式$\Delta=(-1)^2 -4×\sqrt{3}×(-2\sqrt{3})=1 + 24=25＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{1±\sqrt{25}}{2×\sqrt{3}}=\frac{1±5}{2\sqrt{3}}$，
化简得$x_1=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，$x_2=\frac{-4}{2\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(5) 先展开左边：$2(x-3)^2 - (x+1)(x-1)=2(x^2-6x+9)-(x^2-1)=2x^2-12x+18 -x^2 +1=x^2-12x+19$，
原方程整理为$x^2-12x+19=18-6x$，移项合并得一般形式$x^2-6x+1=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=1$。
判别式$\Delta=(-6)^2 -4×1×1=36-4=32＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{6±\sqrt{32}}{2×1}=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}=3±2\sqrt{2}$，即$x_1=3+2\sqrt{2}$，$x_2=3-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$；
(2)$x_1=\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{2}$；
(3)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$；
(4)$x_1=\sqrt{3},x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(5)$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$。
【知识点】
一元二次方程公式法；一元二次方程一般形式
【点评】
本题为教材变式题，聚焦公式法解一元二次方程的核心步骤，要求学生熟练掌握将方程化为一般形式、确定系数、计算判别式及代入求根公式的操作，需注意移项时的符号处理和根式化简，整体难度适中，是一元二次方程解法的基础巩固题。
【难度系数】
0.5
6. (2026·广安期中)定义一种新运算:$a\bigoplus b=$$2a+b,a☆b=a^{2}b$,则方程$(x+1)☆2=(3\bigoplus x)-$2 的解是（
A.$x_{1}=0.5,x_{2}=-2$
B.$x_{1}=0.5,x_{2}=-1$
C.$x_{1}=-0.5,x_{2}=2$
D.$x_{1}=-0.5,x_{2}=1$
A
）A.$x_{1}=0.5,x_{2}=-2$
B.$x_{1}=0.5,x_{2}=-1$
C.$x_{1}=-0.5,x_{2}=2$
D.$x_{1}=-0.5,x_{2}=1$
答案
A 解析:$\because a\bigoplus b=2a+b,a☆b=a^{2}b,\therefore (x+1)☆2=(x+1)^2×2=2(x+1)^2$,$(3\bigoplus x)-2=2×3+x-2=x+4$,$\therefore$ 方程化为$2(x+1)^2=x+4$,即$2x^2+4x+2=x+4$,移项得$2x^2+3x-2=0$,$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×(-2)}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{-3\pm5}{4}$,$\therefore x_1=0.5,x_2=-2$,故选A.
解析
【分析】首先明确题目给出的两种新运算的定义：$a\bigoplus b=2a+b$，$a☆b=a^2b$；然后将方程中的新运算按照定义替换为常规代数运算，得到关于$x$的一元二次方程；最后解这个一元二次方程，得到方程的解，对应选项即可。
【解析】根据新运算定义：
左边：$(x+1)☆2=(x+1)^2×2=2(x+1)^2$，
右边：$(3\bigoplus x)-2=2×3 + x -2 = x +4$，
因此原方程化为：$2(x+1)^2 = x +4$，
展开整理：$2(x^2 +2x +1) = x +4$，
即$2x^2 +4x +2 = x +4$，
移项合并同类项得：$2x^2 +3x -2 =0$，
用求根公式求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
这里$a=2$，$b=3$，$c=-2$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = 3^2 -4×2×(-2)=9 +16=25$，
所以$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2×2}=\frac{-3±5}{4}$，
计算得：$x_1=\frac{-3+5}{4}=0.5$，$x_2=\frac{-3-5}{4}=-2$，
因此方程的解为$x_1=0.5$，$x_2=-2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】本题是新定义运算与一元二次方程结合的基础题型，核心是准确理解新运算的规则，将其转化为常规代数运算后求解一元二次方程，整体难度较低，只要细心运算即可得分。
【难度系数】0.7
【解析】根据新运算定义：
左边：$(x+1)☆2=(x+1)^2×2=2(x+1)^2$，
右边：$(3\bigoplus x)-2=2×3 + x -2 = x +4$，
因此原方程化为：$2(x+1)^2 = x +4$，
展开整理：$2(x^2 +2x +1) = x +4$，
即$2x^2 +4x +2 = x +4$，
移项合并同类项得：$2x^2 +3x -2 =0$，
用求根公式求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
这里$a=2$，$b=3$，$c=-2$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = 3^2 -4×2×(-2)=9 +16=25$，
所以$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2×2}=\frac{-3±5}{4}$，
计算得：$x_1=\frac{-3+5}{4}=0.5$，$x_2=\frac{-3-5}{4}=-2$，
因此方程的解为$x_1=0.5$，$x_2=-2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】本题是新定义运算与一元二次方程结合的基础题型，核心是准确理解新运算的规则，将其转化为常规代数运算后求解一元二次方程，整体难度较低，只要细心运算即可得分。
【难度系数】0.7
7. (2024·南充中考) 当 $2 ≤ x ≤ 5$ 时,一次函数$y=(m+1)x+m^2+1$ 有最大值 6,则实数 $m$ 的值为（
A.$-3$ 或 $0$
B.$0$ 或 $1$
C.$-5$ 或 $-3$
D.$-5$ 或 $1$
A
）A.$-3$ 或 $0$
B.$0$ 或 $1$
C.$-5$ 或 $-3$
D.$-5$ 或 $1$
答案
A 解析:当$m+1＞0$,即$m＞-1$时,一次函数$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ 当$x=5$时,$y=6$,即$5(m+1)+m^2+1=6$,整理得$m^2+5m=0$,解得$m=0$或$m=-5$(舍去);当$m+1＜0$,即$m＜-1$时,一次函数$y$随$x$的增大而减小,$\therefore$ 当$x=2$时,$y=6$,即$2(m+1)+m^2+1=6$,整理得$m^2+2m-3=0$,解得$m=-3$或$m=1$(舍去).综上,$m=0$或$m=-3$,故选A.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一次函数的增减性确定最值对应的自变量：一次函数$y=kx+b$中，当斜率$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大，区间内最大值在$x$最大处；当$k＜0$时，$y$随$x$增大而减小，区间内最大值在$x$最小处。因此分两种情况讨论，再结合$m$的取值范围舍去不符合的解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当斜率$m+1＞0$，即$m＞-1$时，函数$y$随$x$增大而增大，此时在$2≤x≤5$中，最大值在$x=5$处取得。
代入$x=5$，$y=6$得：
$5(m+1)+m^2+1=6$
整理得：$m^2+5m=0$
因式分解：$m(m+5)=0$
解得$m=0$或$m=-5$。
结合$m＞-1$，舍去$m=-5$，得$m=0$。
2. 当斜率$m+1＜0$，即$m＜-1$时，函数$y$随$x$增大而减小，此时在$2≤x≤5$中，最大值在$x=2$处取得。
代入$x=2$，$y=6$得：
$2(m+1)+m^2+1=6$
整理得：$m^2+2m-3=0$
因式分解：$(m+3)(m-1)=0$
解得$m=-3$或$m=1$。
结合$m＜-1$，舍去$m=1$，得$m=-3$。
综上，实数$m$的值为$0$或$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数的最值
【点评】
本题考查一次函数的核心性质，解题关键是根据斜率分情况讨论函数增减性，确定最值对应的自变量后，需验证解是否符合斜率的取值范围，避免错解，是中考常见的中档题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用一次函数的增减性确定最值对应的自变量：一次函数$y=kx+b$中，当斜率$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大，区间内最大值在$x$最大处；当$k＜0$时，$y$随$x$增大而减小，区间内最大值在$x$最小处。因此分两种情况讨论，再结合$m$的取值范围舍去不符合的解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当斜率$m+1＞0$，即$m＞-1$时，函数$y$随$x$增大而增大，此时在$2≤x≤5$中，最大值在$x=5$处取得。
代入$x=5$，$y=6$得：
$5(m+1)+m^2+1=6$
整理得：$m^2+5m=0$
因式分解：$m(m+5)=0$
解得$m=0$或$m=-5$。
结合$m＞-1$，舍去$m=-5$，得$m=0$。
2. 当斜率$m+1＜0$，即$m＜-1$时，函数$y$随$x$增大而减小，此时在$2≤x≤5$中，最大值在$x=2$处取得。
代入$x=2$，$y=6$得：
$2(m+1)+m^2+1=6$
整理得：$m^2+2m-3=0$
因式分解：$(m+3)(m-1)=0$
解得$m=-3$或$m=1$。
结合$m＜-1$，舍去$m=1$，得$m=-3$。
综上，实数$m$的值为$0$或$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数的最值
【点评】
本题考查一次函数的核心性质，解题关键是根据斜率分情况讨论函数增减性，确定最值对应的自变量后，需验证解是否符合斜率的取值范围，避免错解，是中考常见的中档题型。
【难度系数】
0.5
8.（潍坊中考）用与教材中相同型号的计算器，依次按键
，显示结果为2.236067977.借助显示结果，可以将一元二次方程$x^{2}+x-1=0$的正数解近似表示为
，显示结果为2.236067977.借助显示结果，可以将一元二次方程$x^{2}+x-1=0$的正数解近似表示为0.618
.（精确到0.001）答案
0.618 解析:一元二次方程$x^2+x-1=0$中的$a=1,b=1,c=-1$,则$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$,所以这个方程的正数解近似表示为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx\frac{-1+2.236\ 067\ 977}{2}\approx0.618$.
解析
【分析】要解决这个问题，需先利用一元二次方程的求根公式求出方程的解，再筛选出正数解，最后结合题目给出的$\sqrt{5}$的近似值计算结果并按要求取近似值。具体步骤为：1. 确定方程的系数$a、b、c$；2. 代入求根公式得到方程的两个根；3. 找出其中的正数解；4. 代入$\sqrt{5}$的近似值计算，精确到0.001。
【解析】对于一元二次方程$x^2 + x -1 =0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$，根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 -4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
方程的两个根为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，其中正数解为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
已知$\sqrt{5}\approx2.236067977$，代入计算：$\frac{-1 + 2.236067977}{2}=\frac{1.236067977}{2}\approx0.618$（精确到0.001）。
【答案】0.618
【知识点】一元二次方程公式法、近似值计算
【点评】本题考查一元二次方程的公式解法及近似值计算，属于基础题型，需熟练掌握求根公式并准确计算。
【难度系数】0.6
【解析】对于一元二次方程$x^2 + x -1 =0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$，根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 -4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
方程的两个根为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，其中正数解为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
已知$\sqrt{5}\approx2.236067977$，代入计算：$\frac{-1 + 2.236067977}{2}=\frac{1.236067977}{2}\approx0.618$（精确到0.001）。
【答案】0.618
【知识点】一元二次方程公式法、近似值计算
【点评】本题考查一元二次方程的公式解法及近似值计算，属于基础题型，需熟练掌握求根公式并准确计算。
【难度系数】0.6
9. (2025·威海中考)把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形,四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形.若矩形纸片的长为$m$,宽为$n$,四边形$EFGH$的面积等于四边形$ABCD$面积的2倍,则$\dfrac{m}{n}=$
$\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}$
.答案
$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ 解析:根据题意得,四边形$EFGH$的面积$=m^2+(\frac{n}{2})^2=m^2+\frac{n^2}{4}$,四边形$ABCD$的面积$=(m-\frac{n}{2})^2=m^2-mn+\frac{n^2}{4}.\because$ 四边形$EFGH$的面积等于四边形$ABCD$面积的2倍,$\therefore m^2+\frac{n^2}{4}=2(m^2-mn+\frac{n^2}{4})$,整理得,$4m^2-8mn+n^2=0,\therefore 4(\frac{m}{n})^2-8·\frac{m}{n}+1=0$,设$\frac{m}{n}=t(t＞1),\therefore 4t^2-8t+1=0$,解得$t=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$或$t=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$(舍去),$\therefore \frac{m}{n}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先根据图形的边长关系，分别表示出四边形$EFGH$和四边形$ABCD$的面积，再利用“四边形$EFGH$的面积是四边形$ABCD$面积的2倍”这一条件建立方程，通过换元法求解$\frac{m}{n}$的值。首先结合矩形的长$m$、宽$n$，明确两个四边形的面积表达式，再代入面积关系化简方程，最后解一元二次方程得到结果。
【解析】
根据题意，矩形纸片的长为$m$，宽为$n$，结合图形可得：
四边形$EFGH$的面积为$m^2 + \frac{n^2}{4}$，四边形$ABCD$的面积为$(m - \frac{n}{2})^2$。
已知四边形$EFGH$的面积等于四边形$ABCD$面积的2倍，因此列方程：
$m^2 + \frac{n^2}{4} = 2(m - \frac{n}{2})^2$
展开并整理方程：
右边展开得$2(m^2 - mn + \frac{n^2}{4}) = 2m^2 - 2mn + \frac{n^2}{2}$，
移项合并同类项后两边同乘4消去分母，得：
$4m^2 - 8mn + n^2 = 0$
设$\frac{m}{n} = t$（$t＞1$，因$m＞n$），方程两边除以$n^2$得：
$4t^2 - 8t + 1 = 0$
由求根公式解得$t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$，
因$t＞1$，舍去$\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$，故$t = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$，即$\frac{m}{n} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
一元二次方程应用、正方形面积计算、代数式变形
【点评】
本题结合图形面积关系考查一元二次方程的应用，关键是正确表示两个四边形的面积，通过换元法简化方程求解，需注意根据实际意义舍去不合理的根，是代数与几何结合的中等难度题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先根据图形的边长关系，分别表示出四边形$EFGH$和四边形$ABCD$的面积，再利用“四边形$EFGH$的面积是四边形$ABCD$面积的2倍”这一条件建立方程，通过换元法求解$\frac{m}{n}$的值。首先结合矩形的长$m$、宽$n$，明确两个四边形的面积表达式，再代入面积关系化简方程，最后解一元二次方程得到结果。
【解析】
根据题意，矩形纸片的长为$m$，宽为$n$，结合图形可得：
四边形$EFGH$的面积为$m^2 + \frac{n^2}{4}$，四边形$ABCD$的面积为$(m - \frac{n}{2})^2$。
已知四边形$EFGH$的面积等于四边形$ABCD$面积的2倍，因此列方程：
$m^2 + \frac{n^2}{4} = 2(m - \frac{n}{2})^2$
展开并整理方程：
右边展开得$2(m^2 - mn + \frac{n^2}{4}) = 2m^2 - 2mn + \frac{n^2}{2}$，
移项合并同类项后两边同乘4消去分母，得：
$4m^2 - 8mn + n^2 = 0$
设$\frac{m}{n} = t$（$t＞1$，因$m＞n$），方程两边除以$n^2$得：
$4t^2 - 8t + 1 = 0$
由求根公式解得$t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$，
因$t＞1$，舍去$\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$，故$t = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$，即$\frac{m}{n} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
一元二次方程应用、正方形面积计算、代数式变形
【点评】
本题结合图形面积关系考查一元二次方程的应用，关键是正确表示两个四边形的面积，通过换元法简化方程求解，需注意根据实际意义舍去不合理的根，是代数与几何结合的中等难度题。
【难度系数】
0.5
