登录
10. 新考法 定义:如果一个数的平方等于-1,记为 $\mathrm{i}^2=-1$. 如当 $x^2=-1$ 时,有 $x^2=\mathrm{i}^2$,$x=\pm\mathrm{i}$,从而 $x=\pm\mathrm{i}$ 是方程 $x^2=-1$ 的两个根.据此可知:方程 $4x^2+4x+5=0$ 的两根为
(根用含$\mathrm{i}$的式子表示)
$x_1=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i},x_2=-\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}$
.(根用含$\mathrm{i}$的式子表示)
答案
10. $x_{1}=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}$,$x_{2}=-\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}$ 解析:方程配方得$(2x+1)^{2}=-4$,直接开平方得 $2x+1=\pm2\mathrm{i}$,得 $x=-\dfrac{1}{2}\pm\mathrm{i}$,则方程的两根为 $x_{1}=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}$,$x_{2}=-\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}$.
解析
【分析】
本题需结合题目给出的虚数定义（$i^2=-1$），采用配方法求解一元二次方程。解题思路为：先对原方程移项、配方，将左边整理为完全平方式，右边转化为含$i$的平方形式，再利用虚数的开平方性质得到一次式，最终解出方程的两根。
【解析】
对原方程$4x^2+4x+5=0$进行配方：
移项得：$4x^2+4x=-5$，
左边变形为完全平方式：$(2x+1)^2=4x^2+4x+1$，因此方程两边同时加1，得：
$(2x+1)^2=-5+1=-4$，
根据题目定义$i^2=-1$，可得$-4=4i^2$，方程转化为：
$(2x+1)^2=4i^2$，
两边开平方得：$2x+1=\pm\sqrt{4i^2}=\pm2i$，
移项得：$2x=-1\pm2i$，
两边同时除以2，解得：$x=\frac{-1\pm2i}{2}=-\frac{1}{2}\pm i$，
即方程的两根为$x_1=-\frac{1}{2}+i$，$x_2=-\frac{1}{2}-i$。
【答案】
$x_1=-\frac{1}{2}+i$，$x_2=-\frac{1}{2}-i$
【知识点】
一元二次方程配方法、虚数的定义
【点评】
本题为新考法题型，结合虚数基本定义考查一元二次方程的配方法求解，核心是通过配方法转化方程形式，再利用虚数的平方性质完成开平方运算，需掌握配方法步骤和虚数概念。
【难度系数】
0.4
本题需结合题目给出的虚数定义（$i^2=-1$），采用配方法求解一元二次方程。解题思路为：先对原方程移项、配方，将左边整理为完全平方式，右边转化为含$i$的平方形式，再利用虚数的开平方性质得到一次式，最终解出方程的两根。
【解析】
对原方程$4x^2+4x+5=0$进行配方：
移项得：$4x^2+4x=-5$，
左边变形为完全平方式：$(2x+1)^2=4x^2+4x+1$，因此方程两边同时加1，得：
$(2x+1)^2=-5+1=-4$，
根据题目定义$i^2=-1$，可得$-4=4i^2$，方程转化为：
$(2x+1)^2=4i^2$，
两边开平方得：$2x+1=\pm\sqrt{4i^2}=\pm2i$，
移项得：$2x=-1\pm2i$，
两边同时除以2，解得：$x=\frac{-1\pm2i}{2}=-\frac{1}{2}\pm i$，
即方程的两根为$x_1=-\frac{1}{2}+i$，$x_2=-\frac{1}{2}-i$。
【答案】
$x_1=-\frac{1}{2}+i$，$x_2=-\frac{1}{2}-i$
【知识点】
一元二次方程配方法、虚数的定义
【点评】
本题为新考法题型，结合虚数基本定义考查一元二次方程的配方法求解，核心是通过配方法转化方程形式，再利用虚数的平方性质完成开平方运算，需掌握配方法步骤和虚数概念。
【难度系数】
0.4
11. 实数 $a,n,m,b$ 满足 $a＜n＜m＜b$, 这四个数在数轴上对应的点分别为 $A,N,M,B$(如图所示), 若 $2BN^2=3AM· BM$, 当 $AB=5$ 时, $MN=$1, 则 $BN$ 的长度为
$3或\dfrac{6}{5}$
.答案
11. 3 或 $\dfrac{6}{5}$ 解析:设 $BN=x$,则 $BM=x-1$,$AM=6-x$,$\therefore 2x^{2}=3(6-x)(x-1)$,$\therefore 5x^{2}-21x+18=0$,解得 $x=3$ 或 $x=\dfrac{6}{5}$.
解析
【分析】
本题是数轴上线段长度的计算问题，核心是根据数轴上点的位置关系，用未知数表示各线段长度，再结合已知等量关系列方程求解。首先设BN的长度为x，根据点的顺序A＜N＜M＜B，以及AB=5、MN=1，推导出AM和BM关于x的表达式，代入题目给出的等式，解一元二次方程即可得到结果。
【解析】
设BN的长度为x。
因为数轴上点的顺序为A＜N＜M＜B，已知AB=5，MN=1，
所以BM = BN - MN = x - 1，
AM = AB - BM = 5 - (x - 1) = 6 - x。
根据题目给出的等量关系$2BN^2=3AM·BM$，代入得：
$2x^2 = 3(6 - x)(x - 1)$
展开右边：$3(6 - x)(x - 1)=3(-x^2 +7x -6)= -3x^2 +21x -18$
移项整理得：$5x^2 -21x +18=0$
解该一元二次方程，判别式$\Delta=(-21)^2 -4×5×18=81$，
因此$x=\frac{21±\sqrt{81}}{2×5}=\frac{21±9}{10}$，
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{6}{5}$。
【答案】
3或$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
数轴上线段长度、一元二次方程应用
【点评】
本题需准确根据数轴上点的位置关系推导各线段的表达式，列方程时要注意线段长度为正，解完方程后需验证解的合理性，整体考查学生的数形结合能力和一元二次方程的求解能力。
【难度系数】
0.5
本题是数轴上线段长度的计算问题，核心是根据数轴上点的位置关系，用未知数表示各线段长度，再结合已知等量关系列方程求解。首先设BN的长度为x，根据点的顺序A＜N＜M＜B，以及AB=5、MN=1，推导出AM和BM关于x的表达式，代入题目给出的等式，解一元二次方程即可得到结果。
【解析】
设BN的长度为x。
因为数轴上点的顺序为A＜N＜M＜B，已知AB=5，MN=1，
所以BM = BN - MN = x - 1，
AM = AB - BM = 5 - (x - 1) = 6 - x。
根据题目给出的等量关系$2BN^2=3AM·BM$，代入得：
$2x^2 = 3(6 - x)(x - 1)$
展开右边：$3(6 - x)(x - 1)=3(-x^2 +7x -6)= -3x^2 +21x -18$
移项整理得：$5x^2 -21x +18=0$
解该一元二次方程，判别式$\Delta=(-21)^2 -4×5×18=81$，
因此$x=\frac{21±\sqrt{81}}{2×5}=\frac{21±9}{10}$，
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{6}{5}$。
【答案】
3或$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
数轴上线段长度、一元二次方程应用
【点评】
本题需准确根据数轴上点的位置关系推导各线段的表达式，列方程时要注意线段长度为正，解完方程后需验证解的合理性，整体考查学生的数形结合能力和一元二次方程的求解能力。
【难度系数】
0.5
12. 用配方法解方程.
(1)$2(x+1)^{2}+7(x+1)-4=0$;
(2)$(\dfrac{1}{2}x-1)^{2}-(x-2)=15$.
(1)$2(x+1)^{2}+7(x+1)-4=0$;
(2)$(\dfrac{1}{2}x-1)^{2}-(x-2)=15$.
答案
12. (1)将$(x+1)$看作一个整体,方程两边同时除以 2,得$(x+1)^{2}+\dfrac{7}{2}(x+1)-2=0$,移项,得$(x+1)^{2}+\dfrac{7}{2}(x+1)=2$,配方,得$[(x+1)+\dfrac{7}{4}]^{2}=2+(\dfrac{7}{4})^{2}$,即$(x+\dfrac{11}{4})^{2}=\dfrac{81}{16}$,$\therefore x+\dfrac{11}{4}=\pm\dfrac{9}{4}$,$\therefore x_{1}=-\dfrac{1}{2}$,$x_{2}=-5$.
(2)将$(\dfrac{1}{2}x-1)$看作一个整体,整理得$(\dfrac{1}{2}x-1)^{2}-2(\dfrac{1}{2}x-1)=15$,配方,得$[(\dfrac{1}{2}x-1)-1]^{2}=15+1$,即$(\dfrac{1}{2}x-2)^{2}=16$,$\therefore \dfrac{1}{2}x-2=\pm4$,$\therefore x_{1}=12$,$x_{2}=-4$.
(2)将$(\dfrac{1}{2}x-1)$看作一个整体,整理得$(\dfrac{1}{2}x-1)^{2}-2(\dfrac{1}{2}x-1)=15$,配方,得$[(\dfrac{1}{2}x-1)-1]^{2}=15+1$,即$(\dfrac{1}{2}x-2)^{2}=16$,$\therefore \dfrac{1}{2}x-2=\pm4$,$\therefore x_{1}=12$,$x_{2}=-4$.
解析
【分析】解这两个方程时，可将括号内的式子看作一个整体简化计算，再按照配方法的步骤（处理二次项系数、移项、配方、开方求解）逐步推导，即可得到方程的解。
【解析】(1)把$(x+1)$看作整体，方程两边同时除以2，得：
$(x+1)^2 + \dfrac{7}{2}(x+1) - 2 = 0$
移项，得：
$(x+1)^2 + \dfrac{7}{2}(x+1) = 2$
配方，得：
$[(x+1) + \dfrac{7}{4}]^2 = 2 + (\dfrac{7}{4})^2$
化简得：
$(x + \dfrac{11}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
开方得：
$x + \dfrac{11}{4} = \pm\dfrac{9}{4}$
解得：$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = -5$；
(2)把$(\dfrac{1}{2}x -1)$看作整体，原方程整理为：
$(\dfrac{1}{2}x -1)^2 - 2(\dfrac{1}{2}x -1) =15$
配方，得：
$[(\dfrac{1}{2}x -1) -1]^2 =15 +1$
化简得：
$(\dfrac{1}{2}x -2)^2 =16$
开方得：
$\dfrac{1}{2}x -2 = \pm4$
解得：$x_1=12$，$x_2=-4$。
【答案】(1)$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=-5$；(2)$x_1=12$，$x_2=-4$
【知识点】配方法解一元二次方程，整体思想
【点评】本题考查配方法解一元二次方程，核心是运用整体思想简化运算，步骤明确，属于基础题型，只要掌握配方法基本操作即可完成。
【难度系数】0.5
【解析】(1)把$(x+1)$看作整体，方程两边同时除以2，得：
$(x+1)^2 + \dfrac{7}{2}(x+1) - 2 = 0$
移项，得：
$(x+1)^2 + \dfrac{7}{2}(x+1) = 2$
配方，得：
$[(x+1) + \dfrac{7}{4}]^2 = 2 + (\dfrac{7}{4})^2$
化简得：
$(x + \dfrac{11}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
开方得：
$x + \dfrac{11}{4} = \pm\dfrac{9}{4}$
解得：$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = -5$；
(2)把$(\dfrac{1}{2}x -1)$看作整体，原方程整理为：
$(\dfrac{1}{2}x -1)^2 - 2(\dfrac{1}{2}x -1) =15$
配方，得：
$[(\dfrac{1}{2}x -1) -1]^2 =15 +1$
化简得：
$(\dfrac{1}{2}x -2)^2 =16$
开方得：
$\dfrac{1}{2}x -2 = \pm4$
解得：$x_1=12$，$x_2=-4$。
【答案】(1)$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=-5$；(2)$x_1=12$，$x_2=-4$
【知识点】配方法解一元二次方程，整体思想
【点评】本题考查配方法解一元二次方程，核心是运用整体思想简化运算，步骤明确，属于基础题型，只要掌握配方法基本操作即可完成。
【难度系数】0.5
13. 已知 $x=m$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x+n-3=0$ 的一个根,试求 $m+n$ 的最大值.
答案
13. $\because x=m$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x+n-3=0$ 的一个根,
$\therefore m^{2}+2m+n-3=0$,$\therefore n=-m^{2}-2m+3$,
$\therefore m+n=m-m^{2}-2m+3=-(m+\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{13}{4}≤\dfrac{13}{4}$,
$\therefore m+n$ 的最大值为 $\dfrac{13}{4}$.
$\therefore m^{2}+2m+n-3=0$,$\therefore n=-m^{2}-2m+3$,
$\therefore m+n=m-m^{2}-2m+3=-(m+\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{13}{4}≤\dfrac{13}{4}$,
$\therefore m+n$ 的最大值为 $\dfrac{13}{4}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义，将根$x=m$代入方程得到$m$与$n$的关系式；再把$n$用含$m$的代数式表示，代入$m+n$中转化为关于$m$的二次函数；最后通过配方法对二次函数变形，利用二次函数的性质求出最大值。
【解析】
∵$x=m$是一元二次方程$x^2 + 2x + n - 3 = 0$的一个根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 + 2m + n - 3 = 0$，
整理得：$n = -m^2 - 2m + 3$，
把$n$代入$m + n$得：
$m + n = m + (-m^2 - 2m + 3) = -m^2 - m + 3$，
对二次函数配方：
$-m^2 - m + 3 = -(m^2 + m) + 3 = -[(m + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] + 3 = -(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 3 = -(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{13}{4}$，
∵二次项系数为$-1＜0$，该二次函数开口向下，存在最大值，当$m = -\frac{1}{2}$时，最大值为$\frac{13}{4}$，即$m + n$的最大值为$\frac{13}{4}$。
【答案】
$\frac{13}{4}$
【知识点】
一元二次方程的根，二次函数的最值
【点评】
本题结合一元二次方程根的定义与二次函数最值求解，核心是通过代入根建立变量关系，转化为二次函数后用配方法求最值，考查学生的代数转化能力和配方运算能力，属于基础代数综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义，将根$x=m$代入方程得到$m$与$n$的关系式；再把$n$用含$m$的代数式表示，代入$m+n$中转化为关于$m$的二次函数；最后通过配方法对二次函数变形，利用二次函数的性质求出最大值。
【解析】
∵$x=m$是一元二次方程$x^2 + 2x + n - 3 = 0$的一个根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 + 2m + n - 3 = 0$，
整理得：$n = -m^2 - 2m + 3$，
把$n$代入$m + n$得：
$m + n = m + (-m^2 - 2m + 3) = -m^2 - m + 3$，
对二次函数配方：
$-m^2 - m + 3 = -(m^2 + m) + 3 = -[(m + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] + 3 = -(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 3 = -(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{13}{4}$，
∵二次项系数为$-1＜0$，该二次函数开口向下，存在最大值，当$m = -\frac{1}{2}$时，最大值为$\frac{13}{4}$，即$m + n$的最大值为$\frac{13}{4}$。
【答案】
$\frac{13}{4}$
【知识点】
一元二次方程的根，二次函数的最值
【点评】
本题结合一元二次方程根的定义与二次函数最值求解，核心是通过代入根建立变量关系，转化为二次函数后用配方法求最值，考查学生的代数转化能力和配方运算能力，属于基础代数综合题。
【难度系数】
0.5
14. 改编题 换元法是数学中的一种解题方法.若我们把其中某些部分看成一个整体,用一个新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.已知实数 $a$($a ≠$0) 满足 $3a^{2}+\dfrac{3}{a^{2}}-12a-\dfrac{12}{a}+19=1$, 则 $a$ 的值为
1
.答案
14. 1 解析:$\because 3a^{2}+\dfrac{3}{a^{2}}-12a-\dfrac{12}{a}+19=1$,$\therefore 3(a+\dfrac{1}{a})^{2}-6-12(a+\dfrac{1}{a})+19=1$,令 $a+\dfrac{1}{a}=t$,则 $3t^{2}-6-12t+19=1$,整理得 $t^{2}-4t+4=0$,即$(t-2)^{2}=0$,解得 $t=2$,即 $a+\dfrac{1}{a}=2$,$a^{2}+1=2a$,解得 $a=1$.
解析
【分析】
本题的解题思路是利用换元法简化复杂的代数式，观察到原式中存在$a^2$与$\frac{1}{a^2}$、$a$与$\frac{1}{a}$的形式，可通过完全平方公式将$a^2+\frac{1}{a^2}$转化为$(a+\frac{1}{a})^2 - 2$，进而设$t=a+\frac{1}{a}$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后回代即可得到$a$的值。
【解析】
已知$3a^{2}+\dfrac{3}{a^{2}}-12a-\dfrac{12}{a}+19=1$，先移项整理得：
$3a^{2}+\dfrac{3}{a^{2}}-12a-\dfrac{12}{a}+18=0$
提取公因式3，将式子变形为：
$3(a^2+\frac{1}{a^2})-12(a+\frac{1}{a})+18=0$
根据完全平方公式$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2 - 2$，设$t=a+\frac{1}{a}$（$a≠0$，故$t$有意义），代入上式得：
$3(t^2 - 2) -12t +18=0$
展开并整理方程：
$3t^2 -6 -12t +18=0$
$3t^2 -12t +12=0$
两边同时除以3化简：
$t^2 -4t +4=0$
因式分解得：
$(t -2)^2=0$
解得$t=2$，即$a+\frac{1}{a}=2$。
两边同乘$a$（$a≠0$）得：
$a^2 +1=2a$
整理为一元二次方程的标准形式：
$a^2 -2a +1=0$
因式分解得：
$(a -1)^2=0$
解得$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
换元法、完全平方公式、一元二次方程的解法
【点评】
本题考查换元法在求解分式方程中的应用，核心是利用完全平方公式将高次代数式转化为关于新变量的二次式，简化计算过程，是换元法的典型基础应用，需掌握代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.5
本题的解题思路是利用换元法简化复杂的代数式，观察到原式中存在$a^2$与$\frac{1}{a^2}$、$a$与$\frac{1}{a}$的形式，可通过完全平方公式将$a^2+\frac{1}{a^2}$转化为$(a+\frac{1}{a})^2 - 2$，进而设$t=a+\frac{1}{a}$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后回代即可得到$a$的值。
【解析】
已知$3a^{2}+\dfrac{3}{a^{2}}-12a-\dfrac{12}{a}+19=1$，先移项整理得：
$3a^{2}+\dfrac{3}{a^{2}}-12a-\dfrac{12}{a}+18=0$
提取公因式3，将式子变形为：
$3(a^2+\frac{1}{a^2})-12(a+\frac{1}{a})+18=0$
根据完全平方公式$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2 - 2$，设$t=a+\frac{1}{a}$（$a≠0$，故$t$有意义），代入上式得：
$3(t^2 - 2) -12t +18=0$
展开并整理方程：
$3t^2 -6 -12t +18=0$
$3t^2 -12t +12=0$
两边同时除以3化简：
$t^2 -4t +4=0$
因式分解得：
$(t -2)^2=0$
解得$t=2$，即$a+\frac{1}{a}=2$。
两边同乘$a$（$a≠0$）得：
$a^2 +1=2a$
整理为一元二次方程的标准形式：
$a^2 -2a +1=0$
因式分解得：
$(a -1)^2=0$
解得$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
换元法、完全平方公式、一元二次方程的解法
【点评】
本题考查换元法在求解分式方程中的应用，核心是利用完全平方公式将高次代数式转化为关于新变量的二次式，简化计算过程，是换元法的典型基础应用，需掌握代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.5
15. 选取二次三项式 $ax^2+bx+c\ (a ≠ 0)$ 中的两项，配成完全平方式的过程叫配方.例如：
①选取二次项和一次项配方：$x^2-4x+2=(x-2)^2-2$；
②选取二次项和常数项配方：$x^2-4x+2=(x-\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2}-4)x$ 或 $x^2-4x+2=(x+\sqrt{2})^2-(4+2\sqrt{2})x$；
③选取一次项和常数项配方：$x^2-4x+2=(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2-x^2$.
根据上述材料，解决下面问题.
(1) 写出 $x^2-8x+4$ 的两种不同形式的配方；
(2) 已知 $9x^2+y^2+3xy-3y+3=0$,求 $x^y$ 的值；
(3) 若 $W=5x^2-4xy+y^2-2y+8x+3$（$x,y$ 为实数）,求 $W$ 的最小值.
[二维码]
①选取二次项和一次项配方：$x^2-4x+2=(x-2)^2-2$；
②选取二次项和常数项配方：$x^2-4x+2=(x-\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2}-4)x$ 或 $x^2-4x+2=(x+\sqrt{2})^2-(4+2\sqrt{2})x$；
③选取一次项和常数项配方：$x^2-4x+2=(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2-x^2$.
根据上述材料，解决下面问题.
(1) 写出 $x^2-8x+4$ 的两种不同形式的配方；
(2) 已知 $9x^2+y^2+3xy-3y+3=0$,求 $x^y$ 的值；
(3) 若 $W=5x^2-4xy+y^2-2y+8x+3$（$x,y$ 为实数）,求 $W$ 的最小值.
[二维码]
答案
15. (1)答案不唯一,如:$x^{2}-8x+4=x^{2}-8x+16-16+4=(x-4)^{2}-12$;$x^{2}-8x+4=(x-2)^{2}+4x-8x=(x-2)^{2}-4x$.
(2)$\because 9x^{2}+y^{2}+3xy-3y+3=0$,整理得$(3x+\dfrac{1}{2}y)^{2}+\dfrac{3}{4}(y-2)^{2}=0$,$\therefore 3x+\dfrac{1}{2}y=0$,$y-2=0$,$\therefore x=-\dfrac{1}{3}$,$y=2$,$\therefore x^{y}=(-\dfrac{1}{3})^{2}=\dfrac{1}{9}$.
(3)$W=5x^{2}-4xy+y^{2}-2y+8x+3$
$=4x^{2}-4xy+y^{2}+4x-2y+1+x^{2}+4x+4-2$
$=(2x-y)^{2}+2(2x-y)+1+(x+2)^{2}-2$
$=(2x-y+1)^{2}+(x+2)^{2}-2$,
$\because x,y$为实数,$\therefore (2x-y+1)^{2}≥0$,$(x+2)^{2}≥0$,$\therefore W$的最小值为-2.
(2)$\because 9x^{2}+y^{2}+3xy-3y+3=0$,整理得$(3x+\dfrac{1}{2}y)^{2}+\dfrac{3}{4}(y-2)^{2}=0$,$\therefore 3x+\dfrac{1}{2}y=0$,$y-2=0$,$\therefore x=-\dfrac{1}{3}$,$y=2$,$\therefore x^{y}=(-\dfrac{1}{3})^{2}=\dfrac{1}{9}$.
(3)$W=5x^{2}-4xy+y^{2}-2y+8x+3$
$=4x^{2}-4xy+y^{2}+4x-2y+1+x^{2}+4x+4-2$
$=(2x-y)^{2}+2(2x-y)+1+(x+2)^{2}-2$
$=(2x-y+1)^{2}+(x+2)^{2}-2$,
$\because x,y$为实数,$\therefore (2x-y+1)^{2}≥0$,$(x+2)^{2}≥0$,$\therefore W$的最小值为-2.
解析
【分析】
本题围绕二次三项式的配方展开，分三小问解决：(1) 根据材料中不同的配方方式，选取二次三项式中的两项凑完全平方式，利用完全平方公式调整剩余项得到不同形式的配方；(2) 对等式左边分组配方，转化为非负数的平方和为0的形式，利用非负数的性质求出x、y的值，再计算代数式的值；(3) 将W的表达式分组配方为完全平方式与常数的和，利用平方的非负性求最小值。
【解析】
(1) 选取二次项和一次项配方：
$x^2 -8x +4 = x^2 -8x +16 -16 +4 = (x-4)^2 -12$；
选取二次项和常数项配方：
$x^2 -8x +4 = x^2 -4x +4 -4x = (x-2)^2 -4x$（答案不唯一，合理即可）；
(2) 对等式$9x^2 + y^2 +3xy -3y +3=0$左边配方：
原式整理为：
$9x^2 +3xy + \frac{1}{4}y^2 + \frac{3}{4}y^2 -3y +3 =0$，
即$(3x + \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}(y^2 -4y +4)=0$，
化简得：$(3x + \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}(y-2)^2=0$，
因为平方数非负，故$\begin{cases}3x + \frac{1}{2}y=0 \\ y-2=0\end{cases}$，
解得$y=2$，代入得$3x +1=0$，即$x=-\frac{1}{3}$，
因此$x^y=(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$；
(3) 对$W=5x^2 -4xy + y^2 -2y +8x +3$配方：
$W=4x^2 -4xy + y^2 +4x -2y +1 +x^2 +4x +4 -2$
$=(2x - y)^2 + 2(2x - y) +1 + (x+2)^2 -2$
$=(2x - y +1)^2 + (x+2)^2 -2$，
因为x、y为实数，所以$(2x - y +1)^2≥0$，$(x+2)^2≥0$，
当$(2x - y +1)^2=0$且$(x+2)^2=0$时，W取得最小值，最小值为$-2$；
【答案】
(1) 示例：$x^2-8x+4=(x-4)^2-12$；$x^2-8x+4=(x-2)^2-4x$（答案不唯一）；
(2) $\frac{1}{9}$；
(3) $-2$；
【知识点】
配方法的应用、非负数的性质（偶次方）；
【点评】
本题综合考查配方法的灵活运用，通过配方将代数式转化为平方和的形式，利用非负数的性质解决代数式求值与最值问题，是代数部分的典型综合题，需熟练掌握完全平方公式的变形。
【难度系数】
0.5
本题围绕二次三项式的配方展开，分三小问解决：(1) 根据材料中不同的配方方式，选取二次三项式中的两项凑完全平方式，利用完全平方公式调整剩余项得到不同形式的配方；(2) 对等式左边分组配方，转化为非负数的平方和为0的形式，利用非负数的性质求出x、y的值，再计算代数式的值；(3) 将W的表达式分组配方为完全平方式与常数的和，利用平方的非负性求最小值。
【解析】
(1) 选取二次项和一次项配方：
$x^2 -8x +4 = x^2 -8x +16 -16 +4 = (x-4)^2 -12$；
选取二次项和常数项配方：
$x^2 -8x +4 = x^2 -4x +4 -4x = (x-2)^2 -4x$（答案不唯一，合理即可）；
(2) 对等式$9x^2 + y^2 +3xy -3y +3=0$左边配方：
原式整理为：
$9x^2 +3xy + \frac{1}{4}y^2 + \frac{3}{4}y^2 -3y +3 =0$，
即$(3x + \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}(y^2 -4y +4)=0$，
化简得：$(3x + \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}(y-2)^2=0$，
因为平方数非负，故$\begin{cases}3x + \frac{1}{2}y=0 \\ y-2=0\end{cases}$，
解得$y=2$，代入得$3x +1=0$，即$x=-\frac{1}{3}$，
因此$x^y=(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$；
(3) 对$W=5x^2 -4xy + y^2 -2y +8x +3$配方：
$W=4x^2 -4xy + y^2 +4x -2y +1 +x^2 +4x +4 -2$
$=(2x - y)^2 + 2(2x - y) +1 + (x+2)^2 -2$
$=(2x - y +1)^2 + (x+2)^2 -2$，
因为x、y为实数，所以$(2x - y +1)^2≥0$，$(x+2)^2≥0$，
当$(2x - y +1)^2=0$且$(x+2)^2=0$时，W取得最小值，最小值为$-2$；
【答案】
(1) 示例：$x^2-8x+4=(x-4)^2-12$；$x^2-8x+4=(x-2)^2-4x$（答案不唯一）；
(2) $\frac{1}{9}$；
(3) $-2$；
【知识点】
配方法的应用、非负数的性质（偶次方）；
【点评】
本题综合考查配方法的灵活运用，通过配方将代数式转化为平方和的形式，利用非负数的性质解决代数式求值与最值问题，是代数部分的典型综合题，需熟练掌握完全平方公式的变形。
【难度系数】
0.5
