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1. (2026·苏州期中)用配方法解方程$3x^{2}+4x+$
$1=0$时,可以将方程化为（
A.$(x+\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{1}{9}$
B.$(x+2)^{2}=3$
C.$(x+\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{1}{3}$
D.$(3x+\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{1}{9}$
$1=0$时,可以将方程化为（
A
）A.$(x+\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{1}{9}$
B.$(x+2)^{2}=3$
C.$(x+\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{1}{3}$
D.$(3x+\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{1}{9}$
答案
1. A 解析:$3x^{2}+4x+1=0$,得$x^{2}+\dfrac{4}{3}x=-\dfrac{1}{3}$,得$(x+\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{1}{9}$.故选 A.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程时，需遵循“化二次项系数为1→移项→配方”的步骤：首先将原方程的二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，最后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，据此判断选项即可。
【解析】
解：对$3x^2 + 4x + 1 = 0$进行配方法变形：
1. 化二次项系数为1：方程两边同除以3，得$x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} = 0$；
2. 移项：将常数项移到右侧，得$x^2 + \frac{4}{3}x = -\frac{1}{3}$；
3. 配方：一次项系数为$\frac{4}{3}$，其一半的平方为$(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$，方程两边同时加$\frac{4}{9}$：
左边：$x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = (x + \frac{2}{3})^2$；
右边：$-\frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$；
因此方程化为$(x + \frac{2}{3})^2 = \frac{1}{9}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基本操作，属于基础题型，核心是掌握配方法的三个关键步骤，需注意配方时添加的是一次项系数一半的平方，且必须先将二次项系数化为1，难度较低。
【难度系数】
0.6
用配方法解一元二次方程时，需遵循“化二次项系数为1→移项→配方”的步骤：首先将原方程的二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，最后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，据此判断选项即可。
【解析】
解：对$3x^2 + 4x + 1 = 0$进行配方法变形：
1. 化二次项系数为1：方程两边同除以3，得$x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} = 0$；
2. 移项：将常数项移到右侧，得$x^2 + \frac{4}{3}x = -\frac{1}{3}$；
3. 配方：一次项系数为$\frac{4}{3}$，其一半的平方为$(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$，方程两边同时加$\frac{4}{9}$：
左边：$x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = (x + \frac{2}{3})^2$；
右边：$-\frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$；
因此方程化为$(x + \frac{2}{3})^2 = \frac{1}{9}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基本操作，属于基础题型，核心是掌握配方法的三个关键步骤，需注意配方时添加的是一次项系数一半的平方，且必须先将二次项系数化为1，难度较低。
【难度系数】
0.6
2. 在解方程 $2x^{2}+4x+1=0$ 时,对方程进行配方,图①是甲做的,图②是乙做的,对于两人的做法,说法正确的是（
A.两人都正确
B.甲正确,乙不正确
C.甲不正确,乙正确
D.两人都不正确
A
）A.两人都正确
B.甲正确,乙不正确
C.甲不正确,乙正确
D.两人都不正确
答案
2. A 解析:根据配方法可知两人做法均正确.故选 A.
解析
【分析】
要判断甲、乙两人的配方做法是否正确，需依据配方法解一元二次方程的规则：配方法是通过变形将一元二次方程转化为完全平方式的形式。甲先将二次项系数化为1再配方，乙通过构造完全平方的系数直接配方，两种方式均符合配方法的要求，需分别验证两人步骤的正确性。
【解析】
1. 验证甲的做法：
原方程为$2x^2 + 4x = -1$，两边同时除以2，得$x^2 + 2x = -\frac{1}{2}$；
给等式两边加一次项系数一半的平方（$(\frac{2}{2})^2=1$），得$x^2 + 2x +1 = -\frac{1}{2} +1$，即$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，步骤正确。
2. 验证乙的做法：
原方程为$2x^2 +4x=-1$，两边同时乘以2，得$4x^2 +8x=-2$；
给等式两边加常数项4（构造完全平方$(2x+2)^2=4x^2+8x+4$），得$4x^2+8x+4=-2+4$，即$(2x+2)^2=2$，步骤正确。
因此两人的做法均正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，两种不同的配方操作均符合配方法的核心要求，体现了配方法的灵活应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要判断甲、乙两人的配方做法是否正确，需依据配方法解一元二次方程的规则：配方法是通过变形将一元二次方程转化为完全平方式的形式。甲先将二次项系数化为1再配方，乙通过构造完全平方的系数直接配方，两种方式均符合配方法的要求，需分别验证两人步骤的正确性。
【解析】
1. 验证甲的做法：
原方程为$2x^2 + 4x = -1$，两边同时除以2，得$x^2 + 2x = -\frac{1}{2}$；
给等式两边加一次项系数一半的平方（$(\frac{2}{2})^2=1$），得$x^2 + 2x +1 = -\frac{1}{2} +1$，即$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，步骤正确。
2. 验证乙的做法：
原方程为$2x^2 +4x=-1$，两边同时乘以2，得$4x^2 +8x=-2$；
给等式两边加常数项4（构造完全平方$(2x+2)^2=4x^2+8x+4$），得$4x^2+8x+4=-2+4$，即$(2x+2)^2=2$，步骤正确。
因此两人的做法均正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，两种不同的配方操作均符合配方法的核心要求，体现了配方法的灵活应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
3. 填空:(横线上所填数或代数式均默认大于0)
(1)$4x^{2}-4x+\_\_\_\_\_\_=(2x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(2)$3x^{2}-9x+\_\_\_\_\_\_=3(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(3)$2x^{2}+\_\_\_\_\_\_+\dfrac{3}{2}=2(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}(x＞0)$;
(4)$-\dfrac{1}{2}x^{2}+\_\_\_\_\_\_-\dfrac{25}{2}=-\dfrac{1}{2}(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}(x＞0)$.
(1)$4x^{2}-4x+\_\_\_\_\_\_=(2x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(2)$3x^{2}-9x+\_\_\_\_\_\_=3(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(3)$2x^{2}+\_\_\_\_\_\_+\dfrac{3}{2}=2(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}(x＞0)$;
(4)$-\dfrac{1}{2}x^{2}+\_\_\_\_\_\_-\dfrac{25}{2}=-\dfrac{1}{2}(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}(x＞0)$.
答案
3. (1)1 1 (2)$\dfrac{27}{4}$ $\dfrac{3}{2}$
(3)$2\sqrt{3}x$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (4)$5x$ 5
(3)$2\sqrt{3}x$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (4)$5x$ 5
解析
【分析】
这几道题均考查完全平方公式的应用，解题思路是利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将等式右边的完全平方展开，与左边的多项式对应各项系数相等，从而求出横线上缺失的数或代数式。
【解析】
(1) 右边展开：$(2x - b)^2 = 4x^2 - 4bx + b^2$，对比左边$4x^2 -4x +\_\_\_\_\_\_$，一次项系数：$-4b=-4$，解得$b=1$，则常数项为$b^2=1$，故填1、1；
(2) 右边展开：$3(x - b)^2 = 3(x^2 -2bx +b^2)=3x^2 -6bx +3b^2$，对比左边$3x^2 -9x +\_\_\_\_\_\_$，一次项系数：$-6b=-9$，解得$b=\frac{3}{2}$，则常数项为$3b^2=3×(\frac{3}{2})^2=\frac{27}{4}$，故填$\frac{27}{4}$、$\frac{3}{2}$；
(3) 右边展开：$2(x + b)^2=2(x^2 +2bx +b^2)=2x^2 +4bx +2b^2$，对比左边$2x^2 +\_\_\_\_\_\_ +\frac{3}{2}$，常数项：$2b^2=\frac{3}{2}$，解得$b^2=\frac{3}{4}$，因$x＞0$，故$b=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则一次项为$4bx=4×\frac{\sqrt{3}}{2}x=2\sqrt{3}x$，故填$2\sqrt{3}x$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(4) 右边展开：$-\frac{1}{2}(x - b)^2=-\frac{1}{2}(x^2 -2bx +b^2)=-\frac{1}{2}x^2 +bx -\frac{b^2}{2}$，对比左边$-\frac{1}{2}x^2 +\_\_\_\_\_\_ -\frac{25}{2}$，常数项：$-\frac{b^2}{2}=-\frac{25}{2}$，解得$b^2=25$，因$x＞0$，故$b=5$，则一次项为$bx=5x$，故填$5x$、5；
【答案】
(1)1，1；(2)$\frac{27}{4}$，$\frac{3}{2}$；(3)$2\sqrt{3}x$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$；(4)$5x$，5
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题围绕完全平方公式展开，通过展开完全平方形式，对比多项式各项系数求解，是初中代数中配方的基础题型，需熟练掌握完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.6
这几道题均考查完全平方公式的应用，解题思路是利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将等式右边的完全平方展开，与左边的多项式对应各项系数相等，从而求出横线上缺失的数或代数式。
【解析】
(1) 右边展开：$(2x - b)^2 = 4x^2 - 4bx + b^2$，对比左边$4x^2 -4x +\_\_\_\_\_\_$，一次项系数：$-4b=-4$，解得$b=1$，则常数项为$b^2=1$，故填1、1；
(2) 右边展开：$3(x - b)^2 = 3(x^2 -2bx +b^2)=3x^2 -6bx +3b^2$，对比左边$3x^2 -9x +\_\_\_\_\_\_$，一次项系数：$-6b=-9$，解得$b=\frac{3}{2}$，则常数项为$3b^2=3×(\frac{3}{2})^2=\frac{27}{4}$，故填$\frac{27}{4}$、$\frac{3}{2}$；
(3) 右边展开：$2(x + b)^2=2(x^2 +2bx +b^2)=2x^2 +4bx +2b^2$，对比左边$2x^2 +\_\_\_\_\_\_ +\frac{3}{2}$，常数项：$2b^2=\frac{3}{2}$，解得$b^2=\frac{3}{4}$，因$x＞0$，故$b=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则一次项为$4bx=4×\frac{\sqrt{3}}{2}x=2\sqrt{3}x$，故填$2\sqrt{3}x$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(4) 右边展开：$-\frac{1}{2}(x - b)^2=-\frac{1}{2}(x^2 -2bx +b^2)=-\frac{1}{2}x^2 +bx -\frac{b^2}{2}$，对比左边$-\frac{1}{2}x^2 +\_\_\_\_\_\_ -\frac{25}{2}$，常数项：$-\frac{b^2}{2}=-\frac{25}{2}$，解得$b^2=25$，因$x＞0$，故$b=5$，则一次项为$bx=5x$，故填$5x$、5；
【答案】
(1)1，1；(2)$\frac{27}{4}$，$\frac{3}{2}$；(3)$2\sqrt{3}x$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$；(4)$5x$，5
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题围绕完全平方公式展开，通过展开完全平方形式，对比多项式各项系数求解，是初中代数中配方的基础题型，需熟练掌握完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.6
4. 关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$($a,b,c$是常数,$a ≠ 0$)配方后为$(x-2)^{2}=d$($d$是常数),则$\dfrac{b}{a}=$
-4
.答案
4. -4 解析:$\because ax^{2}+bx+c=0$ 配方后可得 $(x+\dfrac{b}{2a})^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}=0$,$\therefore \dfrac{b}{2a}=-2$,$\therefore \dfrac{b}{a}=-4$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程的配方法，将原方程配方后与题目给出的配方形式对比，找到系数关系。首先回忆一元二次方程配方法的步骤：先将二次项系数化为1，再移项，最后在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方。题目中明确原方程配方后为$(x-2)^2=d$，因此只需对比配方后完全平方的一次项系数，即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
对一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）进行配方：
1. 两边同时除以$a$，得：$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$；
2. 移项，得：$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；
3. 配方，两边加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得：
$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}$，
左边整理为完全平方形式：$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
已知配方后为$(x-2)^2=d$，对比完全平方的形式$(x + \frac{b}{2a})^2$与$(x-2)^2$，可得：
$\frac{b}{2a} = -2$，
两边同时乘以2，得：$\frac{b}{a} = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
一元二次方程的配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的配方法，核心是掌握配方后完全平方的一次项系数与原方程系数的对应关系，属于基础题型，侧重对配方法基本步骤的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用一元二次方程的配方法，将原方程配方后与题目给出的配方形式对比，找到系数关系。首先回忆一元二次方程配方法的步骤：先将二次项系数化为1，再移项，最后在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方。题目中明确原方程配方后为$(x-2)^2=d$，因此只需对比配方后完全平方的一次项系数，即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
对一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）进行配方：
1. 两边同时除以$a$，得：$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$；
2. 移项，得：$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；
3. 配方，两边加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得：
$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}$，
左边整理为完全平方形式：$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
已知配方后为$(x-2)^2=d$，对比完全平方的形式$(x + \frac{b}{2a})^2$与$(x-2)^2$，可得：
$\frac{b}{2a} = -2$，
两边同时乘以2，得：$\frac{b}{a} = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
一元二次方程的配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的配方法，核心是掌握配方后完全平方的一次项系数与原方程系数的对应关系，属于基础题型，侧重对配方法基本步骤的应用。
【难度系数】
0.6
5. 一题多解 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2 - 6mx - 1 = 0 ( m ≠ 0 )$ 的一个根为 $x=2$ , 则方程的另一个根为
x=4
.答案
5. $x=4$ 解析:$\because$ 方程 $mx^{2}-6mx-1=0$ 的一个根为 $x=2$,$\therefore$ 代入得 $4m-12m-1=0$,即$-8m-1=0$,$\therefore m=-\dfrac{1}{8}$,$\therefore -\dfrac{1}{8}x^{2}+\dfrac{3}{4}x-1=0(m ≠ 0)$,解得另一个根为 $x=4$.
一题多解 整理方程得 $x^{2}-6x-\dfrac{1}{m}=0$,$\therefore (x-3)^{2}=9+\dfrac{1}{m}$,当$x=2$ 时等式成立,则 $x=4$ 时等式也成立,即另一个根为 $x=4$.
一题多解 整理方程得 $x^{2}-6x-\dfrac{1}{m}=0$,$\therefore (x-3)^{2}=9+\dfrac{1}{m}$,当$x=2$ 时等式成立,则 $x=4$ 时等式也成立,即另一个根为 $x=4$.
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根，可通过两种思路求解：思路一，先将已知根代入方程求出参数m，再解一元二次方程得到另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和计算另一个根，两种方法都能快速得到结果，适合巩固一元二次方程的相关知识点。
【解析】
方法一：代入求参数法
因为x=2是方程mx² -6mx -1=0（m≠0）的根，将x=2代入方程得：
m·2² -6m·2 -1 =0 →4m -12m -1=0 →-8m=1 →m=-1/8。
把m=-1/8代入原方程得：(-1/8)x² -6·(-1/8)x -1=0，两边同乘-8消去分母得：x² -6x +8=0，因式分解为(x-2)(x-4)=0，解得x₁=2，x₂=4，故另一个根为x=4。
方法二：韦达定理法
对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和为x₁+x₂=-b/a。
本题中方程mx² -6mx -1=0，a=m，b=-6m，因此两根之和x₁+x₂=-(-6m)/m=6。
已知一个根x₁=2，设另一个根为x₂，则2+x₂=6 →x₂=4，即另一个根为x=4。
【答案】
x=4
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题为一元二次方程根的基础题型，通过一题多解的形式，既考查了代入法求参数和解方程的基本技能，又巩固了韦达定理的应用，能帮助学生灵活掌握一元二次方程根的相关知识，培养解题的多样性思维。
【难度系数】
0.7
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根，可通过两种思路求解：思路一，先将已知根代入方程求出参数m，再解一元二次方程得到另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和计算另一个根，两种方法都能快速得到结果，适合巩固一元二次方程的相关知识点。
【解析】
方法一：代入求参数法
因为x=2是方程mx² -6mx -1=0（m≠0）的根，将x=2代入方程得：
m·2² -6m·2 -1 =0 →4m -12m -1=0 →-8m=1 →m=-1/8。
把m=-1/8代入原方程得：(-1/8)x² -6·(-1/8)x -1=0，两边同乘-8消去分母得：x² -6x +8=0，因式分解为(x-2)(x-4)=0，解得x₁=2，x₂=4，故另一个根为x=4。
方法二：韦达定理法
对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和为x₁+x₂=-b/a。
本题中方程mx² -6mx -1=0，a=m，b=-6m，因此两根之和x₁+x₂=-(-6m)/m=6。
已知一个根x₁=2，设另一个根为x₂，则2+x₂=6 →x₂=4，即另一个根为x=4。
【答案】
x=4
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题为一元二次方程根的基础题型，通过一题多解的形式，既考查了代入法求参数和解方程的基本技能，又巩固了韦达定理的应用，能帮助学生灵活掌握一元二次方程根的相关知识，培养解题的多样性思维。
【难度系数】
0.7
6. 教材变式 用配方法解方程.
(1)$4x^{2}+8x+3=0$; (2)$\dfrac{1}{3}x^{2}-4x+\dfrac{4}{3}=0$;
(3)$(2y-3)^{2}=(y-2)(y-3)$;
(4)$(2y-1)(2y+1)=2\sqrt{2}y$.
(1)$4x^{2}+8x+3=0$; (2)$\dfrac{1}{3}x^{2}-4x+\dfrac{4}{3}=0$;
(3)$(2y-3)^{2}=(y-2)(y-3)$;
(4)$(2y-1)(2y+1)=2\sqrt{2}y$.
答案
6. (1)移项,二次项系数化为 1,得 $x^{2}+2x=-\dfrac{3}{4}$,$\therefore (x+1)^{2}=\dfrac{1}{4}$,$\therefore x+1=\pm\dfrac{1}{2}$,$\therefore x_{1}=-\dfrac{1}{2}$,$x_{2}=-\dfrac{3}{2}$.
(2)二次项系数化为 1,得 $x^{2}-12x+4=0$,移项,得 $x^{2}-12x=-4$,配方,得 $x^{2}-12x+36=-4+36$,即 $(x-6)^{2}=32$,$\therefore x-6=\pm4\sqrt{2}$,$\therefore x_{1}=6+4\sqrt{2}$,$x_{2}=6-4\sqrt{2}$.
(3)整理,得 $3y^{2}-7y+3=0$,方程两边同时除以 3,得 $y^{2}-\dfrac{7}{3}y+1=0$,移项,得 $y^{2}-\dfrac{7}{3}y=-1$,配方,得 $y^{2}-\dfrac{7}{3}y+(-\dfrac{7}{6})^{2}=-1+(-\dfrac{7}{6})^{2}$,即 $(y-\dfrac{7}{6})^{2}=\dfrac{13}{36}$,$\therefore y-\dfrac{7}{6}=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{6}$,$\therefore y_{1}=\dfrac{7+\sqrt{13}}{6}$,$y_{2}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{6}$.
(4)整理,得 $4y^{2}-2\sqrt{2}y-1=0$,方程两边同时除以 4,得 $y^{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}y-\dfrac{1}{4}=0$,移项,得 $y^{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}y=\dfrac{1}{4}$,配方,得 $y^{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}y+(-\dfrac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\dfrac{1}{4}+(-\dfrac{\sqrt{2}}{4})^{2}$,即 $(y-\dfrac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\dfrac{3}{8}$,$\therefore y-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{4}$,$\therefore y_{1}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$,$y_{2}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
(2)二次项系数化为 1,得 $x^{2}-12x+4=0$,移项,得 $x^{2}-12x=-4$,配方,得 $x^{2}-12x+36=-4+36$,即 $(x-6)^{2}=32$,$\therefore x-6=\pm4\sqrt{2}$,$\therefore x_{1}=6+4\sqrt{2}$,$x_{2}=6-4\sqrt{2}$.
(3)整理,得 $3y^{2}-7y+3=0$,方程两边同时除以 3,得 $y^{2}-\dfrac{7}{3}y+1=0$,移项,得 $y^{2}-\dfrac{7}{3}y=-1$,配方,得 $y^{2}-\dfrac{7}{3}y+(-\dfrac{7}{6})^{2}=-1+(-\dfrac{7}{6})^{2}$,即 $(y-\dfrac{7}{6})^{2}=\dfrac{13}{36}$,$\therefore y-\dfrac{7}{6}=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{6}$,$\therefore y_{1}=\dfrac{7+\sqrt{13}}{6}$,$y_{2}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{6}$.
(4)整理,得 $4y^{2}-2\sqrt{2}y-1=0$,方程两边同时除以 4,得 $y^{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}y-\dfrac{1}{4}=0$,移项,得 $y^{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}y=\dfrac{1}{4}$,配方,得 $y^{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}y+(-\dfrac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\dfrac{1}{4}+(-\dfrac{\sqrt{2}}{4})^{2}$,即 $(y-\dfrac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\dfrac{3}{8}$,$\therefore y-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{4}$,$\therefore y_{1}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$,$y_{2}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方形式后开方求解，通用步骤为：①若二次项系数不为1，先将方程两边同除以二次项系数，化为二次项系数为1的形式；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；④利用平方根的性质开方求解。对于非一般式的方程，需先整理为一元二次方程的一般形式，再按上述步骤操作。
【解析】
(1) 对于方程$4x^2+8x+3=0$：
移项得$4x^2+8x=-3$，两边同除以4，得$x^2+2x=-\frac{3}{4}$；
配方：两边加1，得$x^2+2x+1=-\frac{3}{4}+1$，即$(x+1)^2=\frac{1}{4}$；
开方得$x+1=\pm\frac{1}{2}$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 对于方程$\frac{1}{3}x^2-4x+\frac{4}{3}=0$：
两边同乘3，得$x^2-12x+4=0$；
移项得$x^2-12x=-4$；
配方：两边加36，得$x^2-12x+36=-4+36$，即$(x-6)^2=32$；
开方得$x-6=\pm4\sqrt{2}$，解得$x_1=6+4\sqrt{2}$，$x_2=6-4\sqrt{2}$。
(3) 对于方程$(2y-3)^2=(y-2)(y-3)$：
整理为一般式：左边展开得$4y^2-12y+9$，右边展开得$y^2-5y+6$，移项合并得$3y^2-7y+3=0$；
两边同除以3，得$y^2-\frac{7}{3}y+1=0$；
移项得$y^2-\frac{7}{3}y=-1$；
配方：两边加$\frac{49}{36}$，得$y^2-\frac{7}{3}y+\frac{49}{36}=-1+\frac{49}{36}$，即$(y-\frac{7}{6})^2=\frac{13}{36}$；
开方得$y-\frac{7}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}$，解得$y_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$。
(4) 对于方程$(2y-1)(2y+1)=2\sqrt{2}y$：
整理为一般式：左边用平方差公式得$4y^2-1=2\sqrt{2}y$，移项得$4y^2-2\sqrt{2}y-1=0$；
两边同除以4，得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{1}{4}=0$；
移项得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y=\frac{1}{4}$；
配方：两边加$\frac{1}{8}$，得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$，即$(y-\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{3}{8}$；
开方得$y-\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{\sqrt{6}}{4}$，解得$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；(2)$x_1=6+4\sqrt{2},x_2=6-4\sqrt{2}$；(3)$y_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6},y_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$；(4)$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4},y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题为教材变式题，重点考察配方法解一元二次方程的规范步骤，需注意二次项系数不为1时先化1、非一般式方程先整理为一般式，以及配方时一次项系数一半平方的计算，是一元二次方程解法的基础应用，能有效检验学生对配方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方形式后开方求解，通用步骤为：①若二次项系数不为1，先将方程两边同除以二次项系数，化为二次项系数为1的形式；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；④利用平方根的性质开方求解。对于非一般式的方程，需先整理为一元二次方程的一般形式，再按上述步骤操作。
【解析】
(1) 对于方程$4x^2+8x+3=0$：
移项得$4x^2+8x=-3$，两边同除以4，得$x^2+2x=-\frac{3}{4}$；
配方：两边加1，得$x^2+2x+1=-\frac{3}{4}+1$，即$(x+1)^2=\frac{1}{4}$；
开方得$x+1=\pm\frac{1}{2}$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 对于方程$\frac{1}{3}x^2-4x+\frac{4}{3}=0$：
两边同乘3，得$x^2-12x+4=0$；
移项得$x^2-12x=-4$；
配方：两边加36，得$x^2-12x+36=-4+36$，即$(x-6)^2=32$；
开方得$x-6=\pm4\sqrt{2}$，解得$x_1=6+4\sqrt{2}$，$x_2=6-4\sqrt{2}$。
(3) 对于方程$(2y-3)^2=(y-2)(y-3)$：
整理为一般式：左边展开得$4y^2-12y+9$，右边展开得$y^2-5y+6$，移项合并得$3y^2-7y+3=0$；
两边同除以3，得$y^2-\frac{7}{3}y+1=0$；
移项得$y^2-\frac{7}{3}y=-1$；
配方：两边加$\frac{49}{36}$，得$y^2-\frac{7}{3}y+\frac{49}{36}=-1+\frac{49}{36}$，即$(y-\frac{7}{6})^2=\frac{13}{36}$；
开方得$y-\frac{7}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}$，解得$y_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$。
(4) 对于方程$(2y-1)(2y+1)=2\sqrt{2}y$：
整理为一般式：左边用平方差公式得$4y^2-1=2\sqrt{2}y$，移项得$4y^2-2\sqrt{2}y-1=0$；
两边同除以4，得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{1}{4}=0$；
移项得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y=\frac{1}{4}$；
配方：两边加$\frac{1}{8}$，得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$，即$(y-\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{3}{8}$；
开方得$y-\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{\sqrt{6}}{4}$，解得$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；(2)$x_1=6+4\sqrt{2},x_2=6-4\sqrt{2}$；(3)$y_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6},y_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$；(4)$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4},y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题为教材变式题，重点考察配方法解一元二次方程的规范步骤，需注意二次项系数不为1时先化1、非一般式方程先整理为一般式，以及配方时一次项系数一半平方的计算，是一元二次方程解法的基础应用，能有效检验学生对配方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在直角坐标系中,直线$y=6-x$与函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象相交于点$A,B$,则$AB$的长为（
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{10}$
D
）A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{10}$
答案
7. D 解析:联立$\begin{cases} y=6-x,\\ y=\dfrac{4}{x}, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=3+\sqrt{5},\\ y=3-\sqrt{5}, \end{cases}$或$\begin{cases} x=3-\sqrt{5},\\ y=3+\sqrt{5}, \end{cases}$经检验,这两组解都是方程组的解,$\therefore A(3-\sqrt{5},3+\sqrt{5})$,$B(3+\sqrt{5},3-\sqrt{5})$,$A,B$两点横、纵坐标差值均为 $3+\sqrt{5}-(3-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$,$\therefore AB=2\sqrt{10}$.故选 D.
解析
【分析】要计算线段AB的长度，需先求出直线与反比例函数图象的交点A、B的坐标，因此联立两个函数的解析式组成方程组，解方程组得到交点坐标，再利用两点间距离公式计算两点间的距离即可。
【解析】联立直线与反比例函数的解析式：$\begin{cases} y=6-x \\ y=\dfrac{4}{x} \end{cases}$，将$y=\dfrac{4}{x}$代入$y=6-x$，得$\dfrac{4}{x}=6-x$，整理为一元二次方程：$x^2 -6x +4=0$，用求根公式解得$x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=3\pm\sqrt{5}$（$x＞0$，两个解均符合）。
对应y值：当$x=3-\sqrt{5}$时，$y=6-(3-\sqrt{5})=3+\sqrt{5}$；当$x=3+\sqrt{5}$时，$y=6-(3+\sqrt{5})=3-\sqrt{5}$，即交点为$A(3-\sqrt{5},3+\sqrt{5})$、$B(3+\sqrt{5},3-\sqrt{5})$。
根据两点间距离公式：$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$，代入坐标得：
$x_B-x_A=(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$，$y_B-y_A=(3-\sqrt{5})-(3+\sqrt{5})=-2\sqrt{5}$，
则$AB=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (-2\sqrt{5})^2}=\sqrt{20+20}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，故选D。
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数交点、两点间距离公式、一元二次方程求解
【点评】本题结合反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一元二次方程的解法和两点间距离公式的应用，解题关键是通过联立方程求出交点坐标，再代入距离公式计算，属于中等难度的函数综合题。
【难度系数】0.5
【解析】联立直线与反比例函数的解析式：$\begin{cases} y=6-x \\ y=\dfrac{4}{x} \end{cases}$，将$y=\dfrac{4}{x}$代入$y=6-x$，得$\dfrac{4}{x}=6-x$，整理为一元二次方程：$x^2 -6x +4=0$，用求根公式解得$x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=3\pm\sqrt{5}$（$x＞0$，两个解均符合）。
对应y值：当$x=3-\sqrt{5}$时，$y=6-(3-\sqrt{5})=3+\sqrt{5}$；当$x=3+\sqrt{5}$时，$y=6-(3+\sqrt{5})=3-\sqrt{5}$，即交点为$A(3-\sqrt{5},3+\sqrt{5})$、$B(3+\sqrt{5},3-\sqrt{5})$。
根据两点间距离公式：$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$，代入坐标得：
$x_B-x_A=(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$，$y_B-y_A=(3-\sqrt{5})-(3+\sqrt{5})=-2\sqrt{5}$，
则$AB=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (-2\sqrt{5})^2}=\sqrt{20+20}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，故选D。
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数交点、两点间距离公式、一元二次方程求解
【点评】本题结合反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一元二次方程的解法和两点间距离公式的应用，解题关键是通过联立方程求出交点坐标，再代入距离公式计算，属于中等难度的函数综合题。
【难度系数】0.5
8. 一题多解 在平面直角坐标系$xOy$中,若已知点$P(x+1,x)$,则$OP$的长不可能为（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
A
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
答案
8. A 解析:由勾股定理可得 $OP^{2}=(x+1)^{2}+x^{2}=2x^{2}+2x+1=2(x^{2}+x)+1=2(x+\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{1}{2}$,当 $x=-\dfrac{1}{2}$ 时,$OP^{2}$ 有最小值 $\dfrac{1}{2}$,$\therefore OP$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore A$ 一定不成立,故选 A.
一题多解 可得点 $P(x+1,x)$ 在直线 $l$:$y=x-1$ 上,则当 $OP ⊥ l$ 时 $OP$ 最小,由几何关系可得 $OP$ 最小为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore OP$ 不可能为 $\dfrac{1}{2}$.
一题多解 可得点 $P(x+1,x)$ 在直线 $l$:$y=x-1$ 上,则当 $OP ⊥ l$ 时 $OP$ 最小,由几何关系可得 $OP$ 最小为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore OP$ 不可能为 $\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
要判断OP的长不可能为哪个选项，可先利用平面直角坐标系中两点间距离公式（勾股定理）表示OP的长度，再通过代数配方求其最小值，或转化为点到直线的距离问题确定OP的最小值，进而对比选项得出结论。
【解析】
方法一（代数法）：
根据勾股定理，原点O到点P(x+1, x)的距离满足：
$OP^2=(x+1-0)^2+(x-0)^2=(x+1)^2+x^2$
展开整理得：
$OP^2=x^2+2x+1+x^2=2x^2+2x+1$
对式子配方：
$OP^2=2(x^2+x)+1=2(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}$
因为平方项$2(x+\frac{1}{2})^2≥0$，所以当$x=-\frac{1}{2}$时，$OP^2$取得最小值$\frac{1}{2}$，即$OP$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
对比选项：A选项$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，不可能；B选项$\frac{\sqrt{2}}{2}$为最小值，可能；C选项1、D选项$\sqrt{2}$均大于最小值，可能，故OP的长不可能为$\frac{1}{2}$。
方法二（几何法）：
点P的坐标$(x+1, x)$满足$y=x-1$，即点P在直线$l:y=x-1$上。根据几何性质，原点到直线l的垂线段长度是原点到直线上所有点的最短距离，即OP的最小值。
利用点到直线的距离公式，原点O(0,0)到直线$l:x-y-1=0$的距离为：
$d=\frac{|0-0-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即OP最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此OP不可能为$\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、二次函数的最值、点到直线的距离
【点评】
本题通过一题多解考查平面直角坐标系中距离的最值问题，代数法利用配方求二次函数最小值，几何法利用点到直线的距离性质，两种方法均能清晰得出结论，有助于学生理解距离的本质，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
要判断OP的长不可能为哪个选项，可先利用平面直角坐标系中两点间距离公式（勾股定理）表示OP的长度，再通过代数配方求其最小值，或转化为点到直线的距离问题确定OP的最小值，进而对比选项得出结论。
【解析】
方法一（代数法）：
根据勾股定理，原点O到点P(x+1, x)的距离满足：
$OP^2=(x+1-0)^2+(x-0)^2=(x+1)^2+x^2$
展开整理得：
$OP^2=x^2+2x+1+x^2=2x^2+2x+1$
对式子配方：
$OP^2=2(x^2+x)+1=2(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}$
因为平方项$2(x+\frac{1}{2})^2≥0$，所以当$x=-\frac{1}{2}$时，$OP^2$取得最小值$\frac{1}{2}$，即$OP$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
对比选项：A选项$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，不可能；B选项$\frac{\sqrt{2}}{2}$为最小值，可能；C选项1、D选项$\sqrt{2}$均大于最小值，可能，故OP的长不可能为$\frac{1}{2}$。
方法二（几何法）：
点P的坐标$(x+1, x)$满足$y=x-1$，即点P在直线$l:y=x-1$上。根据几何性质，原点到直线l的垂线段长度是原点到直线上所有点的最短距离，即OP的最小值。
利用点到直线的距离公式，原点O(0,0)到直线$l:x-y-1=0$的距离为：
$d=\frac{|0-0-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即OP最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此OP不可能为$\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、二次函数的最值、点到直线的距离
【点评】
本题通过一题多解考查平面直角坐标系中距离的最值问题，代数法利用配方求二次函数最小值，几何法利用点到直线的距离性质，两种方法均能清晰得出结论，有助于学生理解距离的本质，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
9. 已知点$(5-k^{2},2k+3)$在第四象限内，且在其角平分线上，则$k=$
-2
。答案
9. -2 解析:$\because$ 点$(5-k^{2},2k+3)$在第四象限内,$\therefore \begin{cases} 5-k^{2}＞0,\\ 2k+3＜0, \end{cases}$解得$-\sqrt{5}＜k＜-\dfrac{3}{2}$.又$\because$ 点$(5-k^{2},2k+3)$在第四象限的角平分线上,$\therefore 5-k^{2}=-2k-3$,即 $k^{2}-2k-8=0$,$\therefore k_{1}=4$(不合题意,舍去),$k_{2}=-2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步推导：第一步，根据第四象限内点的坐标特征（横坐标为正、纵坐标为负），列出关于k的不等式组，确定k的取值范围；第二步，根据第四象限角平分线上点的坐标关系（横纵坐标互为相反数），列出关于k的方程，解方程后结合第一步得到的k的范围，舍去不符合条件的解，即可得到k的值。
【解析】
1. 确定k的取值范围：
因为点$(5 - k^2, 2k + 3)$在第四象限内，第四象限内点的坐标特征为横坐标＞0，纵坐标＜0，因此列不等式组：
$\begin{cases} 5 - k^2 ＞ 0 \\ 2k + 3 ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$5 - k^2 ＞ 0 \implies k^2 ＜5 \implies -\sqrt{5} ＜k ＜\sqrt{5}$；
解第二个不等式：$2k +3 ＜0 \implies k ＜ -\frac{3}{2}$；
综合得k的取值范围：$-\sqrt{5} ＜k ＜ -\frac{3}{2}$（其中$-\sqrt{5}\approx -2.236$，$-\frac{3}{2}=-1.5$）。
2. 利用第四象限角平分线的坐标关系列方程：
第四象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即横坐标 = -纵坐标，因此：
$5 - k^2 = -(2k +3)$
整理得：$k^2 -2k -8 =0$
因式分解得：$(k -4)(k +2)=0$
解得：$k_1=4$，$k_2=-2$。
3. 结合k的范围取舍解：
$k=4$不在$-\sqrt{5} ＜k ＜ -\frac{3}{2}$范围内，舍去；
$k=-2$在该范围内，符合条件。
综上，k的值为-2。
【答案】
-2
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标特征、象限角平分线的点的坐标关系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质，需牢记各象限内点的坐标符号特征，以及象限角平分线上点的坐标关系，解题时要注意解的取舍，避免因忽略k的取值范围导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分两步推导：第一步，根据第四象限内点的坐标特征（横坐标为正、纵坐标为负），列出关于k的不等式组，确定k的取值范围；第二步，根据第四象限角平分线上点的坐标关系（横纵坐标互为相反数），列出关于k的方程，解方程后结合第一步得到的k的范围，舍去不符合条件的解，即可得到k的值。
【解析】
1. 确定k的取值范围：
因为点$(5 - k^2, 2k + 3)$在第四象限内，第四象限内点的坐标特征为横坐标＞0，纵坐标＜0，因此列不等式组：
$\begin{cases} 5 - k^2 ＞ 0 \\ 2k + 3 ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$5 - k^2 ＞ 0 \implies k^2 ＜5 \implies -\sqrt{5} ＜k ＜\sqrt{5}$；
解第二个不等式：$2k +3 ＜0 \implies k ＜ -\frac{3}{2}$；
综合得k的取值范围：$-\sqrt{5} ＜k ＜ -\frac{3}{2}$（其中$-\sqrt{5}\approx -2.236$，$-\frac{3}{2}=-1.5$）。
2. 利用第四象限角平分线的坐标关系列方程：
第四象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即横坐标 = -纵坐标，因此：
$5 - k^2 = -(2k +3)$
整理得：$k^2 -2k -8 =0$
因式分解得：$(k -4)(k +2)=0$
解得：$k_1=4$，$k_2=-2$。
3. 结合k的范围取舍解：
$k=4$不在$-\sqrt{5} ＜k ＜ -\frac{3}{2}$范围内，舍去；
$k=-2$在该范围内，符合条件。
综上，k的值为-2。
【答案】
-2
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标特征、象限角平分线的点的坐标关系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质，需牢记各象限内点的坐标符号特征，以及象限角平分线上点的坐标关系，解题时要注意解的取舍，避免因忽略k的取值范围导致错误。
【难度系数】
0.6
