登录
1. (2026·宿迁期中)用配方法解一元二次方程
$x^{2}-8x+4=0$,方程可变形为（
A.$(x+4)^{2}=12$
B.$(x-4)^{2}=12$
C.$(x-8)^{2}=16$
D.$(x+8)^{2}=20$
$x^{2}-8x+4=0$,方程可变形为（
B
）A.$(x+4)^{2}=12$
B.$(x-4)^{2}=12$
C.$(x-8)^{2}=16$
D.$(x+8)^{2}=20$
答案
1. B 解析:
∵ $x^{2}-8x+4=0$,
∴ $x^{2}-8x=-4$,
∴ $x^{2}-8x+16=12$,
∴ $(x-4)^{2}=12$.故选 B.
∵ $x^{2}-8x+4=0$,
∴ $x^{2}-8x=-4$,
∴ $x^{2}-8x+16=12$,
∴ $(x-4)^{2}=12$.故选 B.
解析
【分析】要解决这个问题，需掌握配方法解一元二次方程的核心步骤：先将常数项移到等号右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，使方程左边变形为完全平方式，从而得到目标形式。
【解析】对于方程$x^2 -8x +4=0$，第一步移项，将常数项4移到等号右边，得$x^2 -8x = -4$；第二步，一次项系数为-8，其一半的平方为$(-8÷2)^2=16$，在方程两边同时加16，左边变为$x^2 -8x +16$，右边变为$-4 +16=12$，即$(x-4)^2=12$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【点评】本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，属于常规基础题，重点考查学生对配方法步骤的掌握程度。
【难度系数】0.6
【解析】对于方程$x^2 -8x +4=0$，第一步移项，将常数项4移到等号右边，得$x^2 -8x = -4$；第二步，一次项系数为-8，其一半的平方为$(-8÷2)^2=16$，在方程两边同时加16，左边变为$x^2 -8x +16$，右边变为$-4 +16=12$，即$(x-4)^2=12$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【点评】本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，属于常规基础题，重点考查学生对配方法步骤的掌握程度。
【难度系数】0.6
2. 一元二次方程$(x+1)(x-3)=2x-5$根的情况是（
A.无实数根
B.有两个正根
C.有一个正根，一个负根
D.有两个负根
B
）A.无实数根
B.有两个正根
C.有一个正根，一个负根
D.有两个负根
答案
2. B 解析:整理得 $x^{2}-2x-3 = 2x-5$, 则 $x^{2}-4x+2 = 0$, $(x-2)^{2}=2$,解得 $x_{1}=2+\sqrt{2}＞0$,$x_{2}=2-\sqrt{2}＞0$,故有两个正根,故选 B.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，首先需将方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0$，再通过判别式确认根的存在性，最后求出方程的根并判断根的正负。具体步骤：1. 展开方程左边的乘积，移项合并同类项得到标准一元二次方程；2. 计算判别式确定根的数量；3. 用配方法求出方程的两个根，判断根的正负。
【解析】
先将原方程整理为一般形式：
左边展开得$(x+1)(x-3)=x^2 - 2x - 3$，
移项得$x^2 - 2x - 3 = 2x - 5$，
合并同类项得$x^2 - 4x + 2 = 0$。
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×2 = 16 - 8 = 8 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根。
用配方法解方程：
$x^2 - 4x = -2$，
配方得$x^2 - 4x + 4 = -2 + 4$，即$(x - 2)^2 = 2$，
解得$x_1 = 2 + \sqrt{2}$，$x_2 = 2 - \sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}≈1.414$，所以$x_1 = 2 + \sqrt{2} ＞ 0$，$x_2 = 2 - \sqrt{2}≈0.586 ＞ 0$，即方程有两个正根。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的整理及根的情况判断，属于基础题型，需熟练掌握一元二次方程的一般形式转化、配方法解方程及根的正负判断方法，步骤清晰，难度不大。
【难度系数】
0.6
要判断一元二次方程根的情况，首先需将方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0$，再通过判别式确认根的存在性，最后求出方程的根并判断根的正负。具体步骤：1. 展开方程左边的乘积，移项合并同类项得到标准一元二次方程；2. 计算判别式确定根的数量；3. 用配方法求出方程的两个根，判断根的正负。
【解析】
先将原方程整理为一般形式：
左边展开得$(x+1)(x-3)=x^2 - 2x - 3$，
移项得$x^2 - 2x - 3 = 2x - 5$，
合并同类项得$x^2 - 4x + 2 = 0$。
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×2 = 16 - 8 = 8 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根。
用配方法解方程：
$x^2 - 4x = -2$，
配方得$x^2 - 4x + 4 = -2 + 4$，即$(x - 2)^2 = 2$，
解得$x_1 = 2 + \sqrt{2}$，$x_2 = 2 - \sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}≈1.414$，所以$x_1 = 2 + \sqrt{2} ＞ 0$，$x_2 = 2 - \sqrt{2}≈0.586 ＞ 0$，即方程有两个正根。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的整理及根的情况判断，属于基础题型，需熟练掌握一元二次方程的一般形式转化、配方法解方程及根的正负判断方法，步骤清晰，难度不大。
【难度系数】
0.6
3. 已知 $P=x^{2}-x, Q=x-2$ 为任意实数, 则 $P-Q$ 的值
（
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.无法确定
（
A
）A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.无法确定
答案
3. A 解析:$P-Q=x^{2}-x-(x-2)=x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$,
∵ $(x-1)^{2}≥0$,
∴ $(x-1)^{2}+1≥1$,
∴ $P-Q$ 大于 0,故选 A.
∵ $(x-1)^{2}≥0$,
∴ $(x-1)^{2}+1≥1$,
∴ $P-Q$ 大于 0,故选 A.
解析
【分析】要判断$P-Q$的值的正负，需先计算出$P-Q$的代数式，再通过配方法将其转化为含完全平方的形式，利用完全平方的非负性即可确定结果的范围，进而选出正确选项。
【解析】计算$P-Q$：将$P=x^2 - x$，$Q=x-2$代入，得：
$P-Q = x^2 - x - (x - 2) = x^2 - x - x + 2 = x^2 - 2x + 2$
对该式配方：$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1$
因为任意实数的平方非负，即$(x-1)^2 ≥ 0$，所以$(x-1)^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 ＞ 0$，因此$P-Q$的值大于0，故选A。
【答案】A
【知识点】整式的加减、配方法、非负数的性质
【点评】本题通过整式运算得到二次式，结合配方法和偶次方的非负性判断代数式的正负，属于基础题型，考查学生对整式变形和非负数性质的基本应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】计算$P-Q$：将$P=x^2 - x$，$Q=x-2$代入，得：
$P-Q = x^2 - x - (x - 2) = x^2 - x - x + 2 = x^2 - 2x + 2$
对该式配方：$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1$
因为任意实数的平方非负，即$(x-1)^2 ≥ 0$，所以$(x-1)^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 ＞ 0$，因此$P-Q$的值大于0，故选A。
【答案】A
【知识点】整式的加减、配方法、非负数的性质
【点评】本题通过整式运算得到二次式，结合配方法和偶次方的非负性判断代数式的正负，属于基础题型，考查学生对整式变形和非负数性质的基本应用能力。
【难度系数】0.7
4. 教材变式 填空:(横线上所填数或代数式均默认大于0)
(1)$x^{2}+x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(2)$x^{2}-9x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(3)$x^{2}+\_\_\_\_\_\_+\dfrac{3}{4}=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}(x＞0)$;
(4)$x^{2}-\_\_\_\_\_\_+4a^{2}=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}(a＞0).$
(1)$x^{2}+x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(2)$x^{2}-9x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(3)$x^{2}+\_\_\_\_\_\_+\dfrac{3}{4}=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}(x＞0)$;
(4)$x^{2}-\_\_\_\_\_\_+4a^{2}=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}(a＞0).$
答案
4. (1)$\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{2}$ (2)$\dfrac{81}{4}$ $\dfrac{9}{2}$ (3)$\sqrt{3}x$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (4)$4ax$ $2a$
解析
【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题思路是利用完全平方公式：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，将等式右边的完全平方展开，与左边多项式的对应项系数相等，即可求出横线上的数或代数式。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式：$(x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$，对比等式$x^2 + x + \_\_\_\_\_\_=(x + \_\_\_\_\_\_)^2$，得$2b=1$，解得$b=\frac{1}{2}$，常数项为$b^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，故依次填$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}$；
(2) 根据完全平方差公式：$(x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2$，对比等式$x^2 -9x + \_\_\_\_\_\_=(x - \_\_\_\_\_\_)^2$，得$2b=9$，解得$b=\frac{9}{2}$，常数项为$b^2=(\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}$，故依次填$\frac{81}{4}$、$\frac{9}{2}$；
(3) 根据完全平方和公式：$(x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$，对比等式$x^2 + \_\_\_\_\_\_ + \frac{3}{4}=(x + \_\_\_\_\_\_)^2$，得$b^2=\frac{3}{4}$，因$b＞0$，故$b=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，中间项为$2bx=2×\frac{\sqrt{3}}{2}x=\sqrt{3}x$，故依次填$\sqrt{3}x$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(4) 根据完全平方差公式：$(x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2$，对比等式$x^2 - \_\_\_\_\_\_ +4a^2=(x - \_\_\_\_\_\_)^2$，得$b^2=4a^2$，因$a＞0$，故$b=2a$，中间项为$2bx=2×2a×x=4ax$，故依次填$4ax$、$2a$；
【答案】(1)$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{2}$；(2)$\dfrac{81}{4}$，$\dfrac{9}{2}$；(3)$\sqrt{3}x$，$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；(4)$4ax$，$2a$
【知识点】完全平方公式
【点评】本题为教材变式基础题，直接考查完全平方公式的结构应用，只要掌握公式的展开形式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 根据完全平方和公式：$(x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$，对比等式$x^2 + x + \_\_\_\_\_\_=(x + \_\_\_\_\_\_)^2$，得$2b=1$，解得$b=\frac{1}{2}$，常数项为$b^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，故依次填$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}$；
(2) 根据完全平方差公式：$(x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2$，对比等式$x^2 -9x + \_\_\_\_\_\_=(x - \_\_\_\_\_\_)^2$，得$2b=9$，解得$b=\frac{9}{2}$，常数项为$b^2=(\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}$，故依次填$\frac{81}{4}$、$\frac{9}{2}$；
(3) 根据完全平方和公式：$(x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$，对比等式$x^2 + \_\_\_\_\_\_ + \frac{3}{4}=(x + \_\_\_\_\_\_)^2$，得$b^2=\frac{3}{4}$，因$b＞0$，故$b=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，中间项为$2bx=2×\frac{\sqrt{3}}{2}x=\sqrt{3}x$，故依次填$\sqrt{3}x$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(4) 根据完全平方差公式：$(x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2$，对比等式$x^2 - \_\_\_\_\_\_ +4a^2=(x - \_\_\_\_\_\_)^2$，得$b^2=4a^2$，因$a＞0$，故$b=2a$，中间项为$2bx=2×2a×x=4ax$，故依次填$4ax$、$2a$；
【答案】(1)$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{2}$；(2)$\dfrac{81}{4}$，$\dfrac{9}{2}$；(3)$\sqrt{3}x$，$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；(4)$4ax$，$2a$
【知识点】完全平方公式
【点评】本题为教材变式基础题，直接考查完全平方公式的结构应用，只要掌握公式的展开形式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.7
5. 当$x=$
2
时,代数式$5-(x-2)^2$有最大值,最大值为5
;当$y=$-1
时,式子$y^2+2y-5$有最小值,最小值为-6
.答案
5. 2 5 -1 -6 解析:当 x=2 时,$(x-2)^{2}$ 取最小值 0,则$5-(x-2)^{2}$ 有最大值 5;$y^{2}+2y-5=(y+1)^{2}-6$,当 y=-1 时有最小值-6.
解析
【分析】
要解决这道题，需利用平方数的非负性和配方法分析代数式的最值：
1. 对于代数式$5-(x-2)^2$，任何数的平方都为非负数，即$(x-2)^2≥0$，要使该代数式最大，需让减去的部分$(x-2)^2$最小，其最小值为0，由此可求出对应的$x$值和代数式的最大值；
2. 对于式子$y^2+2y-5$，通过配方法将其变形为完全平方形式，再结合平方数的非负性，找到使式子最小的$y$值和最小值。
【解析】
1. 分析代数式$5-(x-2)^2$：
根据平方的非负性，$(x-2)^2≥0$，当且仅当$x-2=0$即$x=2$时，$(x-2)^2$取得最小值$0$。
此时代数式的最大值为$5 - 0 = 5$。
2. 分析式子$y^2+2y-5$：
用配方法变形：
$y^2+2y-5 = (y^2+2y+1) - 1 -5 = (y+1)^2 -6$
因为$(y+1)^2$是平方数，所以$(y+1)^2≥0$，当且仅当$y+1=0$即$y=-1$时，$(y+1)^2$取得最小值$0$。
此时式子的最小值为$0 -6 = -6$。
【答案】
2；5；-1；-6
【知识点】
平方的非负性，配方法求代数式最值
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方的非负性和配方法的应用，关键是理解平方数的取值范围，通过变形快速找到代数式的最值，适合初中阶段学生巩固基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用平方数的非负性和配方法分析代数式的最值：
1. 对于代数式$5-(x-2)^2$，任何数的平方都为非负数，即$(x-2)^2≥0$，要使该代数式最大，需让减去的部分$(x-2)^2$最小，其最小值为0，由此可求出对应的$x$值和代数式的最大值；
2. 对于式子$y^2+2y-5$，通过配方法将其变形为完全平方形式，再结合平方数的非负性，找到使式子最小的$y$值和最小值。
【解析】
1. 分析代数式$5-(x-2)^2$：
根据平方的非负性，$(x-2)^2≥0$，当且仅当$x-2=0$即$x=2$时，$(x-2)^2$取得最小值$0$。
此时代数式的最大值为$5 - 0 = 5$。
2. 分析式子$y^2+2y-5$：
用配方法变形：
$y^2+2y-5 = (y^2+2y+1) - 1 -5 = (y+1)^2 -6$
因为$(y+1)^2$是平方数，所以$(y+1)^2≥0$，当且仅当$y+1=0$即$y=-1$时，$(y+1)^2$取得最小值$0$。
此时式子的最小值为$0 -6 = -6$。
【答案】
2；5；-1；-6
【知识点】
平方的非负性，配方法求代数式最值
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方的非负性和配方法的应用，关键是理解平方数的取值范围，通过变形快速找到代数式的最值，适合初中阶段学生巩固基础。
【难度系数】
0.8
6. 已知$x^{2}+2(n-1)x+2n$是完全平方式，则常数$n$的值是
2±√3
。答案
6. $2±\sqrt{3}$ 解析:$x^{2}+2(n-1)x+2n=x^{2}+2(n-1)x+(\sqrt{2n})^{2}$,要使得该式是完全平方式,则 $n-1=±\sqrt{2n}$,即$(n-1)^{2}=2n(n＞0)$,
∴ $n^{2}-4n+1=0$,配方得$(n-2)^{2}=3$,解得 $n-2=±\sqrt{3}$,
∴ $n=2±\sqrt{3}$.
∴ $n^{2}-4n+1=0$,配方得$(n-2)^{2}=3$,解得 $n-2=±\sqrt{3}$,
∴ $n=2±\sqrt{3}$.
解析
【分析】首先明确完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，将给定的二次式对应到该结构，确定首项、中间项、常数项与完全平方式各部分的关系，据此建立关于$n$的方程，再解方程即可求出$n$的值。
【解析】因为$x^2+2(n-1)x+2n$是完全平方式，根据完全平方式的结构特征$a^2\pm2ab+b^2$：
首项$a=x$，常数项对应$b^2$，即$b^2=2n$；中间项对应$\pm2ab$，即$2(n-1)=\pm2b$，化简得$n-1=\pm b$；
将$b=\sqrt{2n}$（平方项非负，故$2n≥0$）代入得：$n-1=\pm\sqrt{2n}$；
两边平方得：$(n-1)^2=2n$，展开整理为一元二次方程：$n^2-4n+1=0$；
配方得：$(n-2)^2=3$，解得$n-2=\pm\sqrt{3}$，即$n=2\pm\sqrt{3}$。
【答案】$2\pm\sqrt{3}$
【知识点】完全平方式、一元二次方程的解法
【点评】本题考查完全平方式的结构特征及一元二次方程的求解，核心是利用完全平方式中间项与常数项的关系建立方程，需注意平方时的符号处理，避免漏解。
【难度系数】0.5
【解析】因为$x^2+2(n-1)x+2n$是完全平方式，根据完全平方式的结构特征$a^2\pm2ab+b^2$：
首项$a=x$，常数项对应$b^2$，即$b^2=2n$；中间项对应$\pm2ab$，即$2(n-1)=\pm2b$，化简得$n-1=\pm b$；
将$b=\sqrt{2n}$（平方项非负，故$2n≥0$）代入得：$n-1=\pm\sqrt{2n}$；
两边平方得：$(n-1)^2=2n$，展开整理为一元二次方程：$n^2-4n+1=0$；
配方得：$(n-2)^2=3$，解得$n-2=\pm\sqrt{3}$，即$n=2\pm\sqrt{3}$。
【答案】$2\pm\sqrt{3}$
【知识点】完全平方式、一元二次方程的解法
【点评】本题考查完全平方式的结构特征及一元二次方程的求解，核心是利用完全平方式中间项与常数项的关系建立方程，需注意平方时的符号处理，避免漏解。
【难度系数】0.5
7. (2026·邯郸期中)《代数学》中记载,形如$x^{2} + 10x = 39$的方程,求正数解的几何方法是:“如图①,先构造一个面积为$x^{2}$的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为$\dfrac{5}{2}x$的矩形,得到大正方形的面积为$39 + 25 = 64$,则该方程的正数解为$8 - 2×\dfrac{5}{2} = 3$.”小聪按此方法解关于$x$的方程$x^{2} + 14x + m = 0$,构造图②,已知阴影部分的面积为72,则该方程的正数解为
4
.答案
7. 4 解析:以正方形的边长为一边向外构造四个面积为$\dfrac{7}{2}x$的矩形,得到大正方形的面积为 $72+4×(\dfrac{7}{2})^2 = 72+49 = 121$,则大正方形的边长为 11,该方程的正数解为 $11-2×\dfrac{7}{2}=4$.
解析
【分析】
本题利用几何图形的面积关系求解一元二次方程，核心是配方法的几何意义。首先明确：对于形如$x^2+bx=c$的方程，可通过构造大正方形，其面积等于阴影部分面积（即$x^2+bx$）加上四个小正方形的面积（每个小正方形边长为$\frac{b}{2}$，总面积为$4×(\frac{b}{2})^2$），求出大正方形边长后，用边长减去$b$即可得到方程的正数解。本题中方程$x^2+14x+m=0$对应阴影面积为$x^2+14x=72$，按此思路计算即可。
【解析】
1. 由题意，方程$x^2+14x+m=0$可变形为$x^2+14x=-m$，结合几何意义，阴影部分面积为$x^2+14x=72$；
2. 一次项系数为14，每个小矩形的宽为$\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$，则四个小正方形的总面积为$4×(\frac{7}{2})^2=4×\frac{49}{4}=49$；
3. 大正方形的面积为阴影面积加四个小正方形面积：$72+49=121$，故大正方形边长为$\sqrt{121}=11$；
4. 方程的正数解为大正方形边长减去$2×\frac{7}{2}=7$，即$11-7=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的几何解法、配方法
【点评】
本题通过数形结合的思想，将一元二次方程的配方法转化为几何图形的面积计算，解题关键是明确大正方形面积的组成，进而求出边长得到方程的解，体现了代数与几何的联系。
【难度系数】
0.5
本题利用几何图形的面积关系求解一元二次方程，核心是配方法的几何意义。首先明确：对于形如$x^2+bx=c$的方程，可通过构造大正方形，其面积等于阴影部分面积（即$x^2+bx$）加上四个小正方形的面积（每个小正方形边长为$\frac{b}{2}$，总面积为$4×(\frac{b}{2})^2$），求出大正方形边长后，用边长减去$b$即可得到方程的正数解。本题中方程$x^2+14x+m=0$对应阴影面积为$x^2+14x=72$，按此思路计算即可。
【解析】
1. 由题意，方程$x^2+14x+m=0$可变形为$x^2+14x=-m$，结合几何意义，阴影部分面积为$x^2+14x=72$；
2. 一次项系数为14，每个小矩形的宽为$\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$，则四个小正方形的总面积为$4×(\frac{7}{2})^2=4×\frac{49}{4}=49$；
3. 大正方形的面积为阴影面积加四个小正方形面积：$72+49=121$，故大正方形边长为$\sqrt{121}=11$；
4. 方程的正数解为大正方形边长减去$2×\frac{7}{2}=7$，即$11-7=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的几何解法、配方法
【点评】
本题通过数形结合的思想，将一元二次方程的配方法转化为几何图形的面积计算，解题关键是明确大正方形面积的组成，进而求出边长得到方程的解，体现了代数与几何的联系。
【难度系数】
0.5
8. 教材变式 用配方法解下列方程.
(1)$x^{2}-6x=1$;
(2)$x^{2}+\dfrac{10}{3}x+1=0$;
(3)$x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$;
(4)$(y-2)^{2}=y+7$.
(1)$x^{2}-6x=1$;
(2)$x^{2}+\dfrac{10}{3}x+1=0$;
(3)$x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$;
(4)$(y-2)^{2}=y+7$.
答案
8. (1)$x_{1}=3+\sqrt{10},x_{2}=3-\sqrt{10}$.
(2)$x_{1}=-\dfrac{1}{3},x_{2}=-3$.
(3)$x_{1}=3-2\sqrt{3},x_{2}=-3-2\sqrt{3}$.
(4)$y_{1}=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},y_{2}=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$.
(2)$x_{1}=-\dfrac{1}{3},x_{2}=-3$.
(3)$x_{1}=3-2\sqrt{3},x_{2}=-3-2\sqrt{3}$.
(4)$y_{1}=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},y_{2}=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式，具体步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧配成完全平方式；④对完全平方式开平方，求解得到方程的根。本题4个小题中，前3个为标准一元二次方程，第(4)题需先展开整理为一般式，再按配方法步骤求解。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 -6x =1$，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，两边加9得：$x^2 -6x +9=1+9$，即$(x-3)^2=10$，开平方得：$x-3=\pm\sqrt{10}$，解得$x_1=3+\sqrt{10}$，$x_2=3-\sqrt{10}$；
(2) 移项得：$x^2+\frac{10}{3}x=-1$，一次项系数为$\frac{10}{3}$，其一半的平方为$(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，两边加$\frac{25}{9}$得：$x^2+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-1+\frac{25}{9}$，即$(x+\frac{5}{3})^2=\frac{16}{9}$，开平方得：$x+\frac{5}{3}=\pm\frac{4}{3}$，解得$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=-3$；
(3) 移项得：$x^2+4\sqrt{3}x=-3$，一次项系数为$4\sqrt{3}$，其一半的平方为$(2\sqrt{3})^2=12$，两边加12得：$x^2+4\sqrt{3}x+12=-3+12$，即$(x+2\sqrt{3})^2=9$，开平方得：$x+2\sqrt{3}=\pm3$，解得$x_1=3-2\sqrt{3}$，$x_2=-3-2\sqrt{3}$；
(4) 先展开左边：$y^2-4y+4=y+7$，整理为一般式：$y^2-5y-3=0$，移项得：$y^2-5y=3$，一次项系数为$-5$，其一半的平方为$(-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，两边加$\frac{25}{4}$得：$y^2-5y+\frac{25}{4}=3+\frac{25}{4}$，即$(y-\frac{5}{2})^2=\frac{37}{4}$，开平方得：$y-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{37}}{2}$，解得$y_1=\frac{5+\sqrt{37}}{2}$，$y_2=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$；
【答案】
(1)$x_{1}=3+\sqrt{10},x_{2}=3-\sqrt{10}$；(2)$x_{1}=-\dfrac{1}{3},x_{2}=-3$；(3)$x_{1}=3-2\sqrt{3},x_{2}=-3-2\sqrt{3}$；(4)$y_{1}=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},y_{2}=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题为教材变式题，聚焦配方法解一元二次方程的核心步骤，需注意配方时常数项的添加规则，第(4)题需先将方程整理为一般式再求解，属于基础题型，考察学生对配方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式，具体步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧配成完全平方式；④对完全平方式开平方，求解得到方程的根。本题4个小题中，前3个为标准一元二次方程，第(4)题需先展开整理为一般式，再按配方法步骤求解。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 -6x =1$，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，两边加9得：$x^2 -6x +9=1+9$，即$(x-3)^2=10$，开平方得：$x-3=\pm\sqrt{10}$，解得$x_1=3+\sqrt{10}$，$x_2=3-\sqrt{10}$；
(2) 移项得：$x^2+\frac{10}{3}x=-1$，一次项系数为$\frac{10}{3}$，其一半的平方为$(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，两边加$\frac{25}{9}$得：$x^2+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-1+\frac{25}{9}$，即$(x+\frac{5}{3})^2=\frac{16}{9}$，开平方得：$x+\frac{5}{3}=\pm\frac{4}{3}$，解得$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=-3$；
(3) 移项得：$x^2+4\sqrt{3}x=-3$，一次项系数为$4\sqrt{3}$，其一半的平方为$(2\sqrt{3})^2=12$，两边加12得：$x^2+4\sqrt{3}x+12=-3+12$，即$(x+2\sqrt{3})^2=9$，开平方得：$x+2\sqrt{3}=\pm3$，解得$x_1=3-2\sqrt{3}$，$x_2=-3-2\sqrt{3}$；
(4) 先展开左边：$y^2-4y+4=y+7$，整理为一般式：$y^2-5y-3=0$，移项得：$y^2-5y=3$，一次项系数为$-5$，其一半的平方为$(-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，两边加$\frac{25}{4}$得：$y^2-5y+\frac{25}{4}=3+\frac{25}{4}$，即$(y-\frac{5}{2})^2=\frac{37}{4}$，开平方得：$y-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{37}}{2}$，解得$y_1=\frac{5+\sqrt{37}}{2}$，$y_2=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$；
【答案】
(1)$x_{1}=3+\sqrt{10},x_{2}=3-\sqrt{10}$；(2)$x_{1}=-\dfrac{1}{3},x_{2}=-3$；(3)$x_{1}=3-2\sqrt{3},x_{2}=-3-2\sqrt{3}$；(4)$y_{1}=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},y_{2}=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题为教材变式题，聚焦配方法解一元二次方程的核心步骤，需注意配方时常数项的添加规则，第(4)题需先将方程整理为一般式再求解，属于基础题型，考察学生对配方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以点$B$为圆心,$BC$的长为半径画弧,交线段$AB$于点$D$,以点$A$为圆心,$AD$的长为半径画弧,交线段$AC$于点$E$,设$BC=a$,$AC=b$.
(1) 请你判断:线段$AD$的长度是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根吗? 请说明理由.
(2) 若线段$AD=EC$,则$\dfrac{a}{b}$的值为
(1) 请你判断:线段$AD$的长度是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根吗? 请说明理由.
(2) 若线段$AD=EC$,则$\dfrac{a}{b}$的值为
$\dfrac{3}{4}$
.答案
9. (1)是.理由:
∵ 在△ABC中,∠ACB=90°,
∴ $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$.
∵ $BC=a,AC=b$,
∴ $AB^{2}=a^{2}+b^{2}$.
方程 $x^{2}+2ax-b^{2}=0$ 变形为 $x^{2}+2ax+a^{2}=a^{2}+b^{2}$,
∴ $(x+a)^{2}=AB^{2}$.
∵ $BD=BC=a$,
∴ $(x+BD)^{2}=AB^{2}$,
∴ 线段 AD 的长度是方程 $x^{2}+2ax-b^{2}=0$ 的一个根.
(2)$\dfrac{3}{4}$ 解析:
∵ $AD=EC$,
∴ $AC=2AD=2AE=b$,
∴ $AD=\dfrac{b}{2}$,
∴ $AB=a+\dfrac{b}{2}$.
∵ $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,
∴ $(a+\dfrac{b}{2})^2=a^2+b^2$,整理得 $a=\dfrac{3}{4}b$,
∴ $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$.
∵ 在△ABC中,∠ACB=90°,
∴ $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$.
∵ $BC=a,AC=b$,
∴ $AB^{2}=a^{2}+b^{2}$.
方程 $x^{2}+2ax-b^{2}=0$ 变形为 $x^{2}+2ax+a^{2}=a^{2}+b^{2}$,
∴ $(x+a)^{2}=AB^{2}$.
∵ $BD=BC=a$,
∴ $(x+BD)^{2}=AB^{2}$,
∴ 线段 AD 的长度是方程 $x^{2}+2ax-b^{2}=0$ 的一个根.
(2)$\dfrac{3}{4}$ 解析:
∵ $AD=EC$,
∴ $AC=2AD=2AE=b$,
∴ $AD=\dfrac{b}{2}$,
∴ $AB=a+\dfrac{b}{2}$.
∵ $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,
∴ $(a+\dfrac{b}{2})^2=a^2+b^2$,整理得 $a=\dfrac{3}{4}b$,
∴ $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$.
解析
【分析】
要解决这道题，需结合直角三角形的勾股定理、同圆半径相等的性质分析线段关系。第(1)问先通过勾股定理得到AB的表达式，再对给定方程变形，结合AB与AD、BD的关系（BD=BC=a，AB=AD+BD），即可判断AD是否为方程的根；第(2)问利用同圆半径相等得AE=AD，结合AD=EC推出AC与AD的关系，再用勾股定理建立a、b的方程，求解比值。
【解析】
(1) 线段AD的长度是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根，理由如下：
在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$，已知$BC=a$，$AC=b$，因此$AB^2 = a^2 + b^2$。
对方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$变形：
移项得$x^2 + 2ax = b^2$，两边加$a^2$得：
$x^2 + 2ax + a^2 = a^2 + b^2$，即$(x+a)^2 = a^2 + b^2$。
又因为$BD=BC=a$，所以$AB = AD + BD = AD + a$，代入上式得：
$(AD + a)^2 = AB^2$，由于线段长度为正，故$AD + a = AB$，即$AD = AB - a$，说明AD满足方程，因此AD是方程的一个根。
(2) 由题意，以A为圆心、AD为半径画弧交AC于E，根据同圆半径相等，得$AE = AD$。
已知$AD = EC$，所以$AE = EC = AD$，因此$AC = AE + EC = 2AD$，即$AD = \frac{b}{2}$。
又$BD = BC = a$，故$AB = AD + BD = a + \frac{b}{2}$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，代入得：
$(a + \frac{b}{2})^2 = b^2 + a^2$，
展开左边：$a^2 + ab + \frac{b^2}{4} = a^2 + b^2$，
化简得：$ab = \frac{3b^2}{4}$，两边除以$b$（$b≠0$）得$a = \frac{3b}{4}$，因此$\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $\frac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的根，圆的半径性质
【点评】
本题结合直角三角形、一元二次方程和圆的性质，考查几何分析与代数运算能力，需灵活运用勾股定理和同圆半径相等的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合直角三角形的勾股定理、同圆半径相等的性质分析线段关系。第(1)问先通过勾股定理得到AB的表达式，再对给定方程变形，结合AB与AD、BD的关系（BD=BC=a，AB=AD+BD），即可判断AD是否为方程的根；第(2)问利用同圆半径相等得AE=AD，结合AD=EC推出AC与AD的关系，再用勾股定理建立a、b的方程，求解比值。
【解析】
(1) 线段AD的长度是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根，理由如下：
在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$，已知$BC=a$，$AC=b$，因此$AB^2 = a^2 + b^2$。
对方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$变形：
移项得$x^2 + 2ax = b^2$，两边加$a^2$得：
$x^2 + 2ax + a^2 = a^2 + b^2$，即$(x+a)^2 = a^2 + b^2$。
又因为$BD=BC=a$，所以$AB = AD + BD = AD + a$，代入上式得：
$(AD + a)^2 = AB^2$，由于线段长度为正，故$AD + a = AB$，即$AD = AB - a$，说明AD满足方程，因此AD是方程的一个根。
(2) 由题意，以A为圆心、AD为半径画弧交AC于E，根据同圆半径相等，得$AE = AD$。
已知$AD = EC$，所以$AE = EC = AD$，因此$AC = AE + EC = 2AD$，即$AD = \frac{b}{2}$。
又$BD = BC = a$，故$AB = AD + BD = a + \frac{b}{2}$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，代入得：
$(a + \frac{b}{2})^2 = b^2 + a^2$，
展开左边：$a^2 + ab + \frac{b^2}{4} = a^2 + b^2$，
化简得：$ab = \frac{3b^2}{4}$，两边除以$b$（$b≠0$）得$a = \frac{3b}{4}$，因此$\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $\frac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的根，圆的半径性质
【点评】
本题结合直角三角形、一元二次方程和圆的性质，考查几何分析与代数运算能力，需灵活运用勾股定理和同圆半径相等的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
