登录
9. (1) 已知 $(2a+1+2b)(2a-1+2b)=63$, 则 $a+b$ 的值为
(2) 如果 $(a^2+b^2+1)(a^2+b^2-1)=63$, 那么 $a^2+b^2$ 的值为
±4
；(2) 如果 $(a^2+b^2+1)(a^2+b^2-1)=63$, 那么 $a^2+b^2$ 的值为
8
.答案
9.(1)$\pm4$ 解析:把 $a+b$ 看作一个整体,化简可得$4(a+b)^2-1=63$,解得 $a+b=\pm4$.
(2)8 解析:把 $a^2+b^2$ 看作一个整体,化简可得$(a^2+b^2)^2-1=63$,解得 $a^2+b^2=\pm8$.因为 $a^2+b^2＞0$,所以 $a^2+b^2=8$.
(2)8 解析:把 $a^2+b^2$ 看作一个整体,化简可得$(a^2+b^2)^2-1=63$,解得 $a^2+b^2=\pm8$.因为 $a^2+b^2＞0$,所以 $a^2+b^2=8$.
解析
【分析】
本题两小问均考查代数化简求值，核心思路是运用整体思想结合平方差公式简化运算：第(1)问将$a+b$视为整体，第(2)问将$a^2+b^2$视为整体，利用平方差公式展开后求解，同时需注意第(2)问中平方和的非负性，舍去不合理的负根。
【解析】
(1) 把$2a + 2b$看作整体，即$2(a+b)$，根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，原式可化为：
$[2(a+b)+1][2(a+b)-1] = [2(a+b)]^2 - 1^2 = 4(a+b)^2 -1$
已知该式等于63，故：
$4(a+b)^2 -1 =63 \implies 4(a+b)^2=64 \implies (a+b)^2=16$
开平方得$a+b=\pm4$。
(2) 把$a^2+b^2$看作整体，利用平方差公式展开原式：
$(a^2+b^2+1)(a^2+b^2-1)=(a^2+b^2)^2 -1^2=(a^2+b^2)^2 -1$
已知该式等于63，故：
$(a^2+b^2)^2 -1=63 \implies (a^2+b^2)^2=64$
开平方得$a^2+b^2=\pm8$，又因为$a^2+b^2≥0$，所以舍去负根，得$a^2+b^2=8$。
【答案】
(1)$\pm4$；(2)8
【知识点】
整体思想、平方差公式、非负数的性质
【点评】
本题通过整体思想简化了复杂的展开运算，是代数求值的常用技巧，同时考查了平方差公式的应用和平方和的非负性，需注意结果的合理性判断，属于基础代数题型。
【难度系数】
0.5
本题两小问均考查代数化简求值，核心思路是运用整体思想结合平方差公式简化运算：第(1)问将$a+b$视为整体，第(2)问将$a^2+b^2$视为整体，利用平方差公式展开后求解，同时需注意第(2)问中平方和的非负性，舍去不合理的负根。
【解析】
(1) 把$2a + 2b$看作整体，即$2(a+b)$，根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，原式可化为：
$[2(a+b)+1][2(a+b)-1] = [2(a+b)]^2 - 1^2 = 4(a+b)^2 -1$
已知该式等于63，故：
$4(a+b)^2 -1 =63 \implies 4(a+b)^2=64 \implies (a+b)^2=16$
开平方得$a+b=\pm4$。
(2) 把$a^2+b^2$看作整体，利用平方差公式展开原式：
$(a^2+b^2+1)(a^2+b^2-1)=(a^2+b^2)^2 -1^2=(a^2+b^2)^2 -1$
已知该式等于63，故：
$(a^2+b^2)^2 -1=63 \implies (a^2+b^2)^2=64$
开平方得$a^2+b^2=\pm8$，又因为$a^2+b^2≥0$，所以舍去负根，得$a^2+b^2=8$。
【答案】
(1)$\pm4$；(2)8
【知识点】
整体思想、平方差公式、非负数的性质
【点评】
本题通过整体思想简化了复杂的展开运算，是代数求值的常用技巧，同时考查了平方差公式的应用和平方和的非负性，需注意结果的合理性判断，属于基础代数题型。
【难度系数】
0.5
10. (2025·眉山期中) 已知关于 $x$ 的方程
$a(x+c)^2+b=0$ 的解是 $x_1=-2,x_2=1$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）,则方程 $a(x+c-2)^2+b=0$ 的解是
$a(x+c)^2+b=0$ 的解是 $x_1=-2,x_2=1$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）,则方程 $a(x+c-2)^2+b=0$ 的解是
x₁=0,x₂=3
,$c=$0.5
.答案
10.$x_1=0,x_2=3$ $0.5$ 解析:$\because$ 关于 $x$ 的方程 $a(x+c)^2+b=0$ 的解是 $x_1=-2,x_2=1$($a,b,c$ 为常数,$a≠0$),则方程 $a(x+c-2)^2+b=0$ 可变形为 $a[(x-2)+c]^2+b=0$,$\therefore x-2=-2$ 或 $x-2=1$,解得 $x_1=0,x_2=3$.$\because$ 方程 $a(x+c)^2+b=0$($a,b,c$ 为常数,$a≠0$) 的两根分别为 $-2,1$,$\therefore a(-2+c)^2+b=0$ 或 $a(1+c)^2+b=0$,$\therefore (-2+c)^2=-\dfrac{b}{a}$ 或 $(1+c)^2=-\dfrac{b}{a}$,$\therefore -2+c+1+c=0$,解得 $c=0.5$.
解析
【分析】
本题需利用一元二次方程解的性质，通过对比两个方程的结构，结合解的对应关系求解；求c时，将已知解代入原方程，联立等式即可计算。
【解析】
1. 求方程$a(x+c-2)^2+b=0$的解：
将方程变形为$a[(x-2)+c]^2 + b = 0$，与原方程$a(x+c)^2 + b = 0$对比，原方程的解为$x_1=-2$，$x_2=1$，因此可得：
$x - 2 = -2$ 或 $x - 2 = 1$，
解得$x_1=0$，$x_2=3$。
2. 求$c$的值：
将$x_1=-2$代入原方程得：$a(-2 + c)^2 + b = 0$，即$(-2 + c)^2 = -\dfrac{b}{a}$；
将$x_2=1$代入原方程得：$a(1 + c)^2 + b = 0$，即$(1 + c)^2 = -\dfrac{b}{a}$；
因此$(-2 + c)^2 = (1 + c)^2$，
展开得：$c^2 - 4c + 4 = c^2 + 2c + 1$，
移项化简：$-6c + 3 = 0$，
解得$c = 0.5$。
【答案】
$x_1=0,x_2=3$；$0.5$
【知识点】
一元二次方程的解；方程的平移变换
【点评】
本题考查一元二次方程解的应用，核心是利用方程结构的相似性，通过解的对应关系简化计算，求$c$时利用两个解对应的等式相等求解，解题关键是理解方程解的性质，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题需利用一元二次方程解的性质，通过对比两个方程的结构，结合解的对应关系求解；求c时，将已知解代入原方程，联立等式即可计算。
【解析】
1. 求方程$a(x+c-2)^2+b=0$的解：
将方程变形为$a[(x-2)+c]^2 + b = 0$，与原方程$a(x+c)^2 + b = 0$对比，原方程的解为$x_1=-2$，$x_2=1$，因此可得：
$x - 2 = -2$ 或 $x - 2 = 1$，
解得$x_1=0$，$x_2=3$。
2. 求$c$的值：
将$x_1=-2$代入原方程得：$a(-2 + c)^2 + b = 0$，即$(-2 + c)^2 = -\dfrac{b}{a}$；
将$x_2=1$代入原方程得：$a(1 + c)^2 + b = 0$，即$(1 + c)^2 = -\dfrac{b}{a}$；
因此$(-2 + c)^2 = (1 + c)^2$，
展开得：$c^2 - 4c + 4 = c^2 + 2c + 1$，
移项化简：$-6c + 3 = 0$，
解得$c = 0.5$。
【答案】
$x_1=0,x_2=3$；$0.5$
【知识点】
一元二次方程的解；方程的平移变换
【点评】
本题考查一元二次方程解的应用，核心是利用方程结构的相似性，通过解的对应关系简化计算，求$c$时利用两个解对应的等式相等求解，解题关键是理解方程解的性质，难度适中。
【难度系数】
0.6
11. 用直接开平方法解下列方程.
$\mathrm{(1) }(\frac{x+1}{3}-x)^2=4\mathrm{;}$
$\mathrm{(2) }x^2-2x+1-25(2x-1)^2=0\mathrm{;}$
$\mathrm{(3) }mx^2-3=x^2+2\ (m≠1).$
$\mathrm{(1) }(\frac{x+1}{3}-x)^2=4\mathrm{;}$
$\mathrm{(2) }x^2-2x+1-25(2x-1)^2=0\mathrm{;}$
$\mathrm{(3) }mx^2-3=x^2+2\ (m≠1).$
答案
11.(1)把$\dfrac{x+1}{3}-x$看作一个整体,得$\dfrac{x+1}{3}-x=2$ 或 $\dfrac{x+1}{3}-x=-2$,解这两个一元一次方程,得 $x_1=-\dfrac{5}{2},x_2=\dfrac{7}{2}$.
(2)化简可得$(x-1)^2=25(2x-1)^2$,$\therefore x-1=5(2x-1)$ 或 $x-1=-5(2x-1)$,解得 $x_1=\dfrac{4}{9},x_2=\dfrac{6}{11}$.
(3)移项得 $mx^2-x^2=2+3$,化简得$(m-1)x^2=5$.$\because m≠1$,$\therefore x^2=\dfrac{5}{m-1}$.
当 $m-1＜0$,即 $m＜1$ 时,$x^2=\dfrac{5}{m-1}＜0$,原方程无实数解;
当 $m-1＞0$,即 $m＞1$ 时,$x^2=\dfrac{5}{m-1}＞0$,原方程的解是 $x=\pm\sqrt{\dfrac{5}{m-1}}=\pm\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$.
(2)化简可得$(x-1)^2=25(2x-1)^2$,$\therefore x-1=5(2x-1)$ 或 $x-1=-5(2x-1)$,解得 $x_1=\dfrac{4}{9},x_2=\dfrac{6}{11}$.
(3)移项得 $mx^2-x^2=2+3$,化简得$(m-1)x^2=5$.$\because m≠1$,$\therefore x^2=\dfrac{5}{m-1}$.
当 $m-1＜0$,即 $m＜1$ 时,$x^2=\dfrac{5}{m-1}＜0$,原方程无实数解;
当 $m-1＞0$,即 $m＞1$ 时,$x^2=\dfrac{5}{m-1}＞0$,原方程的解是 $x=\pm\sqrt{\dfrac{5}{m-1}}=\pm\dfrac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$.
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是将方程转化为“某个整体的平方等于一个数”的形式，再通过开平方转化为一元一次方程求解，含参数的方程需根据平方数的非负性讨论解的情况。
(1) 把$\frac{x+1}{3}-x$看作整体，直接开平方得到两个一元一次方程，分别求解；
(2) 先利用完全平方公式将$x^2-2x+1$变形为$(x-1)^2$，移项后得到两个平方相等的形式，再开平方求解；
(3) 先移项合并同类项，整理出$x^2$的表达式，根据$m≠1$，结合平方数的非负性分情况讨论解的存在性，再化简结果。
【解析】
(1) 原方程为$(\frac{x+1}{3}-x)^2=4$，根据直接开平方法，开平方得：
$\frac{x+1}{3}-x=2$ 或 $\frac{x+1}{3}-x=-2$
解$\frac{x+1}{3}-x=2$：
两边同乘3得：$x+1-3x=6$，整理得$-2x=5$，解得$x=-\frac{5}{2}$；
解$\frac{x+1}{3}-x=-2$：
两边同乘3得：$x+1-3x=-6$，整理得$-2x=-7$，解得$x=\frac{7}{2}$；
故方程的解为$x_1=-\frac{5}{2},x_2=\frac{7}{2}$。
(2) 原方程为$x^2-2x+1-25(2x-1)^2=0$，利用完全平方公式变形得：
$(x-1)^2=25(2x-1)^2$，开平方得：
$x-1=5(2x-1)$ 或 $x-1=-5(2x-1)$
解$x-1=5(2x-1)$：
展开得$x-1=10x-5$，整理得$-9x=-4$，解得$x=\frac{4}{9}$；
解$x-1=-5(2x-1)$：
展开得$x-1=-10x+5$，整理得$11x=6$，解得$x=\frac{6}{11}$；
故方程的解为$x_1=\frac{4}{9},x_2=\frac{6}{11}$。
(3) 原方程为$mx^2-3=x^2+2$，移项合并同类项得：
$(m-1)x^2=5$，因为$m≠1$，所以$x^2=\frac{5}{m-1}$；
当$m-1＜0$即$m＜1$时，$\frac{5}{m-1}＜0$，平方数不可能为负，原方程无实数解；
当$m-1＞0$即$m＞1$时，$x=\pm\sqrt{\frac{5}{m-1}}=\pm\frac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$；
综上，当$m＜1$时，方程无实数解；当$m＞1$时，方程的解为$x=\pm\frac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{5}{2},x_2=\frac{7}{2}$；
(2) $x_1=\frac{4}{9},x_2=\frac{6}{11}$；
(3) 当$m＜1$时，无实数解；当$m＞1$时，$x=\pm\frac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式，含参数的一元二次方程的解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题，重点考查整体思想的运用，以及含参数方程的解的讨论，需注意平方数的非负性，计算时要细心避免符号错误。
【难度系数】
0.5
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是将方程转化为“某个整体的平方等于一个数”的形式，再通过开平方转化为一元一次方程求解，含参数的方程需根据平方数的非负性讨论解的情况。
(1) 把$\frac{x+1}{3}-x$看作整体，直接开平方得到两个一元一次方程，分别求解；
(2) 先利用完全平方公式将$x^2-2x+1$变形为$(x-1)^2$，移项后得到两个平方相等的形式，再开平方求解；
(3) 先移项合并同类项，整理出$x^2$的表达式，根据$m≠1$，结合平方数的非负性分情况讨论解的存在性，再化简结果。
【解析】
(1) 原方程为$(\frac{x+1}{3}-x)^2=4$，根据直接开平方法，开平方得：
$\frac{x+1}{3}-x=2$ 或 $\frac{x+1}{3}-x=-2$
解$\frac{x+1}{3}-x=2$：
两边同乘3得：$x+1-3x=6$，整理得$-2x=5$，解得$x=-\frac{5}{2}$；
解$\frac{x+1}{3}-x=-2$：
两边同乘3得：$x+1-3x=-6$，整理得$-2x=-7$，解得$x=\frac{7}{2}$；
故方程的解为$x_1=-\frac{5}{2},x_2=\frac{7}{2}$。
(2) 原方程为$x^2-2x+1-25(2x-1)^2=0$，利用完全平方公式变形得：
$(x-1)^2=25(2x-1)^2$，开平方得：
$x-1=5(2x-1)$ 或 $x-1=-5(2x-1)$
解$x-1=5(2x-1)$：
展开得$x-1=10x-5$，整理得$-9x=-4$，解得$x=\frac{4}{9}$；
解$x-1=-5(2x-1)$：
展开得$x-1=-10x+5$，整理得$11x=6$，解得$x=\frac{6}{11}$；
故方程的解为$x_1=\frac{4}{9},x_2=\frac{6}{11}$。
(3) 原方程为$mx^2-3=x^2+2$，移项合并同类项得：
$(m-1)x^2=5$，因为$m≠1$，所以$x^2=\frac{5}{m-1}$；
当$m-1＜0$即$m＜1$时，$\frac{5}{m-1}＜0$，平方数不可能为负，原方程无实数解；
当$m-1＞0$即$m＞1$时，$x=\pm\sqrt{\frac{5}{m-1}}=\pm\frac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$；
综上，当$m＜1$时，方程无实数解；当$m＞1$时，方程的解为$x=\pm\frac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{5}{2},x_2=\frac{7}{2}$；
(2) $x_1=\frac{4}{9},x_2=\frac{6}{11}$；
(3) 当$m＜1$时，无实数解；当$m＞1$时，$x=\pm\frac{\sqrt{5(m-1)}}{m-1}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式，含参数的一元二次方程的解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题，重点考查整体思想的运用，以及含参数方程的解的讨论，需注意平方数的非负性，计算时要细心避免符号错误。
【难度系数】
0.5
12. 已知一个等腰三角形的两边长是方程 $1-(2x-11)^{2}=0$ 的两根,求该等腰三角形的面积.
答案
12.移项可得$(2x-11)^2=1$,直接开平方得 $2x-11=\pm1$,解得 $x_1=5,x_2=6$.
当等腰三角形腰长为 5,底边长为 6 时,
根据勾股定理得底边上的高为 $\sqrt{5^2-3^2}=4$,
等腰三角形的面积为 $\dfrac{1}{2}×6×4=12$;
当等腰三角形腰长为 6,底边长为 5 时,
根据勾股定理得底边上的高为 $\sqrt{6^2-(\dfrac{5}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{119}}{2}$,
等腰三角形的面积为 $\dfrac{1}{2}×5×\dfrac{\sqrt{119}}{2}=\dfrac{5\sqrt{119}}{4}$,
$\therefore$ 该等腰三角形的面积为 $12$ 或 $\dfrac{5\sqrt{119}}{4}$.
当等腰三角形腰长为 5,底边长为 6 时,
根据勾股定理得底边上的高为 $\sqrt{5^2-3^2}=4$,
等腰三角形的面积为 $\dfrac{1}{2}×6×4=12$;
当等腰三角形腰长为 6,底边长为 5 时,
根据勾股定理得底边上的高为 $\sqrt{6^2-(\dfrac{5}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{119}}{2}$,
等腰三角形的面积为 $\dfrac{1}{2}×5×\dfrac{\sqrt{119}}{2}=\dfrac{5\sqrt{119}}{4}$,
$\therefore$ 该等腰三角形的面积为 $12$ 或 $\dfrac{5\sqrt{119}}{4}$.
解析
【分析】
首先需求解给定的一元二次方程，得到方程的两根即等腰三角形的两边长；由于等腰三角形的腰和底不确定，需分两种情况讨论，结合三角形三边关系验证两种情况的合理性，再利用勾股定理求出对应底边上的高，最终计算等腰三角形的面积。
【解析】
1. 解方程：对$1-(2x-11)^2=0$移项得$(2x-11)^2=1$，直接开平方得$2x-11=\pm1$，解得$x_1=5$，$x_2=6$，即等腰三角形的两边长为5和6。
2. 分情况计算面积：
当腰长为5，底边长为6时，底边上的高为$\sqrt{5^2 - (\frac{6}{2})^2}=\sqrt{25-9}=4$，此时面积为$\frac{1}{2}×6×4=12$；
当腰长为6，底边长为5时，底边上的高为$\sqrt{6^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{36-\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{119}}{2}$，此时面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}$。
【答案】
$12$或$\dfrac{5\sqrt{119}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的综合题，需先解一元二次方程得到边长，再对等腰三角形的腰和底分类讨论，结合勾股定理计算高，解题时要保证分类完整，避免漏解。
【难度系数】
0.5
首先需求解给定的一元二次方程，得到方程的两根即等腰三角形的两边长；由于等腰三角形的腰和底不确定，需分两种情况讨论，结合三角形三边关系验证两种情况的合理性，再利用勾股定理求出对应底边上的高，最终计算等腰三角形的面积。
【解析】
1. 解方程：对$1-(2x-11)^2=0$移项得$(2x-11)^2=1$，直接开平方得$2x-11=\pm1$，解得$x_1=5$，$x_2=6$，即等腰三角形的两边长为5和6。
2. 分情况计算面积：
当腰长为5，底边长为6时，底边上的高为$\sqrt{5^2 - (\frac{6}{2})^2}=\sqrt{25-9}=4$，此时面积为$\frac{1}{2}×6×4=12$；
当腰长为6，底边长为5时，底边上的高为$\sqrt{6^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{36-\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{119}}{2}$，此时面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}$。
【答案】
$12$或$\dfrac{5\sqrt{119}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的综合题，需先解一元二次方程得到边长，再对等腰三角形的腰和底分类讨论，结合勾股定理计算高，解题时要保证分类完整，避免漏解。
【难度系数】
0.5
13. (2026·襄阳校级月考)定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数,如$[1.8]=1,[-1.4]=$$-2,[-3]=-3$.函数$y=[x](-2 ≤ x ＜ 3)$的图象如图所示,则方程$[x]=\dfrac{1}{2}x^{2}$的解为$x=$
（
A.$0$或$\sqrt{2}$或$2$
B.$0$或$\sqrt{2}$
C.$1$或$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$
（
A
）A.$0$或$\sqrt{2}$或$2$
B.$0$或$\sqrt{2}$
C.$1$或$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$
答案
13.A 解析:当 $2≤ x＜3$ 时,$\dfrac{1}{2}x^2=2$,解得 $x_1=2,x_2=-2$(舍去);当 $1≤ x＜2$ 时,$\dfrac{1}{2}x^2=1$,解得 $x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$(舍去);当 $0≤ x＜1$ 时,$\dfrac{1}{2}x^2=0$,解得 $x=0$;当 $-1≤ x＜0$ 时,$\dfrac{1}{2}x^2=-1$,方程没有实数根;当 $-2≤ x＜-1$ 时,$\dfrac{1}{2}x^2=-2$,方程没有实数根,$\therefore$ 方程$[x]=\dfrac{1}{2}x^2$ 的解为 $x=0$ 或 $x=\sqrt{2}$ 或 $x=2$.故选 A.
解析
【分析】
首先明确[x]的定义：不超过实数x的最大整数，因此需将x按区间划分，每个区间内[x]为固定整数；再将[x]代入方程，解一元二次方程后，检验解是否属于对应区间，以此确定方程的解。
【解析】
根据[x]的定义，分区间讨论：
1. 当2≤x＜3时，[x]=2，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=2$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$，其中$x=2$在区间2≤x＜3内，$x=-2$舍去；
2. 当1≤x＜2时，[x]=1，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=1$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$，其中$\sqrt{2}\approx1.414$在区间1≤x＜2内，$x=-\sqrt{2}$舍去；
3. 当0≤x＜1时，[x]=0，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=0$，解得$x=0$，在区间0≤x＜1内；
4. 当-1≤x＜0时，[x]=-1，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=-1$，无实数根；
5. 当-2≤x＜-1时，[x]=-2，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=-2$，无实数根。
综上，方程的解为$x=0$或$x=\sqrt{2}$或$x=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
取整函数、一元二次方程求解
【点评】
本题结合取整函数考查一元二次方程的解，核心是利用取整函数的定义分区间讨论，需注意解的取值范围是否匹配对应区间，避免错解。
【难度系数】
0.5
首先明确[x]的定义：不超过实数x的最大整数，因此需将x按区间划分，每个区间内[x]为固定整数；再将[x]代入方程，解一元二次方程后，检验解是否属于对应区间，以此确定方程的解。
【解析】
根据[x]的定义，分区间讨论：
1. 当2≤x＜3时，[x]=2，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=2$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$，其中$x=2$在区间2≤x＜3内，$x=-2$舍去；
2. 当1≤x＜2时，[x]=1，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=1$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$，其中$\sqrt{2}\approx1.414$在区间1≤x＜2内，$x=-\sqrt{2}$舍去；
3. 当0≤x＜1时，[x]=0，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=0$，解得$x=0$，在区间0≤x＜1内；
4. 当-1≤x＜0时，[x]=-1，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=-1$，无实数根；
5. 当-2≤x＜-1时，[x]=-2，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=-2$，无实数根。
综上，方程的解为$x=0$或$x=\sqrt{2}$或$x=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
取整函数、一元二次方程求解
【点评】
本题结合取整函数考查一元二次方程的解，核心是利用取整函数的定义分区间讨论，需注意解的取值范围是否匹配对应区间，避免错解。
【难度系数】
0.5
14. 若方程$\dfrac{1}{2}x^{4}-8=0$有$a$个不相等的实数根,方程$\dfrac{3}{x-2}=|x-2|$有$b$个不相等的实数根,则$a+b=$
3
.答案
14.3 解析:$\because \dfrac{1}{2}x^4-8=0$,$\therefore x^4=16$,开方得 $x^2=4$ 或 $x^2=-4$(舍去),开方得 $x=\pm2$,故方程 $\dfrac{1}{2}x^4-8=0$ 有两个不相等的实数根,即 $a=2$.对于 $\dfrac{3}{x-2}=|x-2|$,当 $x-2＜0$ 时,则 $\dfrac{3}{x-2}=-(x-2)$,$\therefore (x-2)^2=-3$,无解;当 $x-2＞0$ 时,则 $\dfrac{3}{x-2}=x-2$,$\therefore (x-2)^2=3$,解得 $x=2+\sqrt{3}$ 或 $x=2-\sqrt{3}$(不满足 $x-2＞0$,舍去),经检验,$x=2+\sqrt{3}$ 是原方程的解,$\therefore$ 方程 $\dfrac{3}{x-2}=|x-2|$ 有一个实数根,即 $b=1$.故 $a+b=3$.
解析
【分析】要先分别求解两个方程，确定每个方程不相等的实数根的个数，再计算两者之和。对于第一个四次方程，先整理转化为二次方程求解，舍去无实根的情况；对于含绝对值的分式方程，需根据绝对值内式子的正负分情况讨论，同时注意分母不为0，解出后要检验是否符合对应情况的条件，舍去不符合的解，从而确定根的个数。
【解析】先求解方程$\dfrac{1}{2}x^4 -8=0$：
移项得$\dfrac{1}{2}x^4=8$，两边同乘2得$x^4=16$，即$(x^2)^2=16$，开方得$x^2=4$或$x^2=-4$，因平方数非负，舍去$x^2=-4$，由$x^2=4$解得$x=2$或$x=-2$，故该方程有2个不相等的实数根，即$a=2$。
再求解方程$\dfrac{3}{x-2}=|x-2|$：
分母不为0，故$x≠2$，分两种情况讨论：
①当$x-2＜0$（即$x＜2$）时，$|x-2|=2-x$，原方程化为$\dfrac{3}{x-2}=2-x$，两边同乘$x-2$得$3=-(x-2)^2$，即$(x-2)^2=-3$，无实数根；
②当$x-2＞0$（即$x＞2$）时，$|x-2|=x-2$，原方程化为$\dfrac{3}{x-2}=x-2$，两边同乘$x-2$得$3=(x-2)^2$，开方得$x-2=±\sqrt{3}$，解得$x=2+\sqrt{3}$或$x=2-\sqrt{3}$，其中$x=2-\sqrt{3}＜2$，不满足$x＞2$，舍去，仅$x=2+\sqrt{3}$是原方程的解，故该方程有1个不相等的实数根，即$b=1$。
因此$a+b=2+1=3$。
【答案】3
【知识点】高次方程求解、绝对值方程求解、方程根的判定
【点评】本题综合考查高次方程与含绝对值的分式方程的解法，核心是对绝对值方程分类讨论，需注意解的合理性检验，避免增根或不符合条件的解，整体难度适中，需具备分类讨论意识与运算能力。
【难度系数】0.6
【解析】先求解方程$\dfrac{1}{2}x^4 -8=0$：
移项得$\dfrac{1}{2}x^4=8$，两边同乘2得$x^4=16$，即$(x^2)^2=16$，开方得$x^2=4$或$x^2=-4$，因平方数非负，舍去$x^2=-4$，由$x^2=4$解得$x=2$或$x=-2$，故该方程有2个不相等的实数根，即$a=2$。
再求解方程$\dfrac{3}{x-2}=|x-2|$：
分母不为0，故$x≠2$，分两种情况讨论：
①当$x-2＜0$（即$x＜2$）时，$|x-2|=2-x$，原方程化为$\dfrac{3}{x-2}=2-x$，两边同乘$x-2$得$3=-(x-2)^2$，即$(x-2)^2=-3$，无实数根；
②当$x-2＞0$（即$x＞2$）时，$|x-2|=x-2$，原方程化为$\dfrac{3}{x-2}=x-2$，两边同乘$x-2$得$3=(x-2)^2$，开方得$x-2=±\sqrt{3}$，解得$x=2+\sqrt{3}$或$x=2-\sqrt{3}$，其中$x=2-\sqrt{3}＜2$，不满足$x＞2$，舍去，仅$x=2+\sqrt{3}$是原方程的解，故该方程有1个不相等的实数根，即$b=1$。
因此$a+b=2+1=3$。
【答案】3
【知识点】高次方程求解、绝对值方程求解、方程根的判定
【点评】本题综合考查高次方程与含绝对值的分式方程的解法，核心是对绝对值方程分类讨论，需注意解的合理性检验，避免增根或不符合条件的解，整体难度适中，需具备分类讨论意识与运算能力。
【难度系数】0.6
15. 对于实数 $p,q$,我们用符号 $\max\{p,q\}$ 表示 $p$,
$q$ 两数中较大的数,如: $\max\{1,2\}=2$.
(1) 请直接写出 $\max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\}=$
(2) 我们知道,当 $m^2=1$ 时,$m=\pm1$,利用这种方法解决下面问题:若 $\max\{(x-1)^2,x^2\}=4$,求 $x$ 的值.
[二维码] 视频讲题
$q$ 两数中较大的数,如: $\max\{1,2\}=2$.
(1) 请直接写出 $\max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\}=$
$-\sqrt{3}$
；(2) 我们知道,当 $m^2=1$ 时,$m=\pm1$,利用这种方法解决下面问题:若 $\max\{(x-1)^2,x^2\}=4$,求 $x$ 的值.
[二维码] 视频讲题
答案
15.(1)$-\sqrt{3}$ 解析:$\because -\sqrt{3}＞-\sqrt{5}$,$\therefore \max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\}=-\sqrt{3}$.
(2)当 $x=0.5$ 时,$(x-1)^2=x^2=0.25≠4$,不符合题意;
当 $x＞0.5$ 时,$(x-1)^2＜x^2$,则 $x^2=4$,解得 $x=2$ 或 $x=-2$(舍去);
当 $x＜0.5$ 时,$(x-1)^2＞x^2$,$\therefore (x-1)^2=4$,解得 $x=3$(舍去)或 $x=-1$.
故 $x$ 的值为 $2$ 或 $-1$.
(2)当 $x=0.5$ 时,$(x-1)^2=x^2=0.25≠4$,不符合题意;
当 $x＞0.5$ 时,$(x-1)^2＜x^2$,则 $x^2=4$,解得 $x=2$ 或 $x=-2$(舍去);
当 $x＜0.5$ 时,$(x-1)^2＞x^2$,$\therefore (x-1)^2=4$,解得 $x=3$(舍去)或 $x=-1$.
故 $x$ 的值为 $2$ 或 $-1$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需依据max函数的定义，通过比较两个负数的大小确定结果；第(2)问需先找到两个代数式相等的临界点，再分情况讨论它们的大小关系，结合max函数定义转化为方程求解，最后验证解的合理性。
【解析】
(1) 比较负数大小：因为$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{5} \approx 2.236$，所以$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$，$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$，根据“负数比较大小，绝对值小的数更大”，可得$-\sqrt{3} ＞ -\sqrt{5}$，因此$\max\{-\sqrt{3}, -\sqrt{5}\}=-\sqrt{3}$。
(2) 先求临界点：令$(x-1)^2 = x^2$，展开得$x^2 - 2x +1 = x^2$，化简得$-2x +1=0$，解得$x=0.5$，即$x=0.5$时两式相等。
分情况讨论：
① 当$x ＞ 0.5$时，$(x-1)^2 ＜ x^2$，故$\max\{(x-1)^2, x^2\}=x^2$，令$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$，舍去不符合$x＞0.5$的$x=-2$；
② 当$x ＜ 0.5$时，$(x-1)^2 ＞ x^2$，故$\max\{(x-1)^2, x^2\}=(x-1)^2$，令$(x-1)^2=4$，解得$x=3$或$x=-1$，舍去不符合$x＜0.5$的$x=3$；
综上，x的值为2或-1。
【答案】
(1)$-\sqrt{3}$；(2)$2$或$-1$
【知识点】
实数大小比较，解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题考查对新定义“max函数”的应用，核心是利用分类讨论思想确定代数式的大小关系，转化为方程求解，难度适中，需学生掌握负数比较、一元二次方程解法及分类方法。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需依据max函数的定义，通过比较两个负数的大小确定结果；第(2)问需先找到两个代数式相等的临界点，再分情况讨论它们的大小关系，结合max函数定义转化为方程求解，最后验证解的合理性。
【解析】
(1) 比较负数大小：因为$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{5} \approx 2.236$，所以$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$，$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$，根据“负数比较大小，绝对值小的数更大”，可得$-\sqrt{3} ＞ -\sqrt{5}$，因此$\max\{-\sqrt{3}, -\sqrt{5}\}=-\sqrt{3}$。
(2) 先求临界点：令$(x-1)^2 = x^2$，展开得$x^2 - 2x +1 = x^2$，化简得$-2x +1=0$，解得$x=0.5$，即$x=0.5$时两式相等。
分情况讨论：
① 当$x ＞ 0.5$时，$(x-1)^2 ＜ x^2$，故$\max\{(x-1)^2, x^2\}=x^2$，令$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$，舍去不符合$x＞0.5$的$x=-2$；
② 当$x ＜ 0.5$时，$(x-1)^2 ＞ x^2$，故$\max\{(x-1)^2, x^2\}=(x-1)^2$，令$(x-1)^2=4$，解得$x=3$或$x=-1$，舍去不符合$x＜0.5$的$x=3$；
综上，x的值为2或-1。
【答案】
(1)$-\sqrt{3}$；(2)$2$或$-1$
【知识点】
实数大小比较，解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题考查对新定义“max函数”的应用，核心是利用分类讨论思想确定代数式的大小关系，转化为方程求解，难度适中，需学生掌握负数比较、一元二次方程解法及分类方法。
【难度系数】
0.6
