10. 已知 $n$ 边形的对角线共有 $\dfrac{n(n-3)}{2}$ 条 $(n ≥ 3)$.
(1)五边形的对角线共有 ______ 条.
(2)若 $n$ 边形的对角线共有 35 条,求边数 $n$.
(3)A 同学说:"我求得一个多边形共有 10 条对角线."你认为 A 同学的说法正确吗? 为什么?

(1)5 解析:五边形的对角线共有$\frac{5×2}{2}=5$(条).
(2)由题意得$\frac{n(n-3)}{2}=35$,整理得$n^2-3n-70=0$,解得$n=10$或$n=-7$(舍去),$\therefore$ 边数$n$为10.
(3)A同学的说法不正确.理由:令$\frac{1}{2}n(n-3)=10$,整理得$n^2-3n-20=0$,解得$n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$,$\therefore$ 符合方程$n^2-3n-20=0$的正整数$n$不存在,$\therefore$ 多边形的对角线不可能有10条.

【分析】
本题围绕n边形对角线公式展开，解题思路如下：1. 第(1)问直接将五边形的边数n=5代入对角线公式计算；2. 第(2)问已知对角线总数，代入公式得到关于n的一元二次方程，求解后根据n为正整数舍去不合理的负根；3. 第(3)问假设存在该多边形，将对角线数10代入公式得到方程，求解后判断解是否为≥3的正整数，据此判断说法是否正确。
【解析】
(1) 将n=5代入对角线公式$\frac{n(n-3)}{2}$，得：$\frac{5×(5-3)}{2}=5$，故五边形的对角线共有5条；
(2) 由题意，对角线共35条，代入公式得$\frac{n(n-3)}{2}=35$，整理为一元二次方程：$n^2 -3n -70=0$，解得$n=10$或$n=-7$，因为边数n≥3且为正整数，舍去$n=-7$，故边数n为10；
(3) 假设存在这样的多边形，对角线共10条，代入公式得$\frac{n(n-3)}{2}=10$，整理得$n^2 -3n -20=0$，解得$n=\frac{3±\sqrt{89}}{2}$，不存在符合条件的正整数n，故A同学的说法不正确。
【答案】(1)5；(2)10；(3)A同学的说法不正确，理由：令$\frac{1}{2}n(n-3)=10$，整理得$n^2-3n-20=0$，解得$n=\frac{3±\sqrt{89}}{2}$，不存在符合条件的正整数n，故该多边形不存在。
【知识点】多边形的对角线，一元二次方程的应用
【点评】本题考查多边形对角线公式的应用及一元二次方程在实际问题中的求解，关键是牢记对角线公式，且注意多边形边数为≥3的正整数这一隐含条件，整体难度适中，属于基础题。
【难度系数】0.6

11. 如图,在$△ ABC$中,已知$∠ BAC=45^{ \circ }$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$BD=4$,$DC=6$,求$AD$的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路,探究并解答下列问题:
(1)分别以$AB$,$AC$为对称轴,画出$△ ABD$,$△ ACD$的轴对称图形,点$D$的对称点为$E$,$F$,延长$EB$,$FC$相交于点$G$,证明:四边形$AEGF$是正方形;
(2)设$AD=x$,利用勾股定理,建立关于$x$的方程模型,并求出$x$的值.

(1)由题意可得$△ ABD ≌ △ ABE$,$△ ACD ≌ △ ACF$,$\therefore ∠ DAB = ∠ EAB$,$∠ DAC = ∠ FAC$. 又$∠ BAC = 45°$,$\therefore ∠ EAF = 90°$.又$\because AD ⊥ BC$,$\therefore ∠ E = ∠ ADB = 90°$,$∠ F = ∠ ADC = 90°$.$\because AE = AD$,$AF = AD$,$\therefore AE = AF$,$\therefore$ 四边形$AEGF$是正方形.
(2)设$AD = x$,$\therefore AE = EG = GF = x$.$\because BD = 4$,$DC = 6$,$\therefore BE = 4$,$CF = 6$,$BC = 10$,$\therefore BG = x-4$,$CG = x-6$.在$\mathrm{Rt}△ BGC$中,$BG^2 + CG^2 = BC^2$,即$(x-4)^2 + (x-6)^2 = 10^2$,整理得$x^2 -10x -24 = 0$,解得$x_1 = \frac{10+\sqrt{196}}{2}=12$,$x_2 = \frac{10-\sqrt{196}}{2}=-2$(舍去),$\therefore x=12$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用轴对称的性质，得到对应角相等、对应边相等，结合已知∠BAC=45°推导四边形AEGF的内角与边的关系，证明其为正方形；第(2)问设AD=x，根据轴对称得到BE、CF的长度，进而表示出BG、CG，在Rt△BGC中运用勾股定理建立方程，解方程并舍去负数解得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：由轴对称的性质可知，△ABD与△ABE关于AB对称，△ACD与△ACF关于AC对称，因此△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF。
由此可得：∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，AE=AD，AF=AD，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°。
已知∠BAC=45°，则∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠FAC=∠DAB+∠DAC+∠BAC=45°+45°=90°。
因为∠E=∠F=90°，∠EAF=90°，所以四边形AEGF是矩形；又AE=AF，故矩形AEGF是正方形。
(2) 设AD=x，由(1)知四边形AEGF是正方形，因此AE=EG=GF=AF=x。
由轴对称性质得BE=BD=4，CF=CD=6，所以BG=EG-BE=x-4，CG=GF-CF=x-6。
在Rt△BGC中，BC=BD+DC=4+6=10，根据勾股定理：
BG² + CG² = BC²，即$(x-4)^2 + (x-6)^2 = 10^2$，
展开整理得：$x^2 -10x -24 = 0$，
用求根公式解得：$x_1=\frac{10+\sqrt{196}}{2}=12$，$x_2=\frac{10-\sqrt{196}}{2}=-2$（边长为正，舍去负数解），
因此AD的长为12。
【答案】
12
【知识点】
轴对称的性质；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题通过轴对称变换翻折图形，构造出正方形和直角三角形，结合方程思想与勾股定理求解，体现了几何变换与代数方法结合的解题思路，综合考查了轴对称、正方形判定及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.5

12. (2025·丽水期中) 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(m+2)x+3m+3=0$, 若方程的根都是整数,则满足条件的正整数 $m$ 的值为.
第2章

11 或 9 解析:由$x^2-(m+2)x+3m+3=0$可知,$a=1,b=-(m+2),c=3m+3$,由题意知方程有实数根,$\therefore$ 由求根公式可得$x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m+2)^2-4(3m+3)}}{2}$,化简得$x=\frac{m+2\pm\sqrt{m^2-8m-8}}{2}$.$\because$ 方程的根都是整数,$\therefore m^2-8m-8$为平方数,设$m^2-8m-8=k^2$($k$为正整数),$\therefore (m-4)^2 -k^2=24$,则$(m-4+k)(m-4-k)=24$.$\because m$为正整数,$k$为正整数,$\therefore m-4+k$和$m-4-k$为24的正整数因数,且$m-4+k＞m-4-k$.$\because 24=1×24=2×12=3×8=4×6$,当$m-4+k=24$,$m-4-k=1$时,$m=\frac{33}{2}$(舍去),当$m-4+k=12$,$m-4-k=2$时,$m=11$,代入验证方程的根是整数,满足条件,当$m-4+k=8$,$m-4-k=3$时,$m=\frac{19}{2}$(舍去),当$m-4+k=6$,$m-4-k=4$时,$m=9$,代入验证方程的根是整数,满足条件,$\therefore$ 正整数$m$的值为11或9.

【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根为整数的性质：方程的根为整数时，其判别式必须是完全平方数。首先用求根公式表示方程的根，再通过变形将判别式转化为平方差形式，结合正整数的条件，通过因数分解筛选出符合要求的m值。
【解析】
已知方程为 $x^2 - (m+2)x + 3m + 3 = 0$，其中 $a=1$，$b=-(m+2)$，$c=3m+3$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+2)]^2 - 4 × 1 × (3m+3) = m^2 + 4m + 4 - 12m - 12 = m^2 - 8m - 8$。
2. 用求根公式表示根：
$x = \frac{(m+2) \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{m+2 \pm \sqrt{m^2 -8m -8}}{2}$。
因为方程的根都是整数，所以 $\Delta = m^2 -8m -8$ 必须是完全平方数，设 $\Delta = k^2$（$k$ 为整数），则：
$m^2 -8m -8 = k^2$，配方得：
$(m-4)^2 - k^2 = 24$，利用平方差公式分解：
$(m-4 + k)(m-4 - k) = 24$。
3. 筛选正整数 $m$：
因为 $m$ 是正整数，$k$ 为整数，所以 $(m-4 + k)$ 和 $(m-4 - k)$ 均为24的整数因数，且两者同奇偶（和为 $2(m-4)$ 是偶数），同时 $m-4 + k ＞ m-4 - k$。
24的正整数因数对中，同奇偶的为 $(2,12)$ 和 $(4,6)$：
当 $(m-4 + k)=12$，$(m-4 -k)=2$ 时，两式相加得 $2(m-4)=14$，解得 $m=11$，验证方程根为整数，符合条件；
当 $(m-4 +k)=6$，$(m-4 -k)=4$ 时，两式相加得 $2(m-4)=10$，解得 $m=9$，验证方程根为整数，符合条件；
其余因数对一奇一偶，和为奇数，无法满足条件，舍去。
因此，满足条件的正整数 $m$ 的值为11或9。
【答案】
11或9
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的整数根，平方差公式
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的性质、代数变形及因数分解的应用，关键在于将判别式转化为平方差形式，通过因数对筛选符合条件的正整数m，对学生的代数运算和逻辑推理能力有一定要求，是中等难度的题型。
【难度系数】
0.5

13. 新趋势 项目式学习（2025·泉州期中）问题：
已知方程 $x^2 + x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为$y$，则$y = 2x$，所以$x = \frac{y}{2}$，把$x = \frac{y}{2}$代入已知方程，得 $(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} - 1 = 0$。
化简，得$y^2 + 2y - 4 = 0$，故所求方程为$y^2 + 2y - 4 = 0$。
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
请用上面提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）。
(1) 已知方程 $x^2 + 2x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；
(2) 已知关于$x$的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a,b,c$为常数，$a ≠ 0$）的两个实数根分别为3，-2，利用“换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是-1，-6；
(3) 已知关于$x$的一元二次方程 $(m^2 + 4)x^2 + (4m + 8)x + 4 = 0$（$0 \le m \le 15$）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数。
4 学霸 027

(1)$y^2-2y-1=0$ 解析:令$y=-x$,则$x=-y$,代入已知方程得所求方程为$y^2-2y-1=0$.
(2)$\because 3-4=-1$且$-2-4=-6$,设所求方程的根为$y$,则$y=x-4$,即$x=y+4$,则$a(y+4)^2+b(y+4)+c=0$,化为一般形式为$ay^2+(8a+b)y+16a+4b+c=0$,该方程即为所求方程.
(3)设所求方程的根为$y$,则$y=\frac{1}{x}(x≠0),\therefore x=\frac{1}{y}(y≠0)$,代入原方程,得$(m^2+4)(\frac{1}{y})^2+(4m+8)·\frac{1}{y}+4=0$,去分母,得$4y^2+(4m+8)y+(m^2+4)=0$,$b^2-4ac=(4m+8)^2-4×4(m^2+4)=64m$,$\therefore y=\frac{-(4m+8)\pm\sqrt{64m}}{2×4}=-\frac{1}{2}m-1\pm\sqrt{m}$.$\because 0≤ m≤15$,且根是整数,$\therefore m$为偶数且为完全平方数,$\therefore m=0$或$m=4$,$\therefore$ 所求方程为$4y^2+8y+4=0$,即$y^2+2y+1=0$,或$4y^2+24y+20=0$,即$y^2+6y+5=0$.

【分析】
本题利用题目提供的“换根法”求解新的一元二次方程，核心思路是：设所求方程的根为$y$，根据所求根与原方程根的关系，将原方程的根用$y$表示，再代入原方程，化简整理得到所求方程；对于需整数根的情况，要结合根为整数的条件确定参数值，进而得到对应方程。
【解析】
(1) 设所求方程的根为$y$，由题意知所求根是已知方程根的相反数，即$y = -x$，则$x = -y$。将$x = -y$代入方程$x^2 + 2x - 1 = 0$，得：
$(-y)^2 + 2(-y) - 1 = 0$，化简得$y^2 - 2y - 1 = 0$，即所求方程。
(2) 观察所求根与原方程根的关系：$-1 = 3 - 4$，$-6 = -2 - 4$，设所求方程的根为$y$，则$y = x - 4$，即$x = y + 4$。将$x = y + 4$代入方程$ax^2 + bx + c = 0$，得：
$a(y + 4)^2 + b(y + 4) + c = 0$，展开整理：
$a(y^2 + 8y + 16) + b(y + 4) + c = 0$，即$ay^2 + (8a + b)y + (16a + 4b + c) = 0$，此为所求方程。
(3) 设所求方程的根为$y$，由题意知$y = \frac{1}{x}$（$x≠0$），则$x = \frac{1}{y}$（$y≠0$）。将$x = \frac{1}{y}$代入方程$(m^2 + 4)x^2 + (4m + 8)x + 4 = 0$，得：
$(m^2 + 4)(\frac{1}{y})^2 + (4m + 8)·\frac{1}{y} + 4 = 0$，去分母（两边乘$y^2$）得：
$4y^2 + (4m + 8)y + (m^2 + 4) = 0$。
计算判别式$\Delta = (4m + 8)^2 - 4×4×(m^2 + 4) = 64m$，则方程的根为：
$y = \frac{-(4m + 8)±\sqrt{64m}}{2×4} = -\frac{m}{2} - 1 ±\sqrt{m}$。
因为$0≤m≤15$且根为整数，所以$\sqrt{m}$为整数，设$\sqrt{m}=k$（$k$为整数），则$m=k^2$，代入得$y = -\frac{k^2}{2} -1 ±k$。要使$y$为整数，需$\frac{k^2}{2}$为整数，故$k$为偶数，结合$0≤k^2≤15$，得$k=0$或$k=2$：
当$k=0$时，$m=0$，代入得方程为$4y^2 +8y +4=0$，化简为$y^2 +2y +1=0$；
当$k=2$时，$m=4$，代入得方程为$4y^2 +24y +20=0$，化简为$y^2 +6y +5=0$。
【答案】
(1)$y^2 - 2y - 1 = 0$；(2)$ay^2 + (8a + b)y + 16a + 4b + c = 0$；(3)$y^2 + 2y + 1 = 0$和$y^2 + 6y + 5 = 0$
【知识点】
换根法求一元二次方程，一元二次方程的整数根，代数式化简
【点评】
本题以项目式学习为背景，考查“换根法”的应用，前两问侧重换根法的直接代换，第三问需结合整数根的条件分析参数，综合性较强，能有效考查学生的代数变形与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6