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12. (烟台中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-$$4x+m-1=0$的实数根$x_{1},x_{2}$满足$3x_{1}x_{2}-x_{1}-$$x_{2}＞2$,则$m$的取值范围是
3＜m≤5
.答案
3＜m≤5 解析:依题意,得 $x_{1}x_{2}=m-1$,$x_{1}+x_{2}=4$,$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4(m-1)≥ 0$,则 $3x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=3× (m-1)-4＞2$,解得 $3＜m≤ 5$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步推导：首先，根据一元二次方程有实数根的条件，利用根的判别式确定m的取值范围；其次，借助韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和与两根之积，代入题目给出的不等式，解不等式得到m的另一范围，最后取两个范围的公共部分即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）：
1. 根的判别式：方程有实数根时，$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$；
2. 韦达定理：两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 - 4x + m - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=m-1$：
由根的判别式得：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(m - 1) ≥ 0$，计算得$16 - 4m + 4 ≥ 0$，即$20 ≥ 4m$，解得$m ≤ 5$；
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = m - 1$；
将上述结果代入不等式$3x_1x_2 - x_1 - x_2 ＞ 2$，得：$3(m - 1) - 4 ＞ 2$，计算左边：$3m - 3 - 4 = 3m - 7$，则$3m - 7 ＞ 2$，解得$3m ＞ 9$，即$m ＞ 3$；
结合两个条件，m的取值范围是$3 ＜ m ≤ 5$。
【答案】
$3＜m≤5$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题是中考常见的综合题，综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，解题时需注意同时满足“方程有实根”和“不等式条件”，避免遗漏判别式的限制，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分两步推导：首先，根据一元二次方程有实数根的条件，利用根的判别式确定m的取值范围；其次，借助韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和与两根之积，代入题目给出的不等式，解不等式得到m的另一范围，最后取两个范围的公共部分即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）：
1. 根的判别式：方程有实数根时，$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$；
2. 韦达定理：两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 - 4x + m - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=m-1$：
由根的判别式得：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(m - 1) ≥ 0$，计算得$16 - 4m + 4 ≥ 0$，即$20 ≥ 4m$，解得$m ≤ 5$；
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = m - 1$；
将上述结果代入不等式$3x_1x_2 - x_1 - x_2 ＞ 2$，得：$3(m - 1) - 4 ＞ 2$，计算左边：$3m - 3 - 4 = 3m - 7$，则$3m - 7 ＞ 2$，解得$3m ＞ 9$，即$m ＞ 3$；
结合两个条件，m的取值范围是$3 ＜ m ≤ 5$。
【答案】
$3＜m≤5$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题是中考常见的综合题，综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，解题时需注意同时满足“方程有实根”和“不等式条件”，避免遗漏判别式的限制，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
13. (1) (2025·东营中考改编) 若 $x_1,x_2$ 是关于$x$ 的一元二次方程 $x^2-25x-1=0$ 的两个实数根,则代数式 $x_1^2-24x_1+x_2$ 的值为
(2) (呼和浩特中考改编) 已知 $x_1,x_2$ 是方程$x^2-x-1\ 000=0$ 的两个实数根,则代数式 $x_1^3-$$1\ 000x_1+x_2^2$ 的值是
26
.(2) (呼和浩特中考改编) 已知 $x_1,x_2$ 是方程$x^2-x-1\ 000=0$ 的两个实数根,则代数式 $x_1^3-$$1\ 000x_1+x_2^2$ 的值是
2001
.答案
(1)26 解析:$\because x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-25x-1=0$ 的两个实数根,$\therefore x_{1}^{2}-25x_{1}-1=0$,$x_{1}+x_{2}=25$,
$\therefore x_{1}^{2}-25x_{1}=1$,$\therefore x_{1}^{2}-24x_{1}+x_{2}=x_{1}^{2}-25x_{1}+x_{1}+x_{2}=(x_{1}^{2}-25x_{1})+(x_{1}+x_{2})=1+25=26$.
(2)2 001 解析:$\because x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}-x-1\ 000=0$ 的两个实数根,$\therefore x_{1}^{2}-1\ 000=x_{1}$,$x_{1}x_{2}=-1\ 000$,$x_{1}+x_{2}=1$,$x_{1}^{3}-1\ 000x_{1}+x_{2}^{2}=x_{1}(x_{1}^{2}-1\ 000)+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=1^{2}-2× (-1\ 000)=2\ 001$.
$\therefore x_{1}^{2}-25x_{1}=1$,$\therefore x_{1}^{2}-24x_{1}+x_{2}=x_{1}^{2}-25x_{1}+x_{1}+x_{2}=(x_{1}^{2}-25x_{1})+(x_{1}+x_{2})=1+25=26$.
(2)2 001 解析:$\because x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}-x-1\ 000=0$ 的两个实数根,$\therefore x_{1}^{2}-1\ 000=x_{1}$,$x_{1}x_{2}=-1\ 000$,$x_{1}+x_{2}=1$,$x_{1}^{3}-1\ 000x_{1}+x_{2}^{2}=x_{1}(x_{1}^{2}-1\ 000)+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=1^{2}-2× (-1\ 000)=2\ 001$.
解析
【分析】
对于这类求一元二次方程根的代数式的值的问题，解题思路为：1.利用一元二次方程根的定义，将根代入方程得到等式，对代数式中的高次项进行降次；2.结合韦达定理（根与系数的关系），将降次后的代数式转化为仅含两根和或两根积的形式，进而计算结果。
【解析】
(1) 因为$x_1$是方程$x^2 -25x -1=0$的实数根，所以$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2=25x_1 +1$。又因为$x_1,x_2$是方程的两个根，根据韦达定理，两根之和$x_1 +x_2=25$。将$x_1^2=25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$，得：
$x_1^2 -24x_1 +x_2=(25x_1 +1)-24x_1 +x_2=x_1 +x_2 +1=25 +1=26$。
(2) 因为$x_1$是方程$x^2 -x -1000=0$的实数根，所以$x_1^2 -x_1 -1000=0$，即$x_1^2=x_1 +1000$，那么$x_1^3=x_1·x_1^2=x_1(x_1 +1000)=x_1^2 +1000x_1$。又因为$x_1,x_2$是方程的两个根，根据韦达定理，两根之和$x_1 +x_2=1$，两根之积$x_1x_2=-1000$。将$x_1^3=x_1^2 +1000x_1$代入代数式$x_1^3 -1000x_1 +x_2^2$，得：
$x_1^3 -1000x_1 +x_2^2=(x_1^2 +1000x_1)-1000x_1 +x_2^2=x_1^2 +x_2^2$。
再根据完全平方公式变形：$x_1^2 +x_2^2=(x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2$，代入数值计算：$1^2 -2×(-1000)=1 +2000=2001$。
【答案】
(1)26；(2)2001
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型基础题型，核心考查根的定义降次与韦达定理的综合应用，需要学生灵活运用方程根的性质和代数变形公式简化计算，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5
对于这类求一元二次方程根的代数式的值的问题，解题思路为：1.利用一元二次方程根的定义，将根代入方程得到等式，对代数式中的高次项进行降次；2.结合韦达定理（根与系数的关系），将降次后的代数式转化为仅含两根和或两根积的形式，进而计算结果。
【解析】
(1) 因为$x_1$是方程$x^2 -25x -1=0$的实数根，所以$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2=25x_1 +1$。又因为$x_1,x_2$是方程的两个根，根据韦达定理，两根之和$x_1 +x_2=25$。将$x_1^2=25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$，得：
$x_1^2 -24x_1 +x_2=(25x_1 +1)-24x_1 +x_2=x_1 +x_2 +1=25 +1=26$。
(2) 因为$x_1$是方程$x^2 -x -1000=0$的实数根，所以$x_1^2 -x_1 -1000=0$，即$x_1^2=x_1 +1000$，那么$x_1^3=x_1·x_1^2=x_1(x_1 +1000)=x_1^2 +1000x_1$。又因为$x_1,x_2$是方程的两个根，根据韦达定理，两根之和$x_1 +x_2=1$，两根之积$x_1x_2=-1000$。将$x_1^3=x_1^2 +1000x_1$代入代数式$x_1^3 -1000x_1 +x_2^2$，得：
$x_1^3 -1000x_1 +x_2^2=(x_1^2 +1000x_1)-1000x_1 +x_2^2=x_1^2 +x_2^2$。
再根据完全平方公式变形：$x_1^2 +x_2^2=(x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2$，代入数值计算：$1^2 -2×(-1000)=1 +2000=2001$。
【答案】
(1)26；(2)2001
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型基础题型，核心考查根的定义降次与韦达定理的综合应用，需要学生灵活运用方程根的性质和代数变形公式简化计算，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5
14. (2026·成都期中)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x+2m-1=0$有$x_{1},x_{2}$两个实数根.
(1)若$x_{1}=1$,求$x_{2}$及$m$的值.
(2)是否存在实数$m$,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=$$\dfrac{6}{m-5}$? 若存在,求出实数$m$的值;若不存在,请说明理由.
(1)若$x_{1}=1$,求$x_{2}$及$m$的值.
(2)是否存在实数$m$,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=$$\dfrac{6}{m-5}$? 若存在,求出实数$m$的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意:$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4× 1× (2m-1)＞0$,$\therefore m＜5$,将 $x_{1}=1$ 代入原方程得 $m=3$,又$\because x_{1}· x_{2}=2m-1=5$,$\therefore x_{2}=5$,$m=3$.
(2)设存在实数 $m$,满足 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\dfrac{6}{m-5}$,那么有 $x_{1}· x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\dfrac{6}{m-5}$,即 $(2m-1)-6+1=\dfrac{6}{m-5}$,整理得 $m^{2}-8m+12=0$,解得 $m=2$ 或 $m=6$.由(1)可知 $m＜5$,$\therefore m=6$ 舍去,从而 $m=2$.综上所述,存在 $m=2$ 符合题意.
(2)设存在实数 $m$,满足 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\dfrac{6}{m-5}$,那么有 $x_{1}· x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\dfrac{6}{m-5}$,即 $(2m-1)-6+1=\dfrac{6}{m-5}$,整理得 $m^{2}-8m+12=0$,解得 $m=2$ 或 $m=6$.由(1)可知 $m＜5$,$\therefore m=6$ 舍去,从而 $m=2$.综上所述,存在 $m=2$ 符合题意.
解析
【分析】
本题分为两小问，核心考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用。第(1)问，已知方程的一个根，可先代入方程求参数m，再利用韦达定理求另一个根，需先根据方程有两个实根的条件确定m的取值范围；第(2)问，先展开所求等式，用韦达定理将根的和与积替换为含m的表达式，解关于m的方程后，结合判别式的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 因为方程有两个实数根，所以判别式Δ = (-6)² - 4×1×(2m - 1) ＞ 0，计算得：
36 - 8m + 4 ＞ 0 → 40 - 8m ＞ 0 → m ＜ 5。
将x₁=1代入原方程x² -6x +2m -1=0，得：
1 -6 +2m -1=0 → 2m=6 → m=3。
根据韦达定理，x₁·x₂=2m -1，代入m=3得x₁·x₂=5，已知x₁=1，故x₂=5。
(2) 假设存在实数m满足条件，先展开等式左边：
(x₁ -1)(x₂ -1)=x₁x₂ - (x₁ +x₂) +1。
由韦达定理，方程x² -6x +2m -1=0中，x₁+x₂=6，x₁x₂=2m -1，代入左边得：
(2m -1) -6 +1 = 2m -6。
因此等式变为：2m -6 = 6/(m -5)，两边同乘(m -5)（m≠5）得：
(2m -6)(m -5)=6 → 2m² -16m +24=0 → m² -8m +12=0，
因式分解得(m-2)(m-6)=0，解得m=2或m=6。
结合第(1)问中m＜5的条件，m=6不符合，舍去，故m=2符合题意，即存在这样的m。
【答案】
(1) x₂=5，m=3；(2) 存在，m=2。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，解题时需注意两个关键隐含条件：一是方程有实根需满足判别式Δ＞0，二是分式方程分母不为0，最终要对求得的参数值进行取舍，避免遗漏条件导致错误。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，核心考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用。第(1)问，已知方程的一个根，可先代入方程求参数m，再利用韦达定理求另一个根，需先根据方程有两个实根的条件确定m的取值范围；第(2)问，先展开所求等式，用韦达定理将根的和与积替换为含m的表达式，解关于m的方程后，结合判别式的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 因为方程有两个实数根，所以判别式Δ = (-6)² - 4×1×(2m - 1) ＞ 0，计算得：
36 - 8m + 4 ＞ 0 → 40 - 8m ＞ 0 → m ＜ 5。
将x₁=1代入原方程x² -6x +2m -1=0，得：
1 -6 +2m -1=0 → 2m=6 → m=3。
根据韦达定理，x₁·x₂=2m -1，代入m=3得x₁·x₂=5，已知x₁=1，故x₂=5。
(2) 假设存在实数m满足条件，先展开等式左边：
(x₁ -1)(x₂ -1)=x₁x₂ - (x₁ +x₂) +1。
由韦达定理，方程x² -6x +2m -1=0中，x₁+x₂=6，x₁x₂=2m -1，代入左边得：
(2m -1) -6 +1 = 2m -6。
因此等式变为：2m -6 = 6/(m -5)，两边同乘(m -5)（m≠5）得：
(2m -6)(m -5)=6 → 2m² -16m +24=0 → m² -8m +12=0，
因式分解得(m-2)(m-6)=0，解得m=2或m=6。
结合第(1)问中m＜5的条件，m=6不符合，舍去，故m=2符合题意，即存在这样的m。
【答案】
(1) x₂=5，m=3；(2) 存在，m=2。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，解题时需注意两个关键隐含条件：一是方程有实根需满足判别式Δ＞0，二是分式方程分母不为0，最终要对求得的参数值进行取舍，避免遗漏条件导致错误。
【难度系数】
0.6
15. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
(1) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+k=0$ 是“倍根方程”,求 $k$ 的值;
(2) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $nx^2-(3n+3m)x+8m=0(n ≠ 0)$ 是“倍根方程”,求该方程的根.
(1) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+k=0$ 是“倍根方程”,求 $k$ 的值;
(2) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $nx^2-(3n+3m)x+8m=0(n ≠ 0)$ 是“倍根方程”,求该方程的根.
答案
(1)设这个方程的两个根分别为 $α$ 和 $2α$,则 $α+2α=-\dfrac{-6}{1}=6$,解得 $α=2$,即这个方程的一个根为 2,将 $x=2$ 代入方程 $x^{2}-6x+k=0$ 得 $4-12+k=0$,解得 $k=8$.
(2)设这个方程的两个根分别为 $β,2β$,由题意得
$\begin{cases}β+2β=\dfrac{3n+3m}{n}, \\β·2β=\dfrac{8m}{n},\end{cases}$ 整理得 $(m-n)^2=0$,$\therefore m=n$,将 $m=n$ 代入①得 $β+2β=\dfrac{3n+3n}{n}=6$,解得 $β=2$,$\therefore 2β=2× 2=4$,$\therefore$ 该方程的根为 $x=2$ 或 $x=4$.
(2)设这个方程的两个根分别为 $β,2β$,由题意得
$\begin{cases}β+2β=\dfrac{3n+3m}{n}, \\β·2β=\dfrac{8m}{n},\end{cases}$ 整理得 $(m-n)^2=0$,$\therefore m=n$,将 $m=n$ 代入①得 $β+2β=\dfrac{3n+3n}{n}=6$,解得 $β=2$,$\therefore 2β=2× 2=4$,$\therefore$ 该方程的根为 $x=2$ 或 $x=4$.
解析
【分析】
本题是关于“倍根方程”的新定义问题，解题关键是根据定义设出方程的两个根（一个为α，另一个为2α），再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），即两根之和等于$-\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，建立方程求解参数或方程的根。
【解析】
(1) 设方程$x^2 -6x +k=0$的两个根分别为$α$和$2α$，根据韦达定理，两根之和$α + 2α = \frac{6}{1}=6$，即$3α=6$，解得$α=2$，所以方程的一个根为2。将$x=2$代入原方程得：$2^2 -6×2 +k=0$，计算得$4 -12 +k=0$，解得$k=8$。
(2) 设方程$nx^2 - (3n+3m)x +8m=0(n≠0)$的两个根分别为$β$和$2β$，根据韦达定理：
两根之和：$β + 2β = \frac{3n+3m}{n}$，即$3β = \frac{3(n+m)}{n}$，化简得$β = \frac{n+m}{n}$；
两根之积：$β·2β = \frac{8m}{n}$，即$2β^2 = \frac{8m}{n}$，化简得$β^2 = \frac{4m}{n}$。
将$β = \frac{n+m}{n}$代入$β^2 = \frac{4m}{n}$，得：$(\frac{n+m}{n})^2 = \frac{4m}{n}$，两边同乘$n^2$（$n≠0$）得：$(n+m)^2 = 4mn$，展开整理得$(m -n)^2=0$，所以$m=n$。
将$m=n$代入$β = \frac{n+m}{n}$，得$β=\frac{n+n}{n}=2$，则$2β=4$，所以该方程的根为$x=2$或$x=4$。
【答案】
(1)$k=8$；(2)方程的根为$x=2$或$x=4$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系、新定义问题
【点评】
本题属于新定义类题型，核心考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的应用，需要准确理解“倍根方程”的定义，将新定义转化为设两根的关系，再结合韦达定理建立方程求解，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
本题是关于“倍根方程”的新定义问题，解题关键是根据定义设出方程的两个根（一个为α，另一个为2α），再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），即两根之和等于$-\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，建立方程求解参数或方程的根。
【解析】
(1) 设方程$x^2 -6x +k=0$的两个根分别为$α$和$2α$，根据韦达定理，两根之和$α + 2α = \frac{6}{1}=6$，即$3α=6$，解得$α=2$，所以方程的一个根为2。将$x=2$代入原方程得：$2^2 -6×2 +k=0$，计算得$4 -12 +k=0$，解得$k=8$。
(2) 设方程$nx^2 - (3n+3m)x +8m=0(n≠0)$的两个根分别为$β$和$2β$，根据韦达定理：
两根之和：$β + 2β = \frac{3n+3m}{n}$，即$3β = \frac{3(n+m)}{n}$，化简得$β = \frac{n+m}{n}$；
两根之积：$β·2β = \frac{8m}{n}$，即$2β^2 = \frac{8m}{n}$，化简得$β^2 = \frac{4m}{n}$。
将$β = \frac{n+m}{n}$代入$β^2 = \frac{4m}{n}$，得：$(\frac{n+m}{n})^2 = \frac{4m}{n}$，两边同乘$n^2$（$n≠0$）得：$(n+m)^2 = 4mn$，展开整理得$(m -n)^2=0$，所以$m=n$。
将$m=n$代入$β = \frac{n+m}{n}$，得$β=\frac{n+n}{n}=2$，则$2β=4$，所以该方程的根为$x=2$或$x=4$。
【答案】
(1)$k=8$；(2)方程的根为$x=2$或$x=4$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系、新定义问题
【点评】
本题属于新定义类题型，核心考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的应用，需要准确理解“倍根方程”的定义，将新定义转化为设两根的关系，再结合韦达定理建立方程求解，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
16. 新趋势 项目式学习 小华在学完《一元二次方程的根与系数的关系》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣.
下面是他收集的素材，请根据素材帮助他完成相应问题：
【素材1】一元三次方程的定义：我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫作一元三次方程，一般形式为 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$（$a,b,c,d$ 为常数，且 $a≠0$）.
【素材2】一元三次方程的解法：若一元三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$（$a≠0$）的左边在实数范围内可因式分解为 $a(x-p)(x-q)(x-r)$（$p,q,r$ 为实数），即原方程化为 $a(x-p)(x-q)(x-r)=0$，则得方程的根为 $x_{1}=p,x_{2}=q$，$x_{3}=r$.
【素材3】一元二次方程根与系数的关系的探究过程：设一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a≠0$）有两个根 $x_{1},x_{2}$，则方程可化为 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$，即 $ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})+ax_{1}x_{2}=0$，与原方程比较，可得根与系数的等量关系为
(1) 若关于 $x$ 的三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$（$a,b,c,d$ 为常数，且 $a≠0$）的左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$，则方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ 的三个根分别为 $x_{1}=$
(2) 若关于 $x$ 的三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$（$a,b,c,d$ 为常数，且 $a≠0$）的三个根为$x_{1},x_{2},x_{3}$，探究根与系数$(a,b,c,d)$之间的等量关系为 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=$
(3) 利用(2)中的结论解决：若方程 $2x^{3}+x^{2}-7x-6=0$ 的三个根为$α,β,\gamma$，则$\dfrac{1}{αβ}+\dfrac{1}{β\gamma}+\dfrac{1}{α\gamma}$的值为
下面是他收集的素材，请根据素材帮助他完成相应问题：
【素材1】一元三次方程的定义：我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫作一元三次方程，一般形式为 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$（$a,b,c,d$ 为常数，且 $a≠0$）.
【素材2】一元三次方程的解法：若一元三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$（$a≠0$）的左边在实数范围内可因式分解为 $a(x-p)(x-q)(x-r)$（$p,q,r$ 为实数），即原方程化为 $a(x-p)(x-q)(x-r)=0$，则得方程的根为 $x_{1}=p,x_{2}=q$，$x_{3}=r$.
【素材3】一元二次方程根与系数的关系的探究过程：设一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a≠0$）有两个根 $x_{1},x_{2}$，则方程可化为 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$，即 $ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})+ax_{1}x_{2}=0$，与原方程比较，可得根与系数的等量关系为
(1) 若关于 $x$ 的三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$（$a,b,c,d$ 为常数，且 $a≠0$）的左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$，则方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ 的三个根分别为 $x_{1}=$
1
，$x_{2}=$-2
，$x_{3}=$3
.(2) 若关于 $x$ 的三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$（$a,b,c,d$ 为常数，且 $a≠0$）的三个根为$x_{1},x_{2},x_{3}$，探究根与系数$(a,b,c,d)$之间的等量关系为 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=$
$-\dfrac{b}{a}$
，$x_{1}· x_{2}· x_{3}=$$-\dfrac{d}{a}$
.(3) 利用(2)中的结论解决：若方程 $2x^{3}+x^{2}-7x-6=0$ 的三个根为$α,β,\gamma$，则$\dfrac{1}{αβ}+\dfrac{1}{β\gamma}+\dfrac{1}{α\gamma}$的值为
$-\dfrac{1}{6}$
.答案
(1)1 -2 3 解析:由题意可知,原方程可化为 $a(x-1)(x+2)(x-3)=0(a≠ 0)$,$\therefore x-1=0$ 或 $x+2=0$ 或 $x-3=0$,$\therefore x_{1}=1$,$x_{2}=-2$,$x_{3}=3$.
(2)$-\dfrac{b}{a}$ $-\dfrac{d}{a}$ 解析:由题意可知,原方程可化为 $a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0$,展开整理得 $ax^{3}-a(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+a(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-ax_{1}x_{2}x_{3}=0$,与原方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ 比较可得 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$,$x_{1}· x_{2}· x_{3}=-\dfrac{d}{a}$.
(3)$-\dfrac{1}{6}$ 解析:利用上题结论可知,$α+β+\gamma=-\dfrac{1}{2}$,$αβ\gamma=-\dfrac{-6}{2}=3$,$\therefore \dfrac{1}{αβ}+\dfrac{1}{β\gamma}+\dfrac{1}{α\gamma}=\dfrac{α+β+\gamma}{αβ\gamma}=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{3}=-\dfrac{1}{6}$.
(2)$-\dfrac{b}{a}$ $-\dfrac{d}{a}$ 解析:由题意可知,原方程可化为 $a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0$,展开整理得 $ax^{3}-a(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+a(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-ax_{1}x_{2}x_{3}=0$,与原方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ 比较可得 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$,$x_{1}· x_{2}· x_{3}=-\dfrac{d}{a}$.
(3)$-\dfrac{1}{6}$ 解析:利用上题结论可知,$α+β+\gamma=-\dfrac{1}{2}$,$αβ\gamma=-\dfrac{-6}{2}=3$,$\therefore \dfrac{1}{αβ}+\dfrac{1}{β\gamma}+\dfrac{1}{α\gamma}=\dfrac{α+β+\gamma}{αβ\gamma}=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{3}=-\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
本题围绕一元三次方程根与系数的关系展开，通过类比一元二次方程的韦达定理进行探究。第(1)题根据素材中三次方程的因式分解形式，直接令各因式为0求解根；第(2)题类比一元二次方程韦达定理的推导方法，将三次因式分解式展开后与原方程比较系数，推导根与系数的关系；第(3)题利用第(2)题的结论，先确定方程根的和与积，再将所求代数式通分变形后代入计算。
【解析】
(1) 根据素材2，原方程可化为$a(x-1)(x+2)(x-3)=0(a≠0)$，令每个因式为0，得$x-1=0$或$x+2=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-2$，$x_3=3$。
(2) 将$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$展开整理：
$\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)&=ax^3 - a(x_1+x_2+x_3)x^2 + a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x - ax_1x_2x_3\end{aligned}$
与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$比较对应系数，可得：
$-a(x_1+x_2+x_3)=b$，即$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$；
$-ax_1x_2x_3=d$，即$x_1·x_2·x_3=-\frac{d}{a}$。
(3) 对于方程$2x^3+x^2-7x-6=0$，其中$a=2$，$b=1$，$d=-6$，根据(2)的结论：
$α+β+\gamma=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，$αβ\gamma=-\frac{d}{a}=-\frac{-6}{2}=3$。
对$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}$通分得：
$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}=\frac{\gamma+α+β}{αβ\gamma}$，代入数值计算：
$\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $1$，$-2$，$3$；(2) $-\frac{b}{a}$，$-\frac{d}{a}$；(3) $-\frac{1}{6}$
【知识点】
一元三次方程根与系数关系，类比推理，代数式求值
【点评】
本题拓展了韦达定理的应用范围，通过类比一元二次方程的根与系数关系探究三次方程的对应关系，重点考察学生的类比推理能力和代数运算能力，是对韦达定理的延伸应用。
【难度系数】
0.6
本题围绕一元三次方程根与系数的关系展开，通过类比一元二次方程的韦达定理进行探究。第(1)题根据素材中三次方程的因式分解形式，直接令各因式为0求解根；第(2)题类比一元二次方程韦达定理的推导方法，将三次因式分解式展开后与原方程比较系数，推导根与系数的关系；第(3)题利用第(2)题的结论，先确定方程根的和与积，再将所求代数式通分变形后代入计算。
【解析】
(1) 根据素材2，原方程可化为$a(x-1)(x+2)(x-3)=0(a≠0)$，令每个因式为0，得$x-1=0$或$x+2=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-2$，$x_3=3$。
(2) 将$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$展开整理：
$\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)&=ax^3 - a(x_1+x_2+x_3)x^2 + a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x - ax_1x_2x_3\end{aligned}$
与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$比较对应系数，可得：
$-a(x_1+x_2+x_3)=b$，即$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$；
$-ax_1x_2x_3=d$，即$x_1·x_2·x_3=-\frac{d}{a}$。
(3) 对于方程$2x^3+x^2-7x-6=0$，其中$a=2$，$b=1$，$d=-6$，根据(2)的结论：
$α+β+\gamma=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，$αβ\gamma=-\frac{d}{a}=-\frac{-6}{2}=3$。
对$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}$通分得：
$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}=\frac{\gamma+α+β}{αβ\gamma}$，代入数值计算：
$\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $1$，$-2$，$3$；(2) $-\frac{b}{a}$，$-\frac{d}{a}$；(3) $-\frac{1}{6}$
【知识点】
一元三次方程根与系数关系，类比推理，代数式求值
【点评】
本题拓展了韦达定理的应用范围，通过类比一元二次方程的根与系数关系探究三次方程的对应关系，重点考察学生的类比推理能力和代数运算能力，是对韦达定理的延伸应用。
【难度系数】
0.6
