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1. (2025·湖北中考)一元二次方程$x^{2}-4x+3=0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,下列结论正确的是（
A.$x_{1}+x_{2}=-4$
B.$x_{1}+x_{2}=3$
C.$x_{1}x_{2}=4$
D.$x_{1}x_{2}=3$
D
）A.$x_{1}+x_{2}=-4$
B.$x_{1}+x_{2}=3$
C.$x_{1}x_{2}=4$
D.$x_{1}x_{2}=3$
答案
D 解析:对于方程$x^{2}-4x+3=0$,设其根为$x_{1}$和$x_{2}$,根据根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-4}{1}=4$,$x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{1}=3$,故选 D.
解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题时先确定一元二次方程的一般形式，找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再根据韦达定理计算两根之和与两根之积，最后对比选项选出正确结论。
【解析】对于一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），本题中方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的$a=1$，$b=-4$，$c=3$。根据根与系数的关系（韦达定理），两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$。对比选项：A选项$x_1+x_2=-4$错误，B选项$x_1+x_2=3$错误，C选项$x_1x_2=4$错误，D选项$x_1x_2=3$正确，故选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式
【点评】本题为一元二次方程根与系数关系的基础应用题，直接考查韦达定理的应用，只要牢记公式即可快速得出答案，属于易得分题。
【难度系数】0.9
【解析】对于一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），本题中方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的$a=1$，$b=-4$，$c=3$。根据根与系数的关系（韦达定理），两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$。对比选项：A选项$x_1+x_2=-4$错误，B选项$x_1+x_2=3$错误，C选项$x_1x_2=4$错误，D选项$x_1x_2=3$正确，故选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式
【点评】本题为一元二次方程根与系数关系的基础应用题，直接考查韦达定理的应用，只要牢记公式即可快速得出答案，属于易得分题。
【难度系数】0.9
2. (2025·连云港期中)已知一元二次方程的两根分别是3和-5,则这个一元二次方程可以是
（
A.$x^{2}-2x+15=0$
B.$x^{2}+2x-15=0$
C.$x^{2}-x-6=0$
D.$x^{2}-2x-15=0$
（
B
）A.$x^{2}-2x+15=0$
B.$x^{2}+2x-15=0$
C.$x^{2}-x-6=0$
D.$x^{2}-2x-15=0$
答案
B 解析:设此一元二次方程为$x^{2}+px+q=0$,$\because$ 二次项系数为1,两根分别为$-5,3$,$\therefore p=-(-5+3)=2$,$q=(-5)× 3=-15$,$\therefore$ 这个方程为$x^{2}+2x-15=0$.故选 B.
解析
【分析】
已知一元二次方程的两根，要构造该方程，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程形式为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$，只需计算两根的和与积，即可确定方程，再与选项对比选出答案。
【解析】
设所求一元二次方程为$x^2 + px + q = 0$（二次项系数为1），已知两根为3和-5，根据韦达定理：
两根之和$x_1+x_2 = -p$，两根之积$x_1x_2 = q$。
代入两根得：$p = -(3 + (-5)) = 2$，$q = 3×(-5) = -15$。
因此该方程为$x^2 + 2x -15 = 0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的构造
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数关系的基础应用，是中考常见的基础题型，需熟练掌握韦达定理的内容。
【难度系数】
0.7
已知一元二次方程的两根，要构造该方程，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程形式为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$，只需计算两根的和与积，即可确定方程，再与选项对比选出答案。
【解析】
设所求一元二次方程为$x^2 + px + q = 0$（二次项系数为1），已知两根为3和-5，根据韦达定理：
两根之和$x_1+x_2 = -p$，两根之积$x_1x_2 = q$。
代入两根得：$p = -(3 + (-5)) = 2$，$q = 3×(-5) = -15$。
因此该方程为$x^2 + 2x -15 = 0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的构造
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数关系的基础应用，是中考常见的基础题型，需熟练掌握韦达定理的内容。
【难度系数】
0.7
3. (2025·苏州中考) 已知 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2x-m=0$ 的两个实数根,其中$x_1=1$,则 $x_2=$
-3
.答案
-3 解析:$\because x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x-m=0$ 的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-2$.$\because x_{1}=1$,$\therefore x_{2}=-3$.
解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。解题思路是：对于一元二次方程的两个根，可利用韦达定理先求出两根之和，再代入已知根的值，计算出未知根。
【解析】对于一元二次方程$x^2 + 2x - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$。已知$x_1=1$，将其代入得：$1 + x_2 = -2$，解得$x_2 = -3$。
【答案】-3
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用，直接运用韦达定理即可快速求解，属于中考基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$x^2 + 2x - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$。已知$x_1=1$，将其代入得：$1 + x_2 = -2$，解得$x_2 = -3$。
【答案】-3
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用，直接运用韦达定理即可快速求解，属于中考基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
4. (1) (黄冈中考) 已知一元二次方程 $x^{2}-3x+k=$ 0 的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$, 若 $x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}=1$,则实数 $k=$
(2) (2024·日照中考改编) 已知实数 $x_{1},x_{2}$ $(x_{1} ≠ x_{2})$ 是关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+2kx+1=0(k ≠$0) 的两个根, 若 $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=2$, 则 $k$ 的值为
-5
.(2) (2024·日照中考改编) 已知实数 $x_{1},x_{2}$ $(x_{1} ≠ x_{2})$ 是关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+2kx+1=0(k ≠$0) 的两个根, 若 $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=2$, 则 $k$ 的值为
-1
.答案
(1)-5 解析:$\because$ 一元二次方程 $x^{2}-3x+k=0$ 的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$,$\therefore x_{1}+x_{2}=3$,$x_{1}x_{2}=k$.$\because x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}=1$,$\therefore x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})=k+2× 3=1$,$\therefore k=-5$.
(2)-1 解析:$\because x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+2kx+1=0(k≠ 0)$ 的两个根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-2$,$x_{1}x_{2}=\dfrac{1}{k}$.$\because \dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=2$,$\therefore \dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=2$,$\therefore \dfrac{-2}{\dfrac{1}{k}}=2$,$\therefore -2k=2$,解得 $k=-1$,经检验,$k=-1$ 是原分式方程的解.
(2)-1 解析:$\because x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+2kx+1=0(k≠ 0)$ 的两个根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-2$,$x_{1}x_{2}=\dfrac{1}{k}$.$\because \dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=2$,$\therefore \dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=2$,$\therefore \dfrac{-2}{\dfrac{1}{k}}=2$,$\therefore -2k=2$,解得 $k=-1$,经检验,$k=-1$ 是原分式方程的解.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路是：先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将已知代数式变形为用两根和、积表示的形式，代入计算求解；同时需验证方程根的存在性（利用判别式），确保解符合题意。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $x^2 - 3x + k = 0$，根据韦达定理，两根 $x_1, x_2$ 满足：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = k$。
已知 $x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 = 1$，将式子变形为：
$x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) = 1$，
代入 $x_1 + x_2 = 3$、$x_1x_2 = k$，得：
$k + 2×3 = 1$，
解得 $k = -5$。
验证：此时方程的判别式 $\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-5) = 29 ＞ 0$，有两个实数根，符合题意。
(2) 对于方程 $kx^2 + 2kx + 1 = 0$（$k≠0$），因 $x_1, x_2$ 是两个不相等的实数根，根据韦达定理：
$x_1 + x_2 = -\frac{2k}{k} = -2$，$x_1x_2 = \frac{1}{k}$。
已知 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 2$，通分变形为：
$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = 2$，
代入 $x_1 + x_2 = -2$、$x_1x_2 = \frac{1}{k}$，得：
$\frac{-2}{\frac{1}{k}} = 2$，
化简得 $-2k = 2$，解得 $k = -1$。
验证：此时方程的判别式 $\Delta = (2k)^2 - 4×k×1 = 8 ＞ 0$，且 $k=-1≠0$，符合题意。
【答案】
(1)-5；(2)-1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是中考常见基础题型，核心是运用韦达定理转化代数式，解题时需注意：① 准确记忆韦达定理公式；② 必须验证判别式，确保方程有实根；③ 第二题要注意原方程隐含的 $k≠0$ 条件，避免增根。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路是：先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将已知代数式变形为用两根和、积表示的形式，代入计算求解；同时需验证方程根的存在性（利用判别式），确保解符合题意。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $x^2 - 3x + k = 0$，根据韦达定理，两根 $x_1, x_2$ 满足：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = k$。
已知 $x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 = 1$，将式子变形为：
$x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) = 1$，
代入 $x_1 + x_2 = 3$、$x_1x_2 = k$，得：
$k + 2×3 = 1$，
解得 $k = -5$。
验证：此时方程的判别式 $\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-5) = 29 ＞ 0$，有两个实数根，符合题意。
(2) 对于方程 $kx^2 + 2kx + 1 = 0$（$k≠0$），因 $x_1, x_2$ 是两个不相等的实数根，根据韦达定理：
$x_1 + x_2 = -\frac{2k}{k} = -2$，$x_1x_2 = \frac{1}{k}$。
已知 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 2$，通分变形为：
$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = 2$，
代入 $x_1 + x_2 = -2$、$x_1x_2 = \frac{1}{k}$，得：
$\frac{-2}{\frac{1}{k}} = 2$，
化简得 $-2k = 2$，解得 $k = -1$。
验证：此时方程的判别式 $\Delta = (2k)^2 - 4×k×1 = 8 ＞ 0$，且 $k=-1≠0$，符合题意。
【答案】
(1)-5；(2)-1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是中考常见基础题型，核心是运用韦达定理转化代数式，解题时需注意：① 准确记忆韦达定理公式；② 必须验证判别式，确保方程有实根；③ 第二题要注意原方程隐含的 $k≠0$ 条件，避免增根。
【难度系数】
0.6
5. 方程 $x^{2}-3x+6=0$ 与方程 $x^{2}-6x+3=0$ 所有实数根的和等于
6
.答案
6 解析:方程 $x^{2}-3x+6=0$ 中,$b^{2}-4ac＜0$,没有实数根,方程 $x^{2}-6x+3=0$ 中,$b^{2}-4ac＞0$,有两个不相等的实数根,且两实数根之和为 6.故两方程所有实数根的和为 6.
解析
【分析】
要计算两个方程所有实数根的和，需先分别判断每个一元二次方程是否存在实数根（利用根的判别式），再对有实根的方程用韦达定理求其根的和，最后求和。
【解析】
1. 对于方程 $x^2 - 3x + 6 = 0$，其中 $a=1$，$b=-3$，$c=6$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×6 = 9 - 24 = -15 ＜ 0$，因此该方程没有实数根。
2. 对于方程 $x^2 - 6x + 3 = 0$，其中 $a=1$，$b=-6$，$c=3$，计算判别式：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×3 = 36 - 12 = 24 ＞ 0$，该方程有两个不相等的实数根。根据韦达定理，一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根之和为 $-\frac{b}{a}$，因此该方程两根之和为 $-\frac{-6}{1} = 6$。
3. 由于第一个方程无实根，两个方程所有实数根的和等于第二个方程的实根和，即6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，易错点是忽略先判断方程是否有实根，直接套用韦达定理计算，需注意先确定方程是否存在实根再求和。
【难度系数】
0.5
要计算两个方程所有实数根的和，需先分别判断每个一元二次方程是否存在实数根（利用根的判别式），再对有实根的方程用韦达定理求其根的和，最后求和。
【解析】
1. 对于方程 $x^2 - 3x + 6 = 0$，其中 $a=1$，$b=-3$，$c=6$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×6 = 9 - 24 = -15 ＜ 0$，因此该方程没有实数根。
2. 对于方程 $x^2 - 6x + 3 = 0$，其中 $a=1$，$b=-6$，$c=3$，计算判别式：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×3 = 36 - 12 = 24 ＞ 0$，该方程有两个不相等的实数根。根据韦达定理，一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根之和为 $-\frac{b}{a}$，因此该方程两根之和为 $-\frac{-6}{1} = 6$。
3. 由于第一个方程无实根，两个方程所有实数根的和等于第二个方程的实根和，即6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，易错点是忽略先判断方程是否有实根，直接套用韦达定理计算，需注意先确定方程是否存在实根再求和。
【难度系数】
0.5
6. 设$x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}+3x-4=0$的两个实数根,
不解方程求下列各式的值:
(1)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$;
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.$
不解方程求下列各式的值:
(1)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$;
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.$
答案
根据题意,得 $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{3}{2}$,$x_{1}x_{2}=-2$.
(1)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=(-2)× (-\dfrac{3}{2})=3$.
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(-\dfrac{3}{2})^{2}-2×(-2)=\dfrac{25}{4}$.
(1)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=(-2)× (-\dfrac{3}{2})=3$.
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(-\dfrac{3}{2})^{2}-2×(-2)=\dfrac{25}{4}$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路为：①先根据韦达定理求出方程两根的和与积；②将所求的两个代数式分别通过因式分解、完全平方公式变形，转化为仅含两根和与积的形式；③代入已求得的两根和与积的值，计算出结果，全程无需解方程，运用整体代入思想简化计算。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1,x_2$，则根与系数的关系为：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$2x^2 + 3x - 4 = 0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$，因此：
$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = \frac{-4}{2} = -2$。
(1) 对$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$提取公因式变形：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$，
代入$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = -2$，得：
原式$= (-2)×(-\frac{3}{2}) = 3$。
(2) 对$x_1^2 + x_2^2$利用完全平方公式变形：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = -2$，得：
原式$= (-\frac{3}{2})^2 - 2×(-2) = \frac{9}{4} + 4 = \frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $3$；(2) $\frac{25}{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式的恒等变形
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，核心是通过代数式变形将所求式子转化为用两根和与积表示的形式，运用整体代入思想简化计算，无需解方程即可得出结果，是一元二次方程章节的重点基础题，适合巩固韦达定理的应用。
【难度系数】
0.3
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路为：①先根据韦达定理求出方程两根的和与积；②将所求的两个代数式分别通过因式分解、完全平方公式变形，转化为仅含两根和与积的形式；③代入已求得的两根和与积的值，计算出结果，全程无需解方程，运用整体代入思想简化计算。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1,x_2$，则根与系数的关系为：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$2x^2 + 3x - 4 = 0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$，因此：
$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = \frac{-4}{2} = -2$。
(1) 对$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$提取公因式变形：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$，
代入$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = -2$，得：
原式$= (-2)×(-\frac{3}{2}) = 3$。
(2) 对$x_1^2 + x_2^2$利用完全平方公式变形：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = -2$，得：
原式$= (-\frac{3}{2})^2 - 2×(-2) = \frac{9}{4} + 4 = \frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $3$；(2) $\frac{25}{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式的恒等变形
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，核心是通过代数式变形将所求式子转化为用两根和与积表示的形式，运用整体代入思想简化计算，无需解方程即可得出结果，是一元二次方程章节的重点基础题，适合巩固韦达定理的应用。
【难度系数】
0.3
7. (2026·淮安期中)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+\dfrac{1}{2}k^{2}-2=0$.
(1)求证:无论$k$为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根$x_{1}$,$x_{2}$满足$x_{1}-x_{2}=3$,求$k$的值.
(1)求证:无论$k$为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根$x_{1}$,$x_{2}$满足$x_{1}-x_{2}=3$,求$k$的值.
答案
(1)$\because b^{2}-4ac=[-(2k+1)]^{2}-4× 1× (\dfrac{1}{2}k^{2}-2)=4k^{2}+4k+1-2k^{2}+8=2k^{2}+4k+9=2(k+1)^{2}+7＞0$,
$\therefore$ 无论 $k$ 为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系得出 $x_{1}+x_{2}=2k+1$,$x_{1}x_{2}=\dfrac{1}{2}k^{2}-2$.
$\because x_{1}-x_{2}=3$,$\therefore (x_{1}-x_{2})^{2}=9$,
$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9$,
$\therefore (2k+1)^{2}-4× (\dfrac{1}{2}k^{2}-2)=9$,
化简得 $k^{2}+2k=0$,解得 $k=0$ 或 $k=-2$.
$\therefore$ 无论 $k$ 为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系得出 $x_{1}+x_{2}=2k+1$,$x_{1}x_{2}=\dfrac{1}{2}k^{2}-2$.
$\because x_{1}-x_{2}=3$,$\therefore (x_{1}-x_{2})^{2}=9$,
$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9$,
$\therefore (2k+1)^{2}-4× (\dfrac{1}{2}k^{2}-2)=9$,
化简得 $k^{2}+2k=0$,解得 $k=0$ 或 $k=-2$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问需证明方程总有两个不相等的实数根，核心是利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根，因此需计算该方程的判别式并证明其恒大于0；第二问已知两根差，需结合韦达定理（根与系数的关系），利用完全平方公式将$x_1-x_2$转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入韦达定理的结果得到关于$k$的方程，求解即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2-(2k+1)x+\frac{1}{2}k^2-2=0$，其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=\frac{1}{2}k^2-2$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=[-(2k+1)]^2 - 4×1×(\frac{1}{2}k^2-2)\\&=4k^2+4k+1 - 2k^2 +8\\&=2k^2+4k+9\\&=2(k+1)^2 +7\end{aligned}$
因为$(k+1)^2≥0$，所以$2(k+1)^2+7≥7＞0$，即无论$k$为何实数，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 由韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=\frac{1}{2}k^2-2$。
已知$x_1-x_2=3$，两边平方得：
$(x_1-x_2)^2=9$
根据完全平方公式变形：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入得：
$\begin{aligned}(2k+1)^2 -4×(\frac{1}{2}k^2-2)&=9\\4k^2+4k+1 -2k^2 +8&=9\\2k^2+4k&=0\\k(k+2)&=0\end{aligned}$
解得$k=0$或$k=-2$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k$的值为$0$或$-2$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，综合考查根的判别式和韦达定理的应用，解题关键在于熟练掌握判别式的计算、韦达定理的内容，以及利用完全平方公式对两根差进行代数变形，计算时需注意符号和展开的准确性。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第一问需证明方程总有两个不相等的实数根，核心是利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根，因此需计算该方程的判别式并证明其恒大于0；第二问已知两根差，需结合韦达定理（根与系数的关系），利用完全平方公式将$x_1-x_2$转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入韦达定理的结果得到关于$k$的方程，求解即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2-(2k+1)x+\frac{1}{2}k^2-2=0$，其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=\frac{1}{2}k^2-2$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=[-(2k+1)]^2 - 4×1×(\frac{1}{2}k^2-2)\\&=4k^2+4k+1 - 2k^2 +8\\&=2k^2+4k+9\\&=2(k+1)^2 +7\end{aligned}$
因为$(k+1)^2≥0$，所以$2(k+1)^2+7≥7＞0$，即无论$k$为何实数，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 由韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=\frac{1}{2}k^2-2$。
已知$x_1-x_2=3$，两边平方得：
$(x_1-x_2)^2=9$
根据完全平方公式变形：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入得：
$\begin{aligned}(2k+1)^2 -4×(\frac{1}{2}k^2-2)&=9\\4k^2+4k+1 -2k^2 +8&=9\\2k^2+4k&=0\\k(k+2)&=0\end{aligned}$
解得$k=0$或$k=-2$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k$的值为$0$或$-2$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，综合考查根的判别式和韦达定理的应用，解题关键在于熟练掌握判别式的计算、韦达定理的内容，以及利用完全平方公式对两根差进行代数变形，计算时需注意符号和展开的准确性。
【难度系数】
0.6
8. (2026·南京校级月考) 已知关于 $x$ 的方程$x^{2}+mx-1=0$ 的两根分别是方程 $x^{2}+x+n=0$ 两根的相反数,则 $m+n$ 的值为（
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
A
）A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案
A 解析:设方程 $x^{2}+mx-1=0$ 的两根分别为 $x_{1},x_{2}$,由根与系数的关系得 $x_{1}+x_{2}=-m$,$x_{1}x_{2}=-1$,又关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx-1=0$ 的两根分别是方程 $x^{2}+x+n=0$ 两根的相反数,$\therefore$ 方程 $x^{2}+x+n=0$ 的两根分别为 $-x_{1},-x_{2}$,由根与系数的关系得 $-x_{1}-x_{2}=-1$,$-x_{1}· (-x_{2})=x_{1}x_{2}=n$,$\therefore x_{1}+x_{2}=1=-m$,$x_{1}x_{2}=n=-1$,解得 $m=-1$,$n=-1$,$\therefore m+n=-2$.故选 A.
解析
【分析】首先设方程$x^2 + mx -1=0$的两根为$x_1,x_2$，根据题意可知方程$x^2 +x +n=0$的两根为$-x_1,-x_2$；接下来利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别写出两个方程的两根之和、两根之积的表达式，再通过对应关系求出$m$和$n$的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】设方程$x^2 + mx -1=0$的两根为$x_1,x_2$，则方程$x^2 +x +n=0$的两根为$-x_1,-x_2$。
对于方程$x^2 + mx -1=0$，由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = -1$；
对于方程$x^2 +x +n=0$，由韦达定理得：
$(-x_1) + (-x_2) = -1$，$(-x_1)(-x_2) = n$；
化简得：$-(x_1 +x_2) = -1$，即$x_1 +x_2 =1$；且$x_1x_2 =n$；
结合$x_1 +x_2=-m$，得$1=-m$，所以$m=-1$；
又因为$x_1x_2=-1$，所以$n=-1$；
因此$m+n=-1 + (-1) =-2$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，核心是利用“两根互为相反数”的条件建立两个方程根的联系，再通过韦达定理列式求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设方程$x^2 + mx -1=0$的两根为$x_1,x_2$，则方程$x^2 +x +n=0$的两根为$-x_1,-x_2$。
对于方程$x^2 + mx -1=0$，由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = -1$；
对于方程$x^2 +x +n=0$，由韦达定理得：
$(-x_1) + (-x_2) = -1$，$(-x_1)(-x_2) = n$；
化简得：$-(x_1 +x_2) = -1$，即$x_1 +x_2 =1$；且$x_1x_2 =n$；
结合$x_1 +x_2=-m$，得$1=-m$，所以$m=-1$；
又因为$x_1x_2=-1$，所以$n=-1$；
因此$m+n=-1 + (-1) =-2$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，核心是利用“两根互为相反数”的条件建立两个方程根的联系，再通过韦达定理列式求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
9. (2025·泰州校级月考)已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程$2x^{2}-8x+7=0$的两个根,则这个直角三角形的斜边上的高是（
A.$\sqrt{3}$
B.3
C.6
D.$\dfrac{7}{6}$
D
）A.$\sqrt{3}$
B.3
C.6
D.$\dfrac{7}{6}$
答案
D 解析:设直角三角形的两直角边分别为 $a,b$,斜边上的高为 $h$,$\because$ 一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 $2x^{2}-8x+7=0$ 的两个根,$\therefore a+b=-\dfrac{-8}{2}=4$,$ab=\dfrac{7}{2}$,$\therefore$ 直角三角形斜边长为 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(a+b)^{2}-2ab}=\sqrt{4^{2}-2× \dfrac{7}{2}}=3$,$\therefore S_{\mathrm{直角三角形}}=\dfrac{1}{2}× a× b=\dfrac{7}{4}$,$S_{\mathrm{直角三角形}}=\dfrac{1}{2}× 3× h$,$\therefore \dfrac{7}{4}=\dfrac{1}{2}× 3× h$,解得 $h=\dfrac{7}{6}$,即这个直角三角形的斜边上的高是 $\dfrac{7}{6}$.故选 D.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路进行：首先设直角三角形的两条直角边为$a$、$b$，斜边上的高为$h$；因为$a$、$b$是一元二次方程的两个根，所以利用韦达定理可直接求出$a+b$和$ab$的值；接着通过勾股定理，结合$a+b$和$ab$计算出斜边的长度；最后利用直角三角形面积的两种表示方法（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等式，即可求出斜边上的高$h$。
【解析】
设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边上的高为$h$。
因为$a$、$b$是方程$2x^2 -8x +7=0$的两个根，根据韦达定理：
$a + b = -\frac{-8}{2} = 4$，$ab = \frac{7}{2}$。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a+b)^2 - 2ab} = \sqrt{4^2 - 2×\frac{7}{2}} = \sqrt{16 -7} = 3$。
直角三角形的面积可表示为：
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×\frac{7}{2} = \frac{7}{4}$，
同时面积也可表示为$S = \frac{1}{2}ch$，代入$c=3$得：
$\frac{7}{4} = \frac{1}{2}×3× h$，
解得$h = \frac{7}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程韦达定理与直角三角形的核心性质，利用面积法求斜边上的高是解题的关键切入点，题型常规，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路进行：首先设直角三角形的两条直角边为$a$、$b$，斜边上的高为$h$；因为$a$、$b$是一元二次方程的两个根，所以利用韦达定理可直接求出$a+b$和$ab$的值；接着通过勾股定理，结合$a+b$和$ab$计算出斜边的长度；最后利用直角三角形面积的两种表示方法（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等式，即可求出斜边上的高$h$。
【解析】
设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边上的高为$h$。
因为$a$、$b$是方程$2x^2 -8x +7=0$的两个根，根据韦达定理：
$a + b = -\frac{-8}{2} = 4$，$ab = \frac{7}{2}$。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a+b)^2 - 2ab} = \sqrt{4^2 - 2×\frac{7}{2}} = \sqrt{16 -7} = 3$。
直角三角形的面积可表示为：
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×\frac{7}{2} = \frac{7}{4}$，
同时面积也可表示为$S = \frac{1}{2}ch$，代入$c=3$得：
$\frac{7}{4} = \frac{1}{2}×3× h$，
解得$h = \frac{7}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程韦达定理与直角三角形的核心性质，利用面积法求斜边上的高是解题的关键切入点，题型常规，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
10. (2025·亳州模拟)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$的两个不相等的实数根分别为$α,β$,关于$x$的一元二次方程$x^{2}+cx+b=0$的两个实数根分别为$α+1,β+1$,则下列方程中,其两实数根分别为$α-1,β-1$的是（
A.$x^{2}-x-3=0$
B.$x^{2}+2x-3=0$
C.$x^{2}+x-3=0$
D.$x^{2}+x-2=0$
C
）A.$x^{2}-x-3=0$
B.$x^{2}+2x-3=0$
C.$x^{2}+x-3=0$
D.$x^{2}+x-2=0$
答案
C 解析:$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx+c=0$ 的两个不相等的实数根分别为 $α,β$,$\therefore α+β=-b$,$αβ=c$.$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+cx+b=0$ 的两个实数根分别为 $α+1,β+1$,$\therefore α+1+β+1=-c$,$(α+1)(β+1)=b$,$\therefore -b+2=-c$,$2b=c+1$,联立解得 $b=-1$,$c=-3$,$\therefore α-1+β-1=1-2=-1$,$(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=c+b+1=-3-1+1=-3$,$\therefore$ 两实数根分别为 $α-1,β-1$ 的方程是 $x^{2}+x-3=0$,故选 C.
解析
【分析】
要解决本题，需运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。本题两个方程的二次项系数均为1，可直接根据韦达定理写出两根的和与积，联立方程求出参数$b$、$c$的值，再计算目标根$α-1$、$β-1$的和与积，进而构造对应的一元二次方程，匹配选项。
【解析】
1. 根据韦达定理，方程$x^2+bx+c=0$的两根为$α$、$β$，因此：
$α+β=-b$，$αβ=c$；
2. 方程$x^2+cx+b=0$的两根为$α+1$、$β+1$，同理可得：
$(α+1)+(β+1)=-c$，即$α+β+2=-c$；
$(α+1)(β+1)=b$，展开得$αβ+α+β+1=b$；
3. 将$α+β=-b$、$αβ=c$代入上述两式，联立方程组：
$\begin{cases}-b + 2 = -c \\ c + (-b) +1 = b \end{cases}$，整理为$\begin{cases}c = b -2 \\ c = 2b -1 \end{cases}$；
4. 解方程组：令$b -2 =2b -1$，解得$b=-1$，代入$c =b -2$得$c=-3$；
5. 计算目标根$α-1$、$β-1$的和与积：
和为$(α-1)+(β-1)=(α+β)-2=-b -2=-(-1)-2=-1$；
积为$(α-1)(β-1)=αβ - (α+β)+1=c - (-b)+1=-3 +1 +1=-3$；
6. 以$α-1$、$β-1$为根的一元二次方程为$x^2 - (\mathrm{和})x + \mathrm{积}=0$，即$x^2 - (-1)x + (-3)=0$，化简得$x^2 +x -3=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的构造
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，解题关键是利用两个方程的根的关系联立求解参数，再构造新方程，需注意符号运算的准确性，整体难度中等，适合中等水平学生练习。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。本题两个方程的二次项系数均为1，可直接根据韦达定理写出两根的和与积，联立方程求出参数$b$、$c$的值，再计算目标根$α-1$、$β-1$的和与积，进而构造对应的一元二次方程，匹配选项。
【解析】
1. 根据韦达定理，方程$x^2+bx+c=0$的两根为$α$、$β$，因此：
$α+β=-b$，$αβ=c$；
2. 方程$x^2+cx+b=0$的两根为$α+1$、$β+1$，同理可得：
$(α+1)+(β+1)=-c$，即$α+β+2=-c$；
$(α+1)(β+1)=b$，展开得$αβ+α+β+1=b$；
3. 将$α+β=-b$、$αβ=c$代入上述两式，联立方程组：
$\begin{cases}-b + 2 = -c \\ c + (-b) +1 = b \end{cases}$，整理为$\begin{cases}c = b -2 \\ c = 2b -1 \end{cases}$；
4. 解方程组：令$b -2 =2b -1$，解得$b=-1$，代入$c =b -2$得$c=-3$；
5. 计算目标根$α-1$、$β-1$的和与积：
和为$(α-1)+(β-1)=(α+β)-2=-b -2=-(-1)-2=-1$；
积为$(α-1)(β-1)=αβ - (α+β)+1=c - (-b)+1=-3 +1 +1=-3$；
6. 以$α-1$、$β-1$为根的一元二次方程为$x^2 - (\mathrm{和})x + \mathrm{积}=0$，即$x^2 - (-1)x + (-3)=0$，化简得$x^2 +x -3=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的构造
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，解题关键是利用两个方程的根的关系联立求解参数，再构造新方程，需注意符号运算的准确性，整体难度中等，适合中等水平学生练习。
【难度系数】
0.6
11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(a^{2}-2a)x+a-$ $1=0$ 的两个实数根互为相反数, 则 $a=$
0
.答案
0 解析:设方程的两根为 $x_{1},x_{2}$,根据题意,得 $x_{1}+x_{2}=0$,$\therefore -(a^{2}-2a)=0$,解得 $a=0$ 或 $a=2$.当 $a=2$ 时,方程化为 $x^{2}+1=0$,无解,故 $a=2$ 舍去,$\therefore a$ 的值为 0.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合一元二次方程的两个关键性质：一是韦达定理（根与系数的关系），用于由两根互为相反数推导参数；二是一元二次方程有实根的判别式条件，用于排除不符合的参数值，避免漏考虑隐含条件。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1, x_2$。
1. 根据韦达定理，对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，两根和$x_1 + x_2 = -b$，本题方程为$x^2 + (a^2 - 2a)x + a - 1 = 0$，因此$x_1 + x_2 = -(a^2 - 2a)$。
2. 因为两根互为相反数，所以$x_1 + x_2 = 0$，即：
$-(a^2 - 2a) = 0$，整理得$a^2 - 2a = 0$，因式分解为$a(a - 2) = 0$，解得$a = 0$或$a = 2$。
3. 验证方程是否有两个实数根：
当$a = 2$时，原方程变为$x^2 + 1 = 0$，其判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$，无实数根，不符合题意，舍去；
当$a = 0$时，原方程变为$x^2 - 1 = 0$，判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×(-1) = 4 ＞ 0$，有两个实数根，符合题意。
综上，$a = 0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题的核心陷阱是学生易忽略“一元二次方程有两个实数根”的隐含条件，仅通过韦达定理求参数，导致错选$a=2$。解题时需牢记：应用韦达定理的前提是方程有实根，必须验证判别式。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合一元二次方程的两个关键性质：一是韦达定理（根与系数的关系），用于由两根互为相反数推导参数；二是一元二次方程有实根的判别式条件，用于排除不符合的参数值，避免漏考虑隐含条件。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1, x_2$。
1. 根据韦达定理，对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，两根和$x_1 + x_2 = -b$，本题方程为$x^2 + (a^2 - 2a)x + a - 1 = 0$，因此$x_1 + x_2 = -(a^2 - 2a)$。
2. 因为两根互为相反数，所以$x_1 + x_2 = 0$，即：
$-(a^2 - 2a) = 0$，整理得$a^2 - 2a = 0$，因式分解为$a(a - 2) = 0$，解得$a = 0$或$a = 2$。
3. 验证方程是否有两个实数根：
当$a = 2$时，原方程变为$x^2 + 1 = 0$，其判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$，无实数根，不符合题意，舍去；
当$a = 0$时，原方程变为$x^2 - 1 = 0$，判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×(-1) = 4 ＞ 0$，有两个实数根，符合题意。
综上，$a = 0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题的核心陷阱是学生易忽略“一元二次方程有两个实数根”的隐含条件，仅通过韦达定理求参数，导致错选$a=2$。解题时需牢记：应用韦达定理的前提是方程有实根，必须验证判别式。
【难度系数】
0.5
