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1. (2026·揭阳期中)有理数$a,b,c$对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于$x$的方程$(a-b)x^{2}+bx+(c-b)=0$的根的情况说法正确的是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
在方程$(a-b)x^{2}+bx+(c-b)=0$中,根的判别式为$b^{2}-4(a-b)(c-b)$,观察数轴可知,$a＞0,b＜0,c＜0,∴ a-b＞0,c-b＜0,∴ b^{2}-4(a-b)(c-b)＞0,∴$ 该方程有两个不相等的实数根.故选 B.
解析
【分析】
要判断方程根的情况，需先根据数轴确定a、b、c的符号与大小关系，再通过一元二次方程根的判别式分析判别式的正负，进而确定根的情况。步骤为：1. 从数轴提取a、b、c的大小及符号；2. 计算方程的根的判别式；3. 结合各数的符号判断判别式的正负，得出根的情况。
【解析】
1. 由数轴可知：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，因此：
$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$；
$a-b$：因$a$为正、$b$为负，故$a-b = a + |b| ＞ 0$；
$c-b$：因$c ＜ b$，故$c-b ＜ 0$。
2. 对于一元二次方程$(a-b)x^2 + bx + (c-b)=0$，其根的判别式为：
$\Delta = b^2 - 4(a-b)(c-b)$
3. 分析$\Delta$的符号：
$b^2$是平方项，故$b^2 ＞ 0$；
$4(a-b)(c-b)$中，$(a-b)＞0$，$(c-b)＜0$，因此$(a-b)(c-b) ＜ 0$，则$-4(a-b)(c-b) ＞ 0$；
综上，$\Delta = b^2 - 4(a-b)(c-b) = b^2 + [-4(a-b)(c-b)] ＞ 0$。
4. 根据一元二次方程根的判别式性质，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式、数轴与有理数
【点评】
本题结合数轴考查有理数符号判断与一元二次方程根的判别式的应用，核心是利用数轴确定数的大小关系，进而分析判别式的正负，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断方程根的情况，需先根据数轴确定a、b、c的符号与大小关系，再通过一元二次方程根的判别式分析判别式的正负，进而确定根的情况。步骤为：1. 从数轴提取a、b、c的大小及符号；2. 计算方程的根的判别式；3. 结合各数的符号判断判别式的正负，得出根的情况。
【解析】
1. 由数轴可知：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，因此：
$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$；
$a-b$：因$a$为正、$b$为负，故$a-b = a + |b| ＞ 0$；
$c-b$：因$c ＜ b$，故$c-b ＜ 0$。
2. 对于一元二次方程$(a-b)x^2 + bx + (c-b)=0$，其根的判别式为：
$\Delta = b^2 - 4(a-b)(c-b)$
3. 分析$\Delta$的符号：
$b^2$是平方项，故$b^2 ＞ 0$；
$4(a-b)(c-b)$中，$(a-b)＞0$，$(c-b)＜0$，因此$(a-b)(c-b) ＜ 0$，则$-4(a-b)(c-b) ＞ 0$；
综上，$\Delta = b^2 - 4(a-b)(c-b) = b^2 + [-4(a-b)(c-b)] ＞ 0$。
4. 根据一元二次方程根的判别式性质，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式、数轴与有理数
【点评】
本题结合数轴考查有理数符号判断与一元二次方程根的判别式的应用，核心是利用数轴确定数的大小关系，进而分析判别式的正负，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
2. (2024·潍坊中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx-n^{2}+mn+1=0$,其中$m,n$满足$m-$$2n=3$,关于该方程根的情况,下列判断正确的是（
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
$∵ m-2n=3,∴ b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4(-n^{2}+mn+1)=m^{2}+4n^{2}-4mn-4=(m-2n)^{2}-4=5＞0,∴$ 原方程有两个不相等的实数根,故选 C.
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ=b²-4ac：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ＜0时方程无实数根。首先确定方程的系数a、b、c，代入计算Δ，再结合已知条件m-2n=3对Δ化简，最后判断Δ的符号即可。
【解析】对于一元二次方程$x^{2}-mx-n^{2}+mn+1=0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=-n^{2}+mn+1$，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4×1×(-n^2 + mn +1)$
$= m^2 + 4n^2 - 4mn - 4$
$= (m - 2n)^2 - 4$
已知$m - 2n=3$，代入得：$\Delta = 3^2 -4=5＞0$，所以原方程有两个不相等的实数根，故选C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式，代数式化简
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确计算判别式并结合已知条件因式分解化简，属于中考常见的中档基础题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】对于一元二次方程$x^{2}-mx-n^{2}+mn+1=0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=-n^{2}+mn+1$，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4×1×(-n^2 + mn +1)$
$= m^2 + 4n^2 - 4mn - 4$
$= (m - 2n)^2 - 4$
已知$m - 2n=3$，代入得：$\Delta = 3^2 -4=5＞0$，所以原方程有两个不相等的实数根，故选C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式，代数式化简
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确计算判别式并结合已知条件因式分解化简，属于中考常见的中档基础题，难度适中。
【难度系数】0.6
3. (通辽中考)若关于$x$的一元二次方程$(k+1)x^{2}+$$2(k+1)x+k-2=0$有实数根,则$k$的取值范围在数轴上表示正确的是（
A
）答案
由题意得$\begin{cases}k+1≠0,\\b^{2}-4ac=[2(k+1)]^{2}-4(k+1)(k-2)≥0,\end{cases}$解得$k＞-1$.故选 A.
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确一元二次方程有实数根的两个关键条件：一是二次项系数不能为0（保证是一元二次方程），二是判别式需大于等于0（保证方程有实根）。先根据这两个条件列出关于k的不等式组，解出k的取值范围，再对应数轴的表示选出正确选项。
【解析】
因为方程$(k+1)x^2 + 2(k+1)x + k-2=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$k+1≠0$，解得$k≠-1$；
又因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥0$，其中$a=k+1$，$b=2(k+1)$，$c=k-2$，代入得：
$\Delta = [2(k+1)]^2 - 4(k+1)(k-2)$
$=4(k^2+2k+1) - 4(k^2 -k -2)$
$=4k^2 +8k +4 -4k^2 +4k +8$
$=12k +12$
令$\Delta ≥0$，即$12k +12 ≥0$，解得$k≥-1$；
结合$k≠-1$，最终得$k＞-1$。
在数轴上表示$k＞-1$时，-1处为空心圆圈，折线向右，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；数轴表示不等式解集
【点评】
本题考查一元二次方程有实根的条件（二次项系数不为0+判别式≥0），以及不等式解集在数轴上的表示，需注意区分空心点（不包含该点）和实心点（包含该点），属于基础题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确一元二次方程有实数根的两个关键条件：一是二次项系数不能为0（保证是一元二次方程），二是判别式需大于等于0（保证方程有实根）。先根据这两个条件列出关于k的不等式组，解出k的取值范围，再对应数轴的表示选出正确选项。
【解析】
因为方程$(k+1)x^2 + 2(k+1)x + k-2=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$k+1≠0$，解得$k≠-1$；
又因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥0$，其中$a=k+1$，$b=2(k+1)$，$c=k-2$，代入得：
$\Delta = [2(k+1)]^2 - 4(k+1)(k-2)$
$=4(k^2+2k+1) - 4(k^2 -k -2)$
$=4k^2 +8k +4 -4k^2 +4k +8$
$=12k +12$
令$\Delta ≥0$，即$12k +12 ≥0$，解得$k≥-1$；
结合$k≠-1$，最终得$k＞-1$。
在数轴上表示$k＞-1$时，-1处为空心圆圈，折线向右，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；数轴表示不等式解集
【点评】
本题考查一元二次方程有实根的条件（二次项系数不为0+判别式≥0），以及不等式解集在数轴上的表示，需注意区分空心点（不包含该点）和实心点（包含该点），属于基础题型。
【难度系数】
0.5
4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $\dfrac{1}{2}x^2-2mx-4m+1=0$ 有两个相等的实数根, 则 $(m-2)^2-2m(m-1)$ 的值为
$\dfrac{7}{2}$
.答案
由题意可知 $b^{2}-4ac=4m^{2}-2(1-4m)=4m^{2}+8m-2=0,∴ m^{2}+2m=\dfrac{1}{2},∴ (m-2)^{2}-2m(m-1)=-m^{2}-2m+4=-\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{7}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先利用一元二次方程根的判别式，根据“有两个相等实数根”的条件求出关于$m$的关系式；再化简所求代数式，将得到的关系式整体代入计算结果。
【解析】
解：因为关于$x$的一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -2mx -4m +1=0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac = 0$。
其中$a=\frac{1}{2}$，$b=-2m$，$c=-4m+1$，代入得：
$\Delta = (-2m)^2 - 4×\frac{1}{2}×(-4m +1) = 4m^2 - 2(-4m +1) = 4m^2 +8m -2$
令$\Delta=0$，即$4m^2 +8m -2=0$，两边同除以2得：$2m^2 +4m -1=0$，整理得$m^2 +2m=\frac{1}{2}$。
化简代数式$(m-2)^2 -2m(m-1)$：
展开得：$m^2 -4m +4 - (2m^2 -2m) = m^2 -4m +4 -2m^2 +2m = -m^2 -2m +4$
将$m^2 +2m=\frac{1}{2}$代入上式：
$- (m^2 +2m) +4 = -\frac{1}{2} +4 = \frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式化简求值
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式应用与代数式化简，核心是利用整体思想简化计算，避免直接求解复杂的$m$值，是代数运算中整体思想的典型应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先利用一元二次方程根的判别式，根据“有两个相等实数根”的条件求出关于$m$的关系式；再化简所求代数式，将得到的关系式整体代入计算结果。
【解析】
解：因为关于$x$的一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -2mx -4m +1=0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac = 0$。
其中$a=\frac{1}{2}$，$b=-2m$，$c=-4m+1$，代入得：
$\Delta = (-2m)^2 - 4×\frac{1}{2}×(-4m +1) = 4m^2 - 2(-4m +1) = 4m^2 +8m -2$
令$\Delta=0$，即$4m^2 +8m -2=0$，两边同除以2得：$2m^2 +4m -1=0$，整理得$m^2 +2m=\frac{1}{2}$。
化简代数式$(m-2)^2 -2m(m-1)$：
展开得：$m^2 -4m +4 - (2m^2 -2m) = m^2 -4m +4 -2m^2 +2m = -m^2 -2m +4$
将$m^2 +2m=\frac{1}{2}$代入上式：
$- (m^2 +2m) +4 = -\frac{1}{2} +4 = \frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式化简求值
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式应用与代数式化简，核心是利用整体思想简化计算，避免直接求解复杂的$m$值，是代数运算中整体思想的典型应用。
【难度系数】
0.5
5. (2026·上海月考) 关于 $x$ 的方程 $\dfrac{k}{x-1}+k-1=\dfrac{k+1}{x}$ 只有一个实数解, 则实数 $k$ 所有可能的值的绝对值之和为
$2+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
.答案
原分式方程$\dfrac{k}{x-1}+k-1=\dfrac{k+1}{x}$的$x$的取值范围为$x≠0$ 且 $x≠1$.两边乘公分母 $x(x-1)$,得 $x(x-1)(\dfrac{k}{x-1}+k-1)=x(x-1)·\dfrac{k+1}{x}$,简化后为 $xk+x(x-1)(k-1)=(x-1)(k+1)$,展开并整理得$(k-1)x^{2}-kx+(k+1)=0$,此为关于$x$的二次方程,但系数含$k$.
①当$k-1=0$,即$k=1$时,方程为一次方程.将 $k=1$ 代入原方程,解得 $x=2$,符合题意,故$k=1$符合条件.
②当$k-1≠0$,即$k≠1$时,方程为二次方程.二次方程有唯一实数解时根的判别式为零,即 $b^{2}-4ac=(-k)^{2}-4(k-1)(k+1)=k^{2}-4(k^{2}-1)=-3k^{2}+4=0$,解得 $k=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
当 $k=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$时,$x=\dfrac{k}{2(k-1)}$,经检验均不为0或1,故$k=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$符合条件.
③考虑增根可能性.若$x=0$是根,代入二次方程得 $k+1=0$,即 $k=-1$.
当$k=-1$时,原方程解得 $x=\dfrac{1}{2}$,满足题意,故 $k=-1$ 符合条件.
若$x=1$是根,代入二次方程得 $k=0$.
当$k=0$时,原方程解得 $x=-1$,满足题意,故$k=0$符合条件.
综上所述,所有符合条件的$k$的值为$1,0,-1,\dfrac{2\sqrt{3}}{3},-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
其绝对值之和为$|1|+|0|+|-1|+\left|\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right|+\left|-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right|=1+0+1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=2+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
①当$k-1=0$,即$k=1$时,方程为一次方程.将 $k=1$ 代入原方程,解得 $x=2$,符合题意,故$k=1$符合条件.
②当$k-1≠0$,即$k≠1$时,方程为二次方程.二次方程有唯一实数解时根的判别式为零,即 $b^{2}-4ac=(-k)^{2}-4(k-1)(k+1)=k^{2}-4(k^{2}-1)=-3k^{2}+4=0$,解得 $k=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
当 $k=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$时,$x=\dfrac{k}{2(k-1)}$,经检验均不为0或1,故$k=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$符合条件.
③考虑增根可能性.若$x=0$是根,代入二次方程得 $k+1=0$,即 $k=-1$.
当$k=-1$时,原方程解得 $x=\dfrac{1}{2}$,满足题意,故 $k=-1$ 符合条件.
若$x=1$是根,代入二次方程得 $k=0$.
当$k=0$时,原方程解得 $x=-1$,满足题意,故$k=0$符合条件.
综上所述,所有符合条件的$k$的值为$1,0,-1,\dfrac{2\sqrt{3}}{3},-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
其绝对值之和为$|1|+|0|+|-1|+\left|\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right|+\left|-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right|=1+0+1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=2+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
解分式方程时，先明确定义域（分母不为0），去分母转化为整式方程后，需分情况讨论整式方程的类型（一次或二次）：二次方程需考虑判别式为0（唯一解），同时要注意增根的情况（整式方程的解为原分式方程的增根时，需验证是否存在有效解），最后汇总所有符合条件的k，计算其绝对值之和。
【解析】
原分式方程$\dfrac{k}{x-1}+k-1=\dfrac{k+1}{x}$的定义域为$x≠0$且$x≠1$，两边乘公分母$x(x-1)$去分母，整理得整式方程：$(k-1)x^2 -kx + (k+1)=0$。
①当$k-1=0$即$k=1$时，整式方程为一次方程$-x+2=0$，解得$x=2$，符合定义域，故$k=1$符合条件；
②当$k≠1$时，整式方程为二次方程，若方程只有一个实数解，需判别式$\Delta=(-k)^2 -4(k-1)(k+1)=-3k^2+4=0$，解得$k=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，代入验证解均不为0或1，符合条件；
③考虑增根：若$x=0$是整式方程的根，代入得$k+1=0$即$k=-1$，此时原方程解为$x=\dfrac{1}{2}$，符合条件；若$x=1$是整式方程的根，代入得$k=0$，此时原方程解为$x=-1$，符合条件。
综上，符合条件的$k$为$1,0,-1,\dfrac{2\sqrt{3}}{3},-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，其绝对值之和为$|1|+|0|+|-1|+\left|\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right|+\left|-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right|=2+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$2+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
分式方程的解、一元二次方程根的判别式、绝对值的计算
【点评】
本题需全面分析分式方程转化为整式方程后的各类情况，易遗漏增根或二次方程判别式的特殊情况，是考查分类讨论思想的典型题。
【难度系数】
0.4
解分式方程时，先明确定义域（分母不为0），去分母转化为整式方程后，需分情况讨论整式方程的类型（一次或二次）：二次方程需考虑判别式为0（唯一解），同时要注意增根的情况（整式方程的解为原分式方程的增根时，需验证是否存在有效解），最后汇总所有符合条件的k，计算其绝对值之和。
【解析】
原分式方程$\dfrac{k}{x-1}+k-1=\dfrac{k+1}{x}$的定义域为$x≠0$且$x≠1$，两边乘公分母$x(x-1)$去分母，整理得整式方程：$(k-1)x^2 -kx + (k+1)=0$。
①当$k-1=0$即$k=1$时，整式方程为一次方程$-x+2=0$，解得$x=2$，符合定义域，故$k=1$符合条件；
②当$k≠1$时，整式方程为二次方程，若方程只有一个实数解，需判别式$\Delta=(-k)^2 -4(k-1)(k+1)=-3k^2+4=0$，解得$k=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，代入验证解均不为0或1，符合条件；
③考虑增根：若$x=0$是整式方程的根，代入得$k+1=0$即$k=-1$，此时原方程解为$x=\dfrac{1}{2}$，符合条件；若$x=1$是整式方程的根，代入得$k=0$，此时原方程解为$x=-1$，符合条件。
综上，符合条件的$k$为$1,0,-1,\dfrac{2\sqrt{3}}{3},-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，其绝对值之和为$|1|+|0|+|-1|+\left|\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right|+\left|-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right|=2+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$2+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
分式方程的解、一元二次方程根的判别式、绝对值的计算
【点评】
本题需全面分析分式方程转化为整式方程后的各类情况，易遗漏增根或二次方程判别式的特殊情况，是考查分类讨论思想的典型题。
【难度系数】
0.4
6. 如图,已知一次函数 $y=\dfrac{3}{4}x+3$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象交于 $A(4,m),B$ 两点,交$y$ 轴于点 $C$.
(1)求反比例函数的表达式和点 $B$ 的坐标.
(2)过点 $C$ 的直线交 $x$ 轴于点 $E$,且与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象只有一个交点,求点 $E$ 的坐标.
(1)求反比例函数的表达式和点 $B$ 的坐标.
(2)过点 $C$ 的直线交 $x$ 轴于点 $E$,且与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象只有一个交点,求点 $E$ 的坐标.
答案
(1)$∵$ 直线 $y=\dfrac{3}{4}x+3$ 过点 $(4,m),∴ m=\dfrac{3}{4}×4+3=6$,$∴ A(4,6)$.又$∵$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象过点 $A(4,6)$,$∴ k=4×6=24$,$∴$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{24}{x}$.联立$\begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x+3,\\y=\dfrac{24}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=4,\\y=6\end{cases}$或$\begin{cases}x=-8,\\y=-3,\end{cases}$$∴ B(-8,-3)$.
(2)在 $y=\dfrac{3}{4}x+3$ 中,令 $x=0$,得 $y=3$,$∴ C(0,3)$.设直线 $CE$ 的表达式为 $y=k'x+3$.联立$\begin{cases}y=k'x+3,\\y=\dfrac{24}{x},\end{cases}$ 得 $k'x^{2}+3x-24=0$.
$∵$ 直线 $CE$ 与双曲线 $y=\dfrac{24}{x}$ 只有一个交点,$∴ b^{2}-4ac=9+96k'=0$,$∴ k'=-\dfrac{3}{32}$,$∴$ 直线 $CE$ 的表达式为 $y=-\dfrac{3}{32}x+3$.令$y=0$,得 $x=32$,$∴$ 点 $E$ 的坐标为$(32,0)$.
(2)在 $y=\dfrac{3}{4}x+3$ 中,令 $x=0$,得 $y=3$,$∴ C(0,3)$.设直线 $CE$ 的表达式为 $y=k'x+3$.联立$\begin{cases}y=k'x+3,\\y=\dfrac{24}{x},\end{cases}$ 得 $k'x^{2}+3x-24=0$.
$∵$ 直线 $CE$ 与双曲线 $y=\dfrac{24}{x}$ 只有一个交点,$∴ b^{2}-4ac=9+96k'=0$,$∴ k'=-\dfrac{3}{32}$,$∴$ 直线 $CE$ 的表达式为 $y=-\dfrac{3}{32}x+3$.令$y=0$,得 $x=32$,$∴$ 点 $E$ 的坐标为$(32,0)$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问先利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标，再代入反比例函数求出k值得到反比例函数表达式，联立两函数解析式解方程组得到点B的坐标；第(2)问先求出点C的坐标，设直线CE的解析式，与反比例函数联立，根据直线与双曲线只有一个交点时判别式为0求出直线斜率，进而求出点E的坐标。
【解析】
(1) 因为一次函数$y=\dfrac{3}{4}x+3$过点$A(4,m)$，将$x=4$代入得：
$m=\dfrac{3}{4}×4 + 3 = 6$，故$A(4,6)$。
把$A(4,6)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=4×6=24$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{24}{x}$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x+3\\y=\dfrac{24}{x}\end{cases}$，消去$y$得$\dfrac{3}{4}x + 3 = \dfrac{24}{x}$，整理为$x^2 +4x -32=0$，解得$\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}$或$\begin{cases}x=-8\\y=-3\end{cases}$，所以点$B$的坐标为$(-8,-3)$。
(2) 在$y=\dfrac{3}{4}x+3$中，令$x=0$得$y=3$，故$C(0,3)$。设直线$CE$的表达式为$y=k'x+3$，联立$\begin{cases}y=k'x+3\\y=\dfrac{24}{x}\end{cases}$，得$k'x^2 +3x -24=0$。
因为直线$CE$与双曲线只有一个交点，所以判别式$\Delta=3^2 -4× k'×(-24)=9+96k'=0$，解得$k'=-\dfrac{3}{32}$，则直线$CE$为$y=-\dfrac{3}{32}x+3$。令$y=0$，解得$x=32$，故点$E$的坐标为$(32,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{24}{x}$，点$B(-8,-3)$；(2) $E(32,0)$
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数、函数交点问题
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查待定系数法求解析式、函数交点的求解，以及利用判别式解决直线与双曲线只有一个交点的问题，需掌握函数与方程的联系，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问先利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标，再代入反比例函数求出k值得到反比例函数表达式，联立两函数解析式解方程组得到点B的坐标；第(2)问先求出点C的坐标，设直线CE的解析式，与反比例函数联立，根据直线与双曲线只有一个交点时判别式为0求出直线斜率，进而求出点E的坐标。
【解析】
(1) 因为一次函数$y=\dfrac{3}{4}x+3$过点$A(4,m)$，将$x=4$代入得：
$m=\dfrac{3}{4}×4 + 3 = 6$，故$A(4,6)$。
把$A(4,6)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=4×6=24$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{24}{x}$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x+3\\y=\dfrac{24}{x}\end{cases}$，消去$y$得$\dfrac{3}{4}x + 3 = \dfrac{24}{x}$，整理为$x^2 +4x -32=0$，解得$\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}$或$\begin{cases}x=-8\\y=-3\end{cases}$，所以点$B$的坐标为$(-8,-3)$。
(2) 在$y=\dfrac{3}{4}x+3$中，令$x=0$得$y=3$，故$C(0,3)$。设直线$CE$的表达式为$y=k'x+3$，联立$\begin{cases}y=k'x+3\\y=\dfrac{24}{x}\end{cases}$，得$k'x^2 +3x -24=0$。
因为直线$CE$与双曲线只有一个交点，所以判别式$\Delta=3^2 -4× k'×(-24)=9+96k'=0$，解得$k'=-\dfrac{3}{32}$，则直线$CE$为$y=-\dfrac{3}{32}x+3$。令$y=0$，解得$x=32$，故点$E$的坐标为$(32,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{24}{x}$，点$B(-8,-3)$；(2) $E(32,0)$
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数、函数交点问题
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查待定系数法求解析式、函数交点的求解，以及利用判别式解决直线与双曲线只有一个交点的问题，需掌握函数与方程的联系，难度适中。
【难度系数】
0.5
7. (2025·绥化期中) 已知 $m,n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2025x + 1 = 0$ 的两个根, 则 $(m+1)(n+1)=$
2027
.答案
$∵ m,n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2\ 025x+1=0$ 的两个根,$∴ m+n=-\dfrac{-2\ 025}{1}=2\ 025,mn=\dfrac{1}{1}=1$,$∴ (m+1)(n+1)=m+n+mn+1=2\ 025+1+1=2\ 027$.
解析
【分析】本题给出m、n是一元二次方程的两个根，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开后代入计算，即可得到结果。
【解析】因为m、n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，根据韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，所以这里$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，可得：
$m+n = -\frac{-2025}{1}=2025$，$mn=\frac{1}{1}=1$。
将代数式$(m+1)(n+1)$展开，根据多项式乘法法则：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$，
把$m+n=2025$，$mn=1$代入上式，得：
$1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】2027
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，多项式乘法
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的应用，核心是掌握韦达定理和代数式的展开，属于基础题型，计算过程简单，是常见的考点。
【难度系数】0.8
【解析】因为m、n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，根据韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，所以这里$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，可得：
$m+n = -\frac{-2025}{1}=2025$，$mn=\frac{1}{1}=1$。
将代数式$(m+1)(n+1)$展开，根据多项式乘法法则：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$，
把$m+n=2025$，$mn=1$代入上式，得：
$1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】2027
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，多项式乘法
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的应用，核心是掌握韦达定理和代数式的展开，属于基础题型，计算过程简单，是常见的考点。
【难度系数】0.8
8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+5x+2=0$ 的两个实数根分别为 $α,β$, 则 $\sqrt{\dfrac{β}{α}}+\sqrt{\dfrac{α}{β}}=$
$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
.答案
$∵$ 方程 $x^{2}+5x+2=0$ 的两个实数根分别为 $α,β$,$∴ α+β=-5,αβ=2$,$∴ α,β$ 均为负数,$∴ \sqrt{\dfrac{β}{α}}+\sqrt{\dfrac{α}{β}}=\dfrac{\sqrt{αβ}}{-α}+\dfrac{\sqrt{αβ}}{-β}=-\sqrt{αβ}\dfrac{α+β}{αβ}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
要解决该问题，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积；再根据两根之和、积的符号判断两根的正负性；最后对所求二次根式式子化简，注意负数开根号后的符号处理，代入计算结果。
【解析】
解：对于方程$x^2 +5x +2=0$，由韦达定理得：
$α + β = -5$，$αβ =2$。
因为$αβ=2＞0$，所以$α$与$β$同号；又$α+β=-5＜0$，故$α＜0$，$β＜0$。
对$\sqrt{\dfrac{β}{α}} + \sqrt{\dfrac{α}{β}}$化简：
因为$α＜0$，$β＜0$，所以$\sqrt{\dfrac{β}{α}}=\sqrt{\dfrac{αβ}{α^2}}=\dfrac{\sqrt{αβ}}{|α|}=-\dfrac{\sqrt{αβ}}{α}$，同理$\sqrt{\dfrac{α}{β}}=-\dfrac{\sqrt{αβ}}{β}$。
则原式$= -\dfrac{\sqrt{αβ}}{α} - \dfrac{\sqrt{αβ}}{β} = -\sqrt{αβ}·(\dfrac{1}{α}+\dfrac{1}{β})= -\sqrt{αβ}·\dfrac{α+β}{αβ}$。
代入$α+β=-5$，$αβ=2$：
原式$= -\sqrt{2}·\dfrac{-5}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值
【点评】
本题综合考查韦达定理应用和二次根式符号处理，关键是判断两根均为负数，避免化简时符号错误，是基础题型但易因符号失误丢分。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积；再根据两根之和、积的符号判断两根的正负性；最后对所求二次根式式子化简，注意负数开根号后的符号处理，代入计算结果。
【解析】
解：对于方程$x^2 +5x +2=0$，由韦达定理得：
$α + β = -5$，$αβ =2$。
因为$αβ=2＞0$，所以$α$与$β$同号；又$α+β=-5＜0$，故$α＜0$，$β＜0$。
对$\sqrt{\dfrac{β}{α}} + \sqrt{\dfrac{α}{β}}$化简：
因为$α＜0$，$β＜0$，所以$\sqrt{\dfrac{β}{α}}=\sqrt{\dfrac{αβ}{α^2}}=\dfrac{\sqrt{αβ}}{|α|}=-\dfrac{\sqrt{αβ}}{α}$，同理$\sqrt{\dfrac{α}{β}}=-\dfrac{\sqrt{αβ}}{β}$。
则原式$= -\dfrac{\sqrt{αβ}}{α} - \dfrac{\sqrt{αβ}}{β} = -\sqrt{αβ}·(\dfrac{1}{α}+\dfrac{1}{β})= -\sqrt{αβ}·\dfrac{α+β}{αβ}$。
代入$α+β=-5$，$αβ=2$：
原式$= -\sqrt{2}·\dfrac{-5}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值
【点评】
本题综合考查韦达定理应用和二次根式符号处理，关键是判断两根均为负数，避免化简时符号错误，是基础题型但易因符号失误丢分。
【难度系数】
0.5
9. (1) (2024·烟台中考)若一元二次方程 $2x^{2}-$ $4x-1=0$ 的两根为 $m,n$, 则 $3m^{2}-4m+n^{2}$ 的值为
(2) 已知 $a,b$ 是一元二次方程 $x^{2}+x-1=0$ 的两根, 则 $3a^{2}-b+\dfrac{2}{a^{2}}$ 的值是
6
.(2) 已知 $a,b$ 是一元二次方程 $x^{2}+x-1=0$ 的两根, 则 $3a^{2}-b+\dfrac{2}{a^{2}}$ 的值是
8
.答案
(1)$∵$ 一元二次方程 $2x^{2}-4x-1=0$ 的两个根为 $m$,$n$,$∴ m+n=2,mn=-\dfrac{1}{2},2m^{2}-4m=1$,$∴ 3m^{2}-4m+n^{2}=2m^{2}-4m+m^{2}+n^{2}=m^{2}+n^{2}+1=(m+n)^{2}-2mn+1=2^{2}-2×(-\dfrac{1}{2})+1=6$.
(2)由题意可知,$a+b=-1,ab=-1,a^{2}=1-a$,$∴$ 原式$=3(1-a)-b+\dfrac{2}{1-a}=3-3a-b+\dfrac{2}{1-a}=3-2a-(a+b)+\dfrac{2}{1-a}=3-2a+1+\dfrac{2}{1-a}=4-2a+\dfrac{2}{1-a}=4+\dfrac{2a^{2}-2a+2}{1-a}=4+\dfrac{2(1-a)-2a+2}{1-a}=4+4=8$.
(2)由题意可知,$a+b=-1,ab=-1,a^{2}=1-a$,$∴$ 原式$=3(1-a)-b+\dfrac{2}{1-a}=3-3a-b+\dfrac{2}{1-a}=3-2a-(a+b)+\dfrac{2}{1-a}=3-2a+1+\dfrac{2}{1-a}=4-2a+\dfrac{2}{1-a}=4+\dfrac{2a^{2}-2a+2}{1-a}=4+\dfrac{2(1-a)-2a+2}{1-a}=4+4=8$.
解析
【分析】
这两道题均为一元二次方程根的代数式求值问题，解题核心是利用一元二次方程根的定义（根满足方程）和韦达定理（根与系数的关系），通过降次、变形将所求高次代数式转化为可直接代入计算的形式，最终化简求值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $2x^2 -4x -1=0$，两根为 $m,n$：
① 由根的定义，将 $m$ 代入方程得：$2m^2 -4m =1$；
② 由韦达定理，两根和 $m+n=\frac{4}{2}=2$，两根积 $mn=-\frac{1}{2}$；
③ 对所求代数式变形：$3m^2 -4m +n^2=(2m^2 -4m)+m^2 +n^2$；
④ 代入已知条件：$1 + [(m+n)^2 -2mn]=1 + [2^2 -2×(-\frac{1}{2})]=1+5=6$。
(2) 对于一元二次方程 $x^2 +x -1=0$，两根为 $a,b$：
① 由根的定义，将 $a$ 代入方程得：$a^2=1 -a$；
② 由韦达定理，两根和 $a+b=-1$，且 $a≠0$（否则方程不成立），故 $\frac{1}{a}=a+1$，结合 $a^2=1 -a$ 得 $\frac{1}{a^2}=\frac{1}{1 -a}$；
③ 对所求代数式变形：$3a^2 -b +\frac{2}{a^2}=3(1 -a)-b+\frac{2}{1 -a}$；
④ 代入 $a+b=-1$（即 $-b=a+1$）：$3-3a+a+1+\frac{2}{1 -a}=4-2a+\frac{2}{1 -a}$；
⑤ 通分化简：分子为 $(4-2a)(1 -a)+2=4-6a+2a^2+2$，代入 $a^2=1 -a$ 得分子 $8(1 -a)$，故原式 $\frac{8(1 -a)}{1 -a}=8$。
【答案】
(1) $6$；(2) $8$
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式化简求值
【点评】
本题是中考常见的一元二次方程根的求值题型，核心考查根的性质与韦达定理的灵活应用，关键在于通过降次和变形简化高次代数式，对代数变形能力有一定要求，属于中等难度题。
【难度系数】
0.4
这两道题均为一元二次方程根的代数式求值问题，解题核心是利用一元二次方程根的定义（根满足方程）和韦达定理（根与系数的关系），通过降次、变形将所求高次代数式转化为可直接代入计算的形式，最终化简求值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $2x^2 -4x -1=0$，两根为 $m,n$：
① 由根的定义，将 $m$ 代入方程得：$2m^2 -4m =1$；
② 由韦达定理，两根和 $m+n=\frac{4}{2}=2$，两根积 $mn=-\frac{1}{2}$；
③ 对所求代数式变形：$3m^2 -4m +n^2=(2m^2 -4m)+m^2 +n^2$；
④ 代入已知条件：$1 + [(m+n)^2 -2mn]=1 + [2^2 -2×(-\frac{1}{2})]=1+5=6$。
(2) 对于一元二次方程 $x^2 +x -1=0$，两根为 $a,b$：
① 由根的定义，将 $a$ 代入方程得：$a^2=1 -a$；
② 由韦达定理，两根和 $a+b=-1$，且 $a≠0$（否则方程不成立），故 $\frac{1}{a}=a+1$，结合 $a^2=1 -a$ 得 $\frac{1}{a^2}=\frac{1}{1 -a}$；
③ 对所求代数式变形：$3a^2 -b +\frac{2}{a^2}=3(1 -a)-b+\frac{2}{1 -a}$；
④ 代入 $a+b=-1$（即 $-b=a+1$）：$3-3a+a+1+\frac{2}{1 -a}=4-2a+\frac{2}{1 -a}$；
⑤ 通分化简：分子为 $(4-2a)(1 -a)+2=4-6a+2a^2+2$，代入 $a^2=1 -a$ 得分子 $8(1 -a)$，故原式 $\frac{8(1 -a)}{1 -a}=8$。
【答案】
(1) $6$；(2) $8$
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式化简求值
【点评】
本题是中考常见的一元二次方程根的求值题型，核心考查根的性质与韦达定理的灵活应用，关键在于通过降次和变形简化高次代数式，对代数变形能力有一定要求，属于中等难度题。
【难度系数】
0.4
