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1. 小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现:阻力$×$阻力臂$=$动力$×$动力臂.现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为 2 400 N 和 1 m,则动力$F$(单位:N)关于动力臂$l$(单位:m)的函数图象大致是（
A
）答案
∵阻力×阻力臂=动力×动力臂,已知阻力和阻力臂分别是2 400 N和1 m,
∴动力F(单位:N)关于动力臂l(单位:m)的函数表达式为2 400×1=Fl,则$F=\dfrac{2\ 400}{l}$,是反比例函数,A选项符合,故选A.
解析
【分析】
首先回忆杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，根据该公式代入已知的阻力和阻力臂，推导动力F与动力臂l的函数关系式，再结合函数类型判断对应的图像即可。
【解析】
根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力为2400N，阻力臂为1m，设动力为F，动力臂为l，代入公式得：
2400×1 = F·l，整理可得F = 2400/l，该函数属于反比例函数，其图像为双曲线。观察选项，只有A选项的图像符合反比例函数的特征，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数、杠杆平衡原理
【点评】
本题结合物理杠杆平衡原理与数学反比例函数知识，考查函数关系式的推导及图像识别，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先回忆杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，根据该公式代入已知的阻力和阻力臂，推导动力F与动力臂l的函数关系式，再结合函数类型判断对应的图像即可。
【解析】
根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力为2400N，阻力臂为1m，设动力为F，动力臂为l，代入公式得：
2400×1 = F·l，整理可得F = 2400/l，该函数属于反比例函数，其图像为双曲线。观察选项，只有A选项的图像符合反比例函数的特征，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数、杠杆平衡原理
【点评】
本题结合物理杠杆平衡原理与数学反比例函数知识，考查函数关系式的推导及图像识别，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
2. (2026·南通期中)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 I(单位:A)与电阻 R(单位:$\Omega$)是反比例函数关系,它的图象如图所示.下列说法正确的是 （
A.函数表达式为$I=\dfrac{13}{R}$
B.函数图象经过$(6,8)$
C.当$I ≤ 10\ \mathrm{A}$时,$R ≥ 3.6\ \Omega$
D.当$R=6\ \Omega$时,$I=4\ \mathrm{A}$
C
）A.函数表达式为$I=\dfrac{13}{R}$
B.函数图象经过$(6,8)$
C.当$I ≤ 10\ \mathrm{A}$时,$R ≥ 3.6\ \Omega$
D.当$R=6\ \Omega$时,$I=4\ \mathrm{A}$
答案
设$I=\dfrac{k}{R}$,将$(4,9)$代入得$k=36$,$\therefore I=\dfrac{36}{R}$,故A选项错误;将$I=6$代入$I=\dfrac{36}{R}$得$R=6$,故B选项错误;将$I=10$代入$I=\dfrac{36}{R}$得$R=3.6$,由图象可得当$I ≤ 10\ \mathrm{A}$时,$R ≥ 3.6\ \Omega$,故C选项正确;将$R=6$代入$I=\dfrac{36}{R}$得$I=6$,故D选项错误.故选C.
解析
【分析】
首先，根据题意可知电流$I$与电阻$R$成反比例函数关系，因此先设反比例函数表达式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$）；再利用图像上的已知点$(4,9)$，通过待定系数法求出$k$的值，确定函数的具体表达式；最后将各选项中的数值代入表达式，结合反比例函数的性质逐一判断选项的正误，选出正确答案。
【解析】
解：因为电流$I$与电阻$R$是反比例函数关系，设函数表达式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$）。
将点$(4,9)$代入表达式，得$9=\frac{k}{4}$，解得$k=36$，因此函数表达式为$I=\frac{36}{R}$。
逐一分析选项：
选项A：函数表达式应为$I=\frac{36}{R}$，不是$I=\frac{13}{R}$，故A错误；
选项B：当$R=6$时，代入表达式得$I=\frac{36}{6}=6≠8$，图象不经过$(6,8)$，故B错误；
选项C：当$I≤10\ \mathrm{A}$时，由$I=\frac{36}{R}$得$R=\frac{36}{I}$，因为$I≤10$，所以$\frac{36}{I}≥\frac{36}{10}=3.6$，即$R≥3.6\ \Omega$，结合第一象限内反比例函数的性质，该结论成立，故C正确；
选项D：当$R=6\ \Omega$时，$I=\frac{36}{6}=6≠4\ \mathrm{A}$，故D错误。
综上，正确答案为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用、欧姆定律
【点评】
本题结合电学知识考查反比例函数的应用，核心是用待定系数法确定反比例函数解析式，再根据解析式分析函数性质来判断选项，需要学生掌握反比例函数的基本应用和电学中电流、电阻的关系，题目难度适中。
【难度系数】
0.6
首先，根据题意可知电流$I$与电阻$R$成反比例函数关系，因此先设反比例函数表达式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$）；再利用图像上的已知点$(4,9)$，通过待定系数法求出$k$的值，确定函数的具体表达式；最后将各选项中的数值代入表达式，结合反比例函数的性质逐一判断选项的正误，选出正确答案。
【解析】
解：因为电流$I$与电阻$R$是反比例函数关系，设函数表达式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$）。
将点$(4,9)$代入表达式，得$9=\frac{k}{4}$，解得$k=36$，因此函数表达式为$I=\frac{36}{R}$。
逐一分析选项：
选项A：函数表达式应为$I=\frac{36}{R}$，不是$I=\frac{13}{R}$，故A错误；
选项B：当$R=6$时，代入表达式得$I=\frac{36}{6}=6≠8$，图象不经过$(6,8)$，故B错误；
选项C：当$I≤10\ \mathrm{A}$时，由$I=\frac{36}{R}$得$R=\frac{36}{I}$，因为$I≤10$，所以$\frac{36}{I}≥\frac{36}{10}=3.6$，即$R≥3.6\ \Omega$，结合第一象限内反比例函数的性质，该结论成立，故C正确；
选项D：当$R=6\ \Omega$时，$I=\frac{36}{6}=6≠4\ \mathrm{A}$，故D错误。
综上，正确答案为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用、欧姆定律
【点评】
本题结合电学知识考查反比例函数的应用，核心是用待定系数法确定反比例函数解析式，再根据解析式分析函数性质来判断选项，需要学生掌握反比例函数的基本应用和电学中电流、电阻的关系，题目难度适中。
【难度系数】
0.6
3. (2025·张掖期末)化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的.如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度(瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值)$y$与酒精的质量$x$的情况,其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上,则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是
甲
.答案
根据题意,可知$xy$的值即为乙醇质量,$\because$乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上,$\therefore$乙、丁两瓶乙醇质量相同.$\because$甲点在反比例函数图象上方,丙点在反比例函数图象下方,$\therefore$甲瓶的$xy$的值最大,即乙醇质量最多,丙瓶的$xy$的值最小,即乙醇质量最少.
解析
【分析】
首先明确题目中各量的关系：乙醇质量 = 酒精质量×浓度，对应坐标中即为$xy$。由于乙、丁在同一反比例函数图象上，反比例函数满足$xy = k$（定值），因此乙、丁的乙醇质量相等。接下来对比甲、丙的$xy$值：图象上的点满足$xy = k$，甲在图象上方，说明甲的$xy ＞ k$；丙在图象下方，说明丙的$xy ＜ k$，由此可判断四个点中乙醇质量的大小。
【解析】
根据题意，乙醇质量为$xy$。因为乙、丁两点在同一反比例函数图象上，所以乙、丁的$xy$值相等，即两瓶乙醇质量相同。观察图象：甲点在反比例函数图象上方，其对应的$xy$值大于反比例函数的定值$k$；丙点在反比例函数图象下方，其对应的$xy$值小于$k$。因此，四个点中$xy$最大的是甲，即甲瓶含乙醇质量最多。
【答案】
甲
【知识点】
反比例函数的应用、反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际情境，利用反比例函数的坐标特征判断乙醇质量，核心是理解$xy$代表乙醇质量，属于反比例函数的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
首先明确题目中各量的关系：乙醇质量 = 酒精质量×浓度，对应坐标中即为$xy$。由于乙、丁在同一反比例函数图象上，反比例函数满足$xy = k$（定值），因此乙、丁的乙醇质量相等。接下来对比甲、丙的$xy$值：图象上的点满足$xy = k$，甲在图象上方，说明甲的$xy ＞ k$；丙在图象下方，说明丙的$xy ＜ k$，由此可判断四个点中乙醇质量的大小。
【解析】
根据题意，乙醇质量为$xy$。因为乙、丁两点在同一反比例函数图象上，所以乙、丁的$xy$值相等，即两瓶乙醇质量相同。观察图象：甲点在反比例函数图象上方，其对应的$xy$值大于反比例函数的定值$k$；丙点在反比例函数图象下方，其对应的$xy$值小于$k$。因此，四个点中$xy$最大的是甲，即甲瓶含乙醇质量最多。
【答案】
甲
【知识点】
反比例函数的应用、反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际情境，利用反比例函数的坐标特征判断乙醇质量，核心是理解$xy$代表乙醇质量，属于反比例函数的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
4. (永州中考)受冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道$A$端以平均$(x+2)$米/秒的速度滑到$B$端，用了24秒；第二次从滑雪道$A$端以平均$(x+3)$米/秒的速度滑到$B$端，用了20秒.
(1)求$x$的值；
(2)设小勇从滑雪道$A$端滑到$B$端的平均速度为$v$米/秒，所用时间为$t$秒，请用含$t$的代数式表示$v$(不要求写出$t$的取值范围).
(1)求$x$的值；
(2)设小勇从滑雪道$A$端滑到$B$端的平均速度为$v$米/秒，所用时间为$t$秒，请用含$t$的代数式表示$v$(不要求写出$t$的取值范围).
答案
(1)根据题意,得$24(x+2)=20(x+3)$,解得$x=3$.
(2)$\because$由(1)知$x=3$,$\therefore 24×(3+2)=120$(米),$\therefore v=\dfrac{120}{t}$.
(2)$\because$由(1)知$x=3$,$\therefore 24×(3+2)=120$(米),$\therefore v=\dfrac{120}{t}$.
解析
【分析】
第(1)问，两次滑行的路程均为滑雪道A端到B端的距离，因此路程相等，根据“路程=速度×时间”的等量关系，可列出一元一次方程求解x；第(2)问，先利用(1)的结果算出A到B的总路程，再根据“速度=路程÷时间”，用总路程除以时间t，即可得到v关于t的代数式。
【解析】
(1) 由两次滑行路程相等，根据路程=速度×时间，列方程：
$24(x + 2) = 20(x + 3)$
展开得：$24x + 48 = 20x + 60$
移项合并同类项：$4x = 12$
解得：$x = 3$
(2) 把$x=3$代入，得A到B的路程为：$24×(3 + 2) = 120$（米）
根据速度=路程÷时间，可得：$v = \dfrac{120}{t}$
【答案】
(1) $x=3$；(2) $v=\dfrac{120}{t}$
【知识点】
一元一次方程的应用、代数式的表示
【点评】
本题结合实际滑雪场景，考查行程问题的基本数量关系，通过列方程解决未知数，再用代数式表示速度，注重数学知识的实际应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
第(1)问，两次滑行的路程均为滑雪道A端到B端的距离，因此路程相等，根据“路程=速度×时间”的等量关系，可列出一元一次方程求解x；第(2)问，先利用(1)的结果算出A到B的总路程，再根据“速度=路程÷时间”，用总路程除以时间t，即可得到v关于t的代数式。
【解析】
(1) 由两次滑行路程相等，根据路程=速度×时间，列方程：
$24(x + 2) = 20(x + 3)$
展开得：$24x + 48 = 20x + 60$
移项合并同类项：$4x = 12$
解得：$x = 3$
(2) 把$x=3$代入，得A到B的路程为：$24×(3 + 2) = 120$（米）
根据速度=路程÷时间，可得：$v = \dfrac{120}{t}$
【答案】
(1) $x=3$；(2) $v=\dfrac{120}{t}$
【知识点】
一元一次方程的应用、代数式的表示
【点评】
本题结合实际滑雪场景，考查行程问题的基本数量关系，通过列方程解决未知数，再用代数式表示速度，注重数学知识的实际应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
5. 教材变式 (宁夏中考)给某气球充满一定质量的气体,在温度不变时,气球内气体的气压$ p(\mathrm{KPa}) $是气体体积$ V(\mathrm{m}^3) $的反比例函数,其图象如图所示.
(1)当气球内的气压超过150 KPa时,气球会爆炸.若将气球近似看成一个球体,试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式$ V=\dfrac{4}{3}π r^3 $,$ π $取3);
(2)请你利用$ p $与$ V $的关系解释为什么超载的车辆容易爆胎.
(1)当气球内的气压超过150 KPa时,气球会爆炸.若将气球近似看成一个球体,试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式$ V=\dfrac{4}{3}π r^3 $,$ π $取3);
(2)请你利用$ p $与$ V $的关系解释为什么超载的车辆容易爆胎.
答案
(1)设函数表达式为$p=\dfrac{k}{V}$,根据图象可得$k=pV=120×0.04=4.8$,$\therefore p=\dfrac{4.8}{V}$.当$p=150$时,$V=\dfrac{4.8}{150}=0.032$,$\therefore \dfrac{4}{3}×3r^3=0.032$,解得$r=0.2$.$\because k=4.8＞0$,$\therefore p$随$V$的增大而减小,$\therefore$要使气球不会爆炸,$V≥0.032$,此时$r≥0.2$,$\therefore$气球的半径至少为0.2 m时气球不会爆炸.
(2)由于车辆超载,轮胎内气体的体积变小,胎内气压增大,易爆胎.(合理即可)
(2)由于车辆超载,轮胎内气体的体积变小,胎内气压增大,易爆胎.(合理即可)
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需先根据反比例函数图象确定$ p $与$ V $的函数关系式，再结合气压上限求出对应气体体积，最后利用球体体积公式计算半径；第(2)问需结合反比例函数中$ p $与$ V $的变化关系，解释超载时胎内气压的变化。解题时，先利用待定系数法求反比例函数解析式，再根据函数增减性分析变量关系，最后代入公式计算。
【解析】
(1) 因为$ p $是$ V $的反比例函数，设其表达式为$ p = \frac{k}{V} $（$ k≠0 $）。
由图象可知，当$ V=0.04 \, \mathrm{m}^3 $时，$ p=120 \, \mathrm{KPa} $，代入得：
$ k = pV = 120×0.04 = 4.8 $，
所以$ p $与$ V $的函数关系式为$ p = \frac{4.8}{V} $。
当气球内气压不超过150 KPa时，即$ p≤150 $，代入函数得：
$ 150 = \frac{4.8}{V} $，解得$ V = \frac{4.8}{150} = 0.032 \, \mathrm{m}^3 $。
因为$ k=4.8＞0 $，所以在$ V＞0 $时，$ p $随$ V $的增大而减小，因此要使气球不爆炸，需$ V≥0.032 \, \mathrm{m}^3 $。
又球体体积公式为$ V = \frac{4}{3}πr^3 $（$ π $取3），代入$ V=0.032 $得：
$ 0.032 = \frac{4}{3}×3×r^3 $，化简得$ 0.032 = 4r^3 $，
解得$ r^3 = 0.008 $，即$ r=0.2 \, \mathrm{m} $，故气球半径至少为0.2 m时不会爆炸。
(2) 车辆超载时，轮胎内气体被压缩，体积$ V $减小；由反比例函数$ p = \frac{4.8}{V} $可知，当$ V $减小时，胎内气压$ p $会增大，当气压超过轮胎承受限度时，就容易爆胎。
【答案】
(1) 气球的半径至少为0.2 m时气球不会爆炸；
(2) 车辆超载时，轮胎内气体体积减小，胎内气压增大，易爆胎（合理即可）
【知识点】
反比例函数、反比例函数的实际应用、球体体积公式
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，将数学知识与生活、物理常识结合，既需要掌握反比例函数的解析式求法和性质，又要能运用公式计算，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需先根据反比例函数图象确定$ p $与$ V $的函数关系式，再结合气压上限求出对应气体体积，最后利用球体体积公式计算半径；第(2)问需结合反比例函数中$ p $与$ V $的变化关系，解释超载时胎内气压的变化。解题时，先利用待定系数法求反比例函数解析式，再根据函数增减性分析变量关系，最后代入公式计算。
【解析】
(1) 因为$ p $是$ V $的反比例函数，设其表达式为$ p = \frac{k}{V} $（$ k≠0 $）。
由图象可知，当$ V=0.04 \, \mathrm{m}^3 $时，$ p=120 \, \mathrm{KPa} $，代入得：
$ k = pV = 120×0.04 = 4.8 $，
所以$ p $与$ V $的函数关系式为$ p = \frac{4.8}{V} $。
当气球内气压不超过150 KPa时，即$ p≤150 $，代入函数得：
$ 150 = \frac{4.8}{V} $，解得$ V = \frac{4.8}{150} = 0.032 \, \mathrm{m}^3 $。
因为$ k=4.8＞0 $，所以在$ V＞0 $时，$ p $随$ V $的增大而减小，因此要使气球不爆炸，需$ V≥0.032 \, \mathrm{m}^3 $。
又球体体积公式为$ V = \frac{4}{3}πr^3 $（$ π $取3），代入$ V=0.032 $得：
$ 0.032 = \frac{4}{3}×3×r^3 $，化简得$ 0.032 = 4r^3 $，
解得$ r^3 = 0.008 $，即$ r=0.2 \, \mathrm{m} $，故气球半径至少为0.2 m时不会爆炸。
(2) 车辆超载时，轮胎内气体被压缩，体积$ V $减小；由反比例函数$ p = \frac{4.8}{V} $可知，当$ V $减小时，胎内气压$ p $会增大，当气压超过轮胎承受限度时，就容易爆胎。
【答案】
(1) 气球的半径至少为0.2 m时气球不会爆炸；
(2) 车辆超载时，轮胎内气体体积减小，胎内气压增大，易爆胎（合理即可）
【知识点】
反比例函数、反比例函数的实际应用、球体体积公式
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，将数学知识与生活、物理常识结合，既需要掌握反比例函数的解析式求法和性质，又要能运用公式计算，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.6
