7. (2025·扬州期末)通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示.当$0 ≤ x ＜ 10$和$10 ≤ x ＜ 20$时,图象是线段;当$20 ≤ x ≤ 40$时,图象是反比例函数图象的一部分,根据函数图象回答下列问题:
(1)点A的注意力指标数是.
(2)当$0 ≤ x ＜ 10$时,求注意力指标数y与时间x(分钟)的函数表达式.
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于36?请说明理由.

7. (1)24 解析:设 $20 ≤ x ≤ 40$ 时函数的表达式为 $y=\dfrac{m}{x}$,由 $C(20,48)$ 得 $m=960$,即 $y=\dfrac{960}{x}$,当 $x=40$ 时,$y=24$,$\therefore D(40,24)$,$\therefore$ 点 $A$ 的注意力指标数是 24.
(2)当 $0 ≤ x＜10$ 时,设函数的表达式为 $y=kx+b$,
$\because A(0,24)$,$B(10,48)$,
$\therefore \begin{cases}24=b,\\48=10k+b,\end{cases}\therefore \begin{cases}b=24,\\k=\dfrac{12}{5},\end{cases}\therefore y=\dfrac{12}{5}x+24$.
(3)张老师能经过适当安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于 36.
理由:当 $0 ≤ x＜10$,$y ≥ 36$ 时,即 $\dfrac{12}{5}x+24 ≥ 36$,解得 $x ≥ 5$,即 $5 ≤ x＜10$;当 $10 ≤ x＜20$ 时,$y=48$,$48＞36$;当 $20 ≤ x ≤ 40$,$y ≥ 36$ 时,即 $\dfrac{960}{x} ≥ 36$,解得 $x ≤ \dfrac{80}{3}$,即 $20 ≤ x ≤ \dfrac{80}{3}$,$\therefore$ 当 $5 ≤ x ≤ \dfrac{80}{3}$ 时,注意力指标数都不低于 36.而 $\dfrac{80}{3}-5=\dfrac{65}{3}＞20$,$\therefore$ 张老师能经过适当安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于 36.

【分析】
要解决本题，需分三步分析：1. 求点A的注意力指标数：观察图像，A与D的纵坐标相同，先确定20≤x≤40段的反比例函数解析式，代入C点求出解析式后，代入x=40得D点纵坐标，即为A点纵坐标；2. 求0≤x＜10段的函数表达式：该段为线段，用待定系数法，代入A、B两点坐标求解一次函数；3. 判断能否安排讲解：需分别在三段函数中求解y≥36对应的x范围，计算满足条件的x的总长度，与20分钟比较即可得出结论。
【解析】
(1) 设当20≤x≤40时，反比例函数的表达式为$ y=\dfrac{m}{x} $，将点$ C(20,48) $代入得：
$ 48=\dfrac{m}{20} $，解得$ m=960 $，即反比例函数表达式为$ y=\dfrac{960}{x} $。
当$ x=40 $时，$ y=\dfrac{960}{40}=24 $，故点$ D $的坐标为$ (40,24) $。
因为点A与点D的纵坐标相同，所以点A的注意力指标数是24。
(2) 当$ 0≤x＜10 $时，设注意力指标数$ y $与时间$ x $的函数表达式为$ y=kx+b $，将$ A(0,24) $、$ B(10,48) $代入得：
$ \begin{cases} b=24 \\ 10k + b=48 \end{cases} $，解得$ \begin{cases} k=\dfrac{12}{5} \\ b=24 \end{cases} $，
因此，函数表达式为$ y=\dfrac{12}{5}x + 24 \ (0≤x＜10) $。
(3) 张老师能经过适当安排，使学生在听讲解时注意力指标数都不低于36，理由如下：
① 当$ 0≤x＜10 $时，令$ y≥36 $，即$ \dfrac{12}{5}x +24 ≥36 $，
解得$ x≥5 $，即满足条件的$ x $范围为$ 5≤x＜10 $；
② 当$ 10≤x＜20 $时，$ y=48 $，显然$ 48＞36 $，该区间所有$ x $均满足条件；
③ 当$ 20≤x≤40 $时，令$ y≥36 $，即$ \dfrac{960}{x} ≥36 $，
解得$ x≤\dfrac{80}{3} $，即满足条件的$ x $范围为$ 20≤x≤\dfrac{80}{3} $。
综上，满足注意力指标数不低于36的$ x $范围是$ 5≤x≤\dfrac{80}{3} $，该区间的长度为$ \dfrac{80}{3} -5=\dfrac{65}{3}≈21.67 $分钟，大于20分钟，因此张老师能经过适当安排。
【答案】
(1)24；(2)$ y=\dfrac{12}{5}x +24 \ (0≤x＜10) $；(3)能，理由见解析。
【知识点】
一次函数表达式、反比例函数应用、不等式的应用
【点评】
本题结合实际教学情境，考查分段函数的应用，需掌握待定系数法求函数解析式，以及利用不等式解决实际问题的能力，关键是分区间讨论函数的取值范围，难度适中。
【难度系数】
0.5

8. 如图是在一次药物临床试验中,受试者服药后血液中的药物浓度$ y $(微克/毫升)与用药的时间$ x $(小时)变化的图象. 第一次服药后对应的图象由线段$ OA $和部分曲线$ AB:y=\dfrac{k}{x} $组成,服药6小时后血液中的药物浓度达到最高,16小时后开始第二次服药,服药后对应的图象由线段$ BC $和部分曲线$ CD:y=\dfrac{k}{x-16}+m $组成,其中$ OA $与$ BC $平行. 血液中药物的浓度不低于5微克/毫升时有疗效.
(1)分别求受试者第16小时,第22小时血液中的药物浓度.
(2)受试者第一次服药后第二次服药前的这16小时内,有疗效的持续时间达到6小时了吗?
(3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药,则受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药?

8. (1)把点 $A(6,8)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $k=48$,$\therefore$ 曲线 $AB$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{48}{x}$.当 $x=16$ 时,$y=\dfrac{48}{16}=3$,即第 16 小时血液中的药物浓度为 3 微克/毫升.
设直线 $OA$ 的函数表达式为 $y_1=nx(n ≠ 0)$,把点 $A(6,8)$ 代入 $y_1=nx(n ≠ 0)$,得 $n=\dfrac{4}{3}$.$\because OA$ 与 $BC$ 平行,$\therefore$ 设直线 $BC$ 的函数表达式为 $y_2=\dfrac{4}{3}x+b$,把点 $B(16,3)$ 代入,得 $b=-\dfrac{55}{3}$,$\therefore$ 直线 $BC$ 的函数表达式为 $y_2=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{55}{3}$,当 $x=22$ 时,$y_2=11$,即第 22 小时血液中的药物浓度为 11 微克/毫升.
(2)当 $0＜x＜6$ 时,若 $y=5$,则 $5=\dfrac{4}{3}x$,解得 $x=\dfrac{15}{4}$;当 $6 ≤ x＜16$ 时,若 $y=5$,则 $5=\dfrac{48}{x}$,解得 $x=\dfrac{48}{5}$.$\because \dfrac{48}{5}-\dfrac{15}{4}=\dfrac{117}{20}=5.85＜6$,$\therefore$ 这 16 小时内药物有疗效的持续时间未达到 6 小时.
(3)把点 $C(22,11)$ 代入 $y=\dfrac{48}{x-16}+m$,得 $m=3$,$\therefore$ 曲线 $CD$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{48}{x-16}+3$.当 $y=4$ 时,$x=64$,$64-16=48$(小时),$\therefore$ 受试者第二次服药后至少经过 48 小时可进行第三次服药.

【分析】
本题需结合一次函数、反比例函数的性质，分阶段确定函数解析式，再根据药物浓度的条件计算对应时间，解决问题。
(1) 先利用点A在反比例函数AB段上求k，得到AB段解析式，代入x=16得第16小时浓度；再由OA的解析式，结合OA与BC平行的关系求出BC的解析式，代入x=22得第22小时浓度。
(2) 分0＜x＜6和6≤x＜16两段，分别令y=5，求出对应x值，计算时间差判断是否达到6小时。
(3) 利用点C在CD段的函数上求m，得到CD段解析式，令y=4解出x，减去16即为第二次服药后经过的时间。
【解析】
(1) 曲线AB：将A(6,8)代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$8=\dfrac{k}{6}$，解得$k=48$，故AB段解析式为$y=\dfrac{48}{x}$。当$x=16$时，$y=\dfrac{48}{16}=3$，即第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升。
直线OA：设解析式为$y_1=nx$，将A(6,8)代入得$8=6n$，解得$n=\dfrac{4}{3}$，故OA解析式为$y_1=\dfrac{4}{3}x$。因OA与BC平行，BC斜率为$\dfrac{4}{3}$，设BC解析式为$y_2=\dfrac{4}{3}x+b$，将B(16,3)代入得$3=\dfrac{4}{3}×16 + b$，解得$b=-\dfrac{55}{3}$，故BC解析式为$y_2=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{55}{3}$。当$x=22$时，$y_2=\dfrac{4}{3}×22-\dfrac{55}{3}=11$，即第22小时血液中的药物浓度为11微克/毫升。
(2) 当$0＜x＜6$时，令$y=5$，则$\dfrac{4}{3}x=5$，解得$x=\dfrac{15}{4}$；当$6≤ x＜16$时，令$y=5$，则$\dfrac{48}{x}=5$，解得$x=\dfrac{48}{5}$。有疗效的持续时间为$\dfrac{48}{5}-\dfrac{15}{4}=\dfrac{117}{20}=5.85$小时，$5.85＜6$，故未达到6小时。
(3) 曲线CD：将C(22,11)代入$y=\dfrac{48}{x-16}+m$，得$11=\dfrac{48}{22-16}+m$，解得$m=3$，故CD段解析式为$y=\dfrac{48}{x-16}+3$。令$y=4$，得$4=\dfrac{48}{x-16}+3$，解得$x=64$，则第二次服药后经过的时间为$64-16=48$小时。
【答案】
(1) 第16小时为3微克/毫升，第22小时为11微克/毫升；(2) 未达到6小时；(3) 48小时
【知识点】
一次函数应用、反比例函数应用、函数图像实际应用
【点评】
本题结合药物浓度的实际场景，考查一次函数与反比例函数的解析式求解及应用，关键是分阶段确定函数类型，利用点坐标求解析式，再根据函数值条件计算对应时间，需注意分段讨论的合理性。
【难度系数】
0.5