登录
6. (2025·驻马店期末)李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回.两岸青山相对出，孤帆一片日边来.”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则$y$与$x$的函数表达式可以是（
A.$y=\dfrac{2}{x}$
B.$y=\dfrac{2}{|x|}$
C.$y=\dfrac{x}{2}$
D.$y=\dfrac{|x|}{2}$
B
）A.$y=\dfrac{2}{x}$
B.$y=\dfrac{2}{|x|}$
C.$y=\dfrac{x}{2}$
D.$y=\dfrac{|x|}{2}$
答案
A.图象在第一、三象限,不符合题意.B.当$x＜0$时,$y=-\dfrac{2}{x}$,图象在第二象限;当$x＞0$时,$y=\dfrac{2}{x}$,图象在第一象限,符合题中图象.C.图象为一条直线,不符合题意.D.当$x＜0$时,$y=-\dfrac{x}{2}$,图象在第二象限;当$x＞0$时,$y=\dfrac{x}{2}$,图象在第一象限,但该函数的图象均为直线,不符合题意.故选B.
解析
【分析】
要确定符合题中图像的函数表达式，需先观察图像特征：图像分布在第一、第二象限，y值恒为正，且关于y轴对称，属于反比例函数的变形，需逐一分析各选项函数的图像特征，匹配图像的性质。
【解析】
1. 分析选项A：$y=\dfrac{2}{x}$是反比例函数，其图像在第一、第三象限，当$x＜0$时，$y＜0$，与题中图像y恒为正的特征不符，排除A；
2. 分析选项B：$y=\dfrac{2}{|x|}$，当$x＞0$时，$y=\dfrac{2}{x}$，图像在第一象限；当$x＜0$时，$y=\dfrac{2}{-x}=-\dfrac{2}{x}$，此时$x＜0$，则$-x＞0$，故$y＞0$，图像在第二象限，且y恒正、关于y轴对称，与题中图像完全符合，B正确；
3. 分析选项C：$y=\dfrac{x}{2}$是正比例函数，图像为过原点的直线，与题中曲线图像不符，排除C；
4. 分析选项D：$y=\dfrac{|x|}{2}$，当$x＞0$时$y=\dfrac{x}{2}$，当$x＜0$时$y=-\dfrac{x}{2}$，图像为两条直线组成的折线，不是题中的曲线，排除D。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图像、含绝对值的函数图像
【点评】
本题结合诗词意境考查函数图像的识别，需掌握常见函数的图像特征，通过分析函数的象限分布、值域、对称性匹配图像，是基础的函数图像应用题型。
【难度系数】
0.6
要确定符合题中图像的函数表达式，需先观察图像特征：图像分布在第一、第二象限，y值恒为正，且关于y轴对称，属于反比例函数的变形，需逐一分析各选项函数的图像特征，匹配图像的性质。
【解析】
1. 分析选项A：$y=\dfrac{2}{x}$是反比例函数，其图像在第一、第三象限，当$x＜0$时，$y＜0$，与题中图像y恒为正的特征不符，排除A；
2. 分析选项B：$y=\dfrac{2}{|x|}$，当$x＞0$时，$y=\dfrac{2}{x}$，图像在第一象限；当$x＜0$时，$y=\dfrac{2}{-x}=-\dfrac{2}{x}$，此时$x＜0$，则$-x＞0$，故$y＞0$，图像在第二象限，且y恒正、关于y轴对称，与题中图像完全符合，B正确；
3. 分析选项C：$y=\dfrac{x}{2}$是正比例函数，图像为过原点的直线，与题中曲线图像不符，排除C；
4. 分析选项D：$y=\dfrac{|x|}{2}$，当$x＞0$时$y=\dfrac{x}{2}$，当$x＜0$时$y=-\dfrac{x}{2}$，图像为两条直线组成的折线，不是题中的曲线，排除D。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图像、含绝对值的函数图像
【点评】
本题结合诗词意境考查函数图像的识别，需掌握常见函数的图像特征，通过分析函数的象限分布、值域、对称性匹配图像，是基础的函数图像应用题型。
【难度系数】
0.6
7.(郴州中考)在实验课上,小明做了一个试验.
如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60),记录容器中加入的水的质量,得到下表:
把上表中的x与$y_1$各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的$y_1$关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出$y_2$关于x的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测$y_1$与x之间的函数关系,并求$y_1$关于x的函数表达式;
②求$y_2$关于x的函数表达式;
③当0＜x≤60时,$y_1$随x的增大而
(3)若在容器中加入的水的质量$y_2$(g)满足$19 ≤ y_2 ≤ 45$,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
[二维码]
如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60),记录容器中加入的水的质量,得到下表:
把上表中的x与$y_1$各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的$y_1$关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出$y_2$关于x的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测$y_1$与x之间的函数关系,并求$y_1$关于x的函数表达式;
②求$y_2$关于x的函数表达式;
③当0＜x≤60时,$y_1$随x的增大而
减小
(填“增大”或“减小”),$y_2$随x的增大而减小
(填“增大”或“减小”),$y_2$的图象可以由$y_1$的图象向下
(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到.(3)若在容器中加入的水的质量$y_2$(g)满足$19 ≤ y_2 ≤ 45$,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
[二维码]
答案
(1)函数图象如图所示:
(2)①观察图象可知,$y_1$可能是$x$的反比例函数.设$y_1=\dfrac{k}{x}$($k≠0$),把$(30,10)$代入$y_1=\dfrac{k}{x}$,得$k=300$,$\therefore y_1=\dfrac{300}{x}$.经检验,其余各个点坐标均满足$y_1=\dfrac{300}{x}$,$\therefore y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=\dfrac{300}{x}$.
②观察表格以及①可知,$y_2+5$可能与$x$成反比例.设$y_2+5=\dfrac{m}{x}$($m≠0$),把$(30,5)$代入$y_2+5=\dfrac{m}{x}$,得$m=300$,$\therefore y_2+5=\dfrac{300}{x}$.经检验,其余各个点坐标均满足$y_2+5=\dfrac{300}{x}$,$\therefore y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=\dfrac{300}{x}-5$.
③减小 减小 下 解析:观察图象可得相应信息.
(3)当$y_2=19$时,$19=\dfrac{300}{x}-5$,解得$x=\dfrac{25}{2}$;当$y_2=45$时,$45=\dfrac{300}{x}-5$,解得$x=6$,$\therefore$托盘$B$与点$C$的距离$x$(cm)的取值范围为$6≤ x≤\dfrac{25}{2}$.
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 观察$y_1$的图象特征，猜测其为反比例函数，用待定系数法设表达式，代入图象上的点求出$y_1$的函数表达式；
2. 结合容器质量为5g，可知$y_2$与$y_1$的关系为$y_2 = y_1 - 5$，进而求出$y_2$的函数表达式；
3. 观察两个函数图象的变化趋势，判断增减性和平移关系；
4. 根据$y_2$的取值范围，代入$y_2$的函数表达式，解不等式求出$x$的取值范围。
【解析】
(1) 根据$y_2$与$y_1$的关系，结合表格数据，描点连线即可得到$y_2$的函数图象。
(2) ① 观察$y_1$的图象，其为反比例函数图象，设$y_1 = \dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$，将点$(30,10)$代入得：$10 = \dfrac{k}{30}$，解得$k = 300$，因此$y_1 = \dfrac{300}{x}$，经检验其余点均满足该表达式，故$y_1$的函数表达式为$y_1 = \dfrac{300}{x}$。
② 容器质量为5g，因此$y_2 + 5 = y_1$，设$y_2 + 5 = \dfrac{m}{x}(m ≠ 0)$，代入点$(30,5)$得：$5 + 5 = \dfrac{m}{30}$，解得$m = 300$，故$y_2 + 5 = \dfrac{300}{x}$，即$y_2 = \dfrac{300}{x} - 5$，经检验其余点均满足该表达式。
③ 观察图象可知，$y_1$和$y_2$均随$x$增大而减小；$y_2$的图象可由$y_1$的图象向下平移5个单位得到。
(3) 当$y_2 = 19$时，代入$y_2 = \dfrac{300}{x} - 5$得：$19 = \dfrac{300}{x} - 5$，解得$x = \dfrac{25}{2}$；当$y_2 = 45$时，代入得：$45 = \dfrac{300}{x} - 5$，解得$x = 6$。结合函数的增减性，$y_2$随$x$增大而减小，故$x$的取值范围为$6 ≤ x ≤ \dfrac{25}{2}$。
【答案】
(1) 函数图象如图所示：
(2) ① $y_1 = \dfrac{300}{x}$；② $y_2 = \dfrac{300}{x} - 5$；③ 减小，减小，下；
(3) $6 ≤ x ≤ \dfrac{25}{2}$
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数表达式，函数图象的平移
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，需要学生能从图象和表格中提取关键信息，运用待定系数法求函数表达式，再结合函数性质解决问题，是中考常见的综合题型，注重知识的实际运用。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 观察$y_1$的图象特征，猜测其为反比例函数，用待定系数法设表达式，代入图象上的点求出$y_1$的函数表达式；
2. 结合容器质量为5g，可知$y_2$与$y_1$的关系为$y_2 = y_1 - 5$，进而求出$y_2$的函数表达式；
3. 观察两个函数图象的变化趋势，判断增减性和平移关系；
4. 根据$y_2$的取值范围，代入$y_2$的函数表达式，解不等式求出$x$的取值范围。
【解析】
(1) 根据$y_2$与$y_1$的关系，结合表格数据，描点连线即可得到$y_2$的函数图象。
(2) ① 观察$y_1$的图象，其为反比例函数图象，设$y_1 = \dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$，将点$(30,10)$代入得：$10 = \dfrac{k}{30}$，解得$k = 300$，因此$y_1 = \dfrac{300}{x}$，经检验其余点均满足该表达式，故$y_1$的函数表达式为$y_1 = \dfrac{300}{x}$。
② 容器质量为5g，因此$y_2 + 5 = y_1$，设$y_2 + 5 = \dfrac{m}{x}(m ≠ 0)$，代入点$(30,5)$得：$5 + 5 = \dfrac{m}{30}$，解得$m = 300$，故$y_2 + 5 = \dfrac{300}{x}$，即$y_2 = \dfrac{300}{x} - 5$，经检验其余点均满足该表达式。
③ 观察图象可知，$y_1$和$y_2$均随$x$增大而减小；$y_2$的图象可由$y_1$的图象向下平移5个单位得到。
(3) 当$y_2 = 19$时，代入$y_2 = \dfrac{300}{x} - 5$得：$19 = \dfrac{300}{x} - 5$，解得$x = \dfrac{25}{2}$；当$y_2 = 45$时，代入得：$45 = \dfrac{300}{x} - 5$，解得$x = 6$。结合函数的增减性，$y_2$随$x$增大而减小，故$x$的取值范围为$6 ≤ x ≤ \dfrac{25}{2}$。
【答案】
(1) 函数图象如图所示：
(2) ① $y_1 = \dfrac{300}{x}$；② $y_2 = \dfrac{300}{x} - 5$；③ 减小，减小，下；
(3) $6 ≤ x ≤ \dfrac{25}{2}$
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数表达式，函数图象的平移
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，需要学生能从图象和表格中提取关键信息，运用待定系数法求函数表达式，再结合函数性质解决问题，是中考常见的综合题型，注重知识的实际运用。
【难度系数】
0.6
8. 甲、乙、丙三人直立在相同大小的平板上,平板对水平地面的压强$y(\mathrm{Pa})$与平板面积$x(\ \mathrm{m}^2)$的关系分别如图中的$y=\dfrac{k_1}{x},y=\dfrac{k_2}{x},y=\dfrac{k_3}{x}$,则当平板面积增加量相同时,甲、乙、丙三人所站的平板对水平地面的压强变化量最大的是
丙
(填“甲”“乙”或“丙”).答案
根据反比例函数图象可得$k_3＞k_2＞k_1$.设起始平板面积为$x_0\ \mathrm{m}^2$,若平板面积增加$a\ \mathrm{m}^2$,则甲所站的平板对水平地面的压强减少了$\dfrac{k_1}{x_0}-\dfrac{k_1}{x_0+a}=k_1(\dfrac{1}{x_0}-\dfrac{1}{x_0+a})$,同理,乙、丙所站的平板对水平地面的压强分别减少了$k_2(\dfrac{1}{x_0}-\dfrac{1}{x_0+a})$和$k_3(\dfrac{1}{x_0}-\dfrac{1}{x_0+a})$.因为$k_3＞k_2＞k_1$,所以丙所站的平板对水平地面的压强变化量最大.
解析
【分析】
首先，压强公式为$ p = \frac{F}{S} $，对应本题中压强$ y $与平板面积$ x $满足反比例函数$ y = \frac{k}{x} $，其中$ k $是定值（等于人对平板的压力，即人的重力）。从图象可判断$ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1 $。接下来设平板面积增加量为$ a $，起始面积为$ x_0 $，分别计算三人的压强变化量，通过比较$ k $的大小即可确定压强变化量的最大值。
【解析】
根据压强公式，压强$ y $与平板面积$ x $的关系为$ y = \frac{k}{x} $，其中$ k $表示人对平板的压力（定值）。由反比例函数图象可知$ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1 $。
设平板面积的起始值为$ x_0 $，面积增加量为$ a $，则：
甲的压强变化量：$ \Delta y_甲 = \frac{k_1}{x_0} - \frac{k_1}{x_0+a} = k_1 · \frac{a}{x_0(x_0+a)} $
乙的压强变化量：$ \Delta y_乙 = \frac{k_2}{x_0} - \frac{k_2}{x_0+a} = k_2 · \frac{a}{x_0(x_0+a)} $
丙的压强变化量：$ \Delta y_丙 = \frac{k_3}{x_0} - \frac{k_3}{x_0+a} = k_3 · \frac{a}{x_0(x_0+a)} $
因为$ \frac{a}{x_0(x_0+a)} $为定值，且$ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1 $，所以$ \Delta y_丙 ＞ \Delta y_乙 ＞ \Delta y_甲 $，即压强变化量最大的是丙。
【答案】
丙
【知识点】
反比例函数应用、压强公式
【点评】
本题结合压强公式与反比例函数性质，考查函数图象的实际应用，关键是理解反比例函数中$ k $的物理意义，通过计算变化量比较大小，需掌握反比例函数的基本性质和压强公式的应用。
【难度系数】
0.4
首先，压强公式为$ p = \frac{F}{S} $，对应本题中压强$ y $与平板面积$ x $满足反比例函数$ y = \frac{k}{x} $，其中$ k $是定值（等于人对平板的压力，即人的重力）。从图象可判断$ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1 $。接下来设平板面积增加量为$ a $，起始面积为$ x_0 $，分别计算三人的压强变化量，通过比较$ k $的大小即可确定压强变化量的最大值。
【解析】
根据压强公式，压强$ y $与平板面积$ x $的关系为$ y = \frac{k}{x} $，其中$ k $表示人对平板的压力（定值）。由反比例函数图象可知$ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1 $。
设平板面积的起始值为$ x_0 $，面积增加量为$ a $，则：
甲的压强变化量：$ \Delta y_甲 = \frac{k_1}{x_0} - \frac{k_1}{x_0+a} = k_1 · \frac{a}{x_0(x_0+a)} $
乙的压强变化量：$ \Delta y_乙 = \frac{k_2}{x_0} - \frac{k_2}{x_0+a} = k_2 · \frac{a}{x_0(x_0+a)} $
丙的压强变化量：$ \Delta y_丙 = \frac{k_3}{x_0} - \frac{k_3}{x_0+a} = k_3 · \frac{a}{x_0(x_0+a)} $
因为$ \frac{a}{x_0(x_0+a)} $为定值，且$ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1 $，所以$ \Delta y_丙 ＞ \Delta y_乙 ＞ \Delta y_甲 $，即压强变化量最大的是丙。
【答案】
丙
【知识点】
反比例函数应用、压强公式
【点评】
本题结合压强公式与反比例函数性质，考查函数图象的实际应用，关键是理解反比例函数中$ k $的物理意义，通过计算变化量比较大小，需掌握反比例函数的基本性质和压强公式的应用。
【难度系数】
0.4
