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1. 两名同学在讨论一个一元一次不等式：
强强说：“不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向.”
国国说：“不等式的解集为 $x≤5$.”
根据上面对话提供的信息,他们讨论的不等式可能是()
A.$-2x≥-10$
B.$2x＜10$
C.$-2x＞10$
D.$-2x≤-10$
强强说：“不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向.”
国国说：“不等式的解集为 $x≤5$.”
根据上面对话提供的信息,他们讨论的不等式可能是()
A.$-2x≥-10$
B.$2x＜10$
C.$-2x＞10$
D.$-2x≤-10$
答案
A
解析
我们结合两个条件逐一验证选项：
条件1：求解过程需要改变不等号方向，说明不等式两边需同时除以负数；条件2：最终解集为x≤5。
1. 验证A选项：对-2x≥-10两边同时除以-2，不等号方向改变，计算得x≤5，两个条件均满足。
2. 验证B选项：对2x＜10两边同时除以2，不等号方向不变，解得x＜5，两个条件都不满足。
3. 验证C选项：对-2x＞10两边同时除以-2，不等号方向改变，解得x＜-5，解集不符合要求。
4. 验证D选项：对-2x≤-10两边同时除以-2，不等号方向改变，解得x≥5，解集不符合要求。
综上只有A符合条件。
条件1：求解过程需要改变不等号方向，说明不等式两边需同时除以负数；条件2：最终解集为x≤5。
1. 验证A选项：对-2x≥-10两边同时除以-2，不等号方向改变，计算得x≤5，两个条件均满足。
2. 验证B选项：对2x＜10两边同时除以2，不等号方向不变，解得x＜5，两个条件都不满足。
3. 验证C选项：对-2x＞10两边同时除以-2，不等号方向改变，解得x＜-5，解集不符合要求。
4. 验证D选项：对-2x≤-10两边同时除以-2，不等号方向改变，解得x≥5，解集不符合要求。
综上只有A符合条件。
2.不等关系在生活中广泛存在.如图,a,b分别表示两名同学的身高,c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是()
A.若$a＞b$,则$a+c＞b+c$
B.若$a＞b,b＞c$,则$a＞c$
C.若$a＞b,c＞0$,则$ac＞bc$
D.若$a＞b,c＞0$,则$\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$
A.若$a＞b$,则$a+c＞b+c$
B.若$a＞b,b＞c$,则$a＞c$
C.若$a＞b,c＞0$,则$ac＞bc$
D.若$a＞b,c＞0$,则$\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$
答案
A
解析
由图可得，两名同学原本身高满足$a＞b$，两人同时站在高度为$c$的台阶上后，总高度分别为$a+c$和$b+c$，此时仍有$a+c＞b+c$，该过程体现的是不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变的性质，对应选项A。
3. 已知点 $ P(m - 3, 2m - 4) $ 在第二象限，则 $ m $ 的取值范围是 ______。
答案
$2 ＜ m ＜ 3$
解析
根据第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，可列出关于m的一元一次不等式组：
$\begin{cases}m - 3 ＜ 0 \\2m - 4 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式$m-3＜0$，得$m＜3$；
解第二个不等式$2m-4＞0$，移项得$2m＞4$，系数化为1得$m＞2$；
取两个解集的公共部分，即可得到m的取值范围。
$\begin{cases}m - 3 ＜ 0 \\2m - 4 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式$m-3＜0$，得$m＜3$；
解第二个不等式$2m-4＞0$，移项得$2m＞4$，系数化为1得$m＞2$；
取两个解集的公共部分，即可得到m的取值范围。
4.若关于$x$的不等式$x-n≥ -1$的解集如图所示,则$n$等于.
答案
3
解析
先求解关于$x$的不等式：
对不等式$x - n \ge -1$移项，可得$x \ge n - 1$。
观察数轴可知，该不等式的解集为$x \ge 2$，因此列等式：$n - 1 = 2$，解得$n=3$。
对不等式$x - n \ge -1$移项，可得$x \ge n - 1$。
观察数轴可知，该不等式的解集为$x \ge 2$，因此列等式：$n - 1 = 2$，解得$n=3$。
5.已知关于 $ x $ 的方程 $ 3(x+m)-2(x-m)=6 $ 的解不小于 1,且 $ m $ 是一个非负整数,试确定 $ x $ 的值.
答案
$x$的值为1或6
解析
先对给定的关于$x$的方程进行化简求解：
1. 去括号：$3x + 3m - 2x + 2m = 6$
2. 合并同类项整理得：$x = 6 - 5m$
根据方程的解不小于1，列不等式：$6 - 5m ≥ 1$
解该不等式：
移项得：$-5m ≥ -5$
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ≤ 1$
已知$m$是非负整数，因此$m$的可取数值为0和1：
当$m=0$时，代入$x=6-5m$得$x=6$
当$m=1$时，代入$x=6-5m$得$x=1$
1. 去括号：$3x + 3m - 2x + 2m = 6$
2. 合并同类项整理得：$x = 6 - 5m$
根据方程的解不小于1，列不等式：$6 - 5m ≥ 1$
解该不等式：
移项得：$-5m ≥ -5$
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ≤ 1$
已知$m$是非负整数，因此$m$的可取数值为0和1：
当$m=0$时，代入$x=6-5m$得$x=6$
当$m=1$时，代入$x=6-5m$得$x=1$
6.测量一颗玻璃球的体积的过程如图所示.
(1)将 300 mL 的水倒进一个容量为 500 mL 的杯子中；
(2)将四颗相同的玻璃球放入水中,结果水没有满；
(3)再将一颗同样的玻璃球放入水中,结果水满溢出.
根据以上过程,推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围.
(1)将 300 mL 的水倒进一个容量为 500 mL 的杯子中；
(2)将四颗相同的玻璃球放入水中,结果水没有满；
(3)再将一颗同样的玻璃球放入水中,结果水满溢出.
根据以上过程,推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围.
答案
一颗玻璃球的体积$a$的取值范围是$\boldsymbol{40\ \mathrm{mL} ＜ a ＜ 50\ \mathrm{mL}}$（或$40\ \mathrm{cm}^3 ＜ a ＜ 50\ \mathrm{cm}^3$）。
解析
我们根据题意列出不等式组求解：
1. 首先计算杯子中原有300mL水后，剩余的可容纳体积为：$500 - 300 = 200\ \mathrm{mL}$
2. 由放入4颗玻璃球后水没有满，可得4颗玻璃球的总体积小于200mL，列不等式：
$4a ＜ 200$，解得$a ＜ 50$
3. 由再放入1颗同样的玻璃球（共5颗）后水满溢出，可得5颗玻璃球的总体积大于200mL，列不等式：
$5a ＞ 200$，解得$a ＞ 40$
综合两个结果，即可得到单颗玻璃球体积的取值范围。
1. 首先计算杯子中原有300mL水后，剩余的可容纳体积为：$500 - 300 = 200\ \mathrm{mL}$
2. 由放入4颗玻璃球后水没有满，可得4颗玻璃球的总体积小于200mL，列不等式：
$4a ＜ 200$，解得$a ＜ 50$
3. 由再放入1颗同样的玻璃球（共5颗）后水满溢出，可得5颗玻璃球的总体积大于200mL，列不等式：
$5a ＞ 200$，解得$a ＞ 40$
综合两个结果，即可得到单颗玻璃球体积的取值范围。
