1. 不等式$5 - 3a ≥ 2a - 6$的非负整数解有（）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

A

解不等式$5 - 3a ≥ 2a - 6$：
1. 移项，得：$-3a - 2a ≥ -6 - 5$
2. 合并同类项，得：$-5a ≥ -11$
3. 系数化为1，两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得：$a ≤ 2.2$
满足条件的非负整数解为0、1、2，共3个。

2. 设$x_1,x_2,x_3$都是小于$-1$的数，且$a_1＞a_2＞a_3＞0$.若满足$a_1(x_1+1)(x_1-2)=1$，$a_2(x_2+1)·(x_2-2)=2$，$a_3(x_3+1)(x_3-2)=3$，则必有（）

A.$x_1＞x_2＞x_3$
B.$x_1=x_2=x_3$
C.$x_1＜x_2＜x_3$
D.不能确定$x_1,x_2,x_3$的大小关系

A

1. 对三个已知等式变形，可得$(x_i+1)(x_i-2)=\frac{k_i}{a_i}$，其中$k_1=1,k_2=2,k_3=3$，记$y_i=(x_i+1)(x_i-2)$，则$y_1=\frac{1}{a_1},y_2=\frac{2}{a_2},y_3=\frac{3}{a_3}$。
2. 由$a_1＞a_2＞a_3＞0$，根据正数不等式的倒数性质，得$\frac{1}{a_1}＜\frac{1}{a_2}＜\frac{1}{a_3}$，因此$y_1=\frac{1}{a_1}＜\frac{1}{a_2}＜\frac{2}{a_2}=y_2$，同理$y_2=\frac{2}{a_2}＜\frac{2}{a_3}＜\frac{3}{a_3}=y_3$，即$y_1＜y_2＜y_3$。
3. 已知所有$x_i＜-1$，代入特殊值验证可得：x在小于-1的范围内时，x越大（越接近-1），$y=(x+1)(x-2)$的值越小，y越大对应的x越小。
4. 结合$y_1＜y_2＜y_3$，可推出$x_1＞x_2＞x_3$。

3. 在平面直角坐标系中,对于任意一点$P(x,y)$,规定:$f(x,y)=\begin{cases}|x| & (|x|≥|y|), \\ |y| & (|x|＜|y|).\end{cases}$例如$f(-4,3)=4,f(-2,-3)=3$.当$f(x,y)=2$时,所有满足该条件的点$P$围成的图形的面积为（ ）

A.4
B.8
C.$4π$
D.16

D

根据题中定义，f(x,y)=2可分两种情况推导：
1. 当|x|≥|y|时，f(x,y)=|x|=2，即x=±2，同时满足|y|≤2；
2. 当|x|＜|y|时，f(x,y)=|y|=2，即y=±2，同时满足|x|＜2。
所有满足条件的点连接后，得到顶点为(2,2)、(-2,2)、(-2,-2)、(2,-2)的正方形，该正方形边长为4，面积=4×4=16。

4.已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 5m - 5,\\x + 4y = 7m + 2\end{cases}$的解满足$x + y ＜ 3$，则$m$的取值范围是________.

$m ＜ 1$

我们可以用整体构造的方法简化计算，无需分别求解x、y：
1. 将方程组$\begin{cases}2x - y = 5m - 5\\x + 4y = 7m + 2\end{cases}$的两个方程左右两边分别相加，可得：
$3x + 3y = 12m - 3$
2. 等式两边同时除以3，整理得$x + y = 4m - 1$
3. 把$x + y = 4m - 1$代入条件$x + y ＜ 3$，得到一元一次不等式：
$4m - 1 ＜ 3$
4. 解该不等式：移项得$4m ＜ 4$，系数化为1得$m ＜ 1$。

5.【阅读感悟】已知:数 $a,b(a＜b)$ 都是关于 $x$ 的不等式 $x＞25$ 的解.
求证: $\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$ 是不等式 $x＞25$ 的解.
证明: $\because a＞25,b＞25$,
$\therefore \frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b＞\frac{25}{2}+\frac{25}{2}=25$.
$\therefore \frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$ 是不等式 $x＞25$ 的解.
【解答问题】
(1) $\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b$ 是该不等式的解吗？为什么？
(2) $ka+(1-k)b$ 是该不等式的解吗？为什么？其中 $0＜k＜1$.

(1) 是该不等式的解，理由如下：
$\because a＞25, b＞25$，
$\therefore \frac{1}{3}a ＞ \frac{25}{3}$，$\frac{2}{3}b ＞ \frac{2×25}{3}=\frac{50}{3}$，
$\therefore \frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b ＞ \frac{25}{3}+\frac{50}{3}=25$，
$\therefore \frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b$是不等式$x＞25$的解。
(2) 是该不等式的解，理由如下：
$\because 0＜k＜1$，
$\therefore 1-k＞0$，
又$\because a＞25, b＞25$，
$\therefore ka ＞ 25k$，$(1-k)b ＞ 25(1-k)$，
$\therefore ka+(1-k)b ＞ 25k + 25(1-k) = 25k +25 -25k =25$，
$\therefore ka+(1-k)b$是不等式$x＞25$的解。

(1) 利用不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，对$a＞25$、$b＞25$分别变形后相加，验证$\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b$是否大于25，即可判断结果。
(2) 先由$0＜k＜1$推出$1-k＞0$，再同样利用不等式的基本性质，对$a＞25$、$b＞25$分别变形后相加，验证$ka+(1-k)b$是否大于25，即可判断结果。