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6. 若$\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{3}$，则分式$\dfrac{a}{a-b}$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$\dfrac{3}{2}$
解析
已知$\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{3}$，可得$a=3b$，且$a≠0$，因此$b≠0$。将$a=3b$代入分式$\dfrac{a}{a-b}$中计算：
$\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{3b}{3b - b}=\dfrac{3b}{2b}$
因为$b≠0$，约去分子分母的公因式$b$，最终得到结果为$\dfrac{3}{2}$。
$\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{3b}{3b - b}=\dfrac{3b}{2b}$
因为$b≠0$，约去分子分母的公因式$b$，最终得到结果为$\dfrac{3}{2}$。
7. 在菱形ABCD中，已知$BD=8$，$AC=6$，则菱形ABCD的边长为________.
答案
5
解析
根据菱形的性质，菱形的两条对角线互相垂直且平分。设对角线AC、BD相交于点O，可得：
$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$，且$AC⊥ BD$，$△ AOB$为直角三角形。
由勾股定理计算菱形边长：$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$，且$AC⊥ BD$，$△ AOB$为直角三角形。
由勾股定理计算菱形边长：$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
8. 使$\sqrt{5x+2}$有意义的$x$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$。
D C
D C
答案
$x ≥ -\frac{2}{5}$
解析
要使二次根式$\sqrt{5x+2}$有意义，需满足被开方数为非负数，即$5x+2 ≥ 0$，解该不等式：移项得$5x ≥ -2$，两边同时除以5，可得$x ≥ -\frac{2}{5}$。
9. 如图,四边形 ABCD 是正方形,以 BC 为边在正方形内部作等边$△ PBC$,连接 PA,则$∠PAD=$°.
答案
15
解析
本题结合正方形和等边三角形的性质逐步推导角度：
1. 由四边形ABCD是正方形，可得：$AB=BC$，$∠ ABC=∠ BAD=90°$。
2. 由等边$△ PBC$的性质，可得：$BP=BC$，$∠ PBC=60°$。
3. 联立上述结论得$AB=BP$，$∠ ABP=∠ ABC-∠ PBC=90°-60°=30°$，即$△ ABP$是顶角为$30°$的等腰三角形。
4. 计算等腰$△ ABP$的底角：$∠ BAP=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
5. 最终可得$∠ PAD=∠ BAD-∠ BAP=90°-75°=15°$。
1. 由四边形ABCD是正方形，可得：$AB=BC$，$∠ ABC=∠ BAD=90°$。
2. 由等边$△ PBC$的性质，可得：$BP=BC$，$∠ PBC=60°$。
3. 联立上述结论得$AB=BP$，$∠ ABP=∠ ABC-∠ PBC=90°-60°=30°$，即$△ ABP$是顶角为$30°$的等腰三角形。
4. 计算等腰$△ ABP$的底角：$∠ BAP=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
5. 最终可得$∠ PAD=∠ BAD-∠ BAP=90°-75°=15°$。
10. 若$y^2=4y-\sqrt{x-3}-4$，则$x+2y$的值是________.
答案
7
解析
先对已知等式移项变形：
将$y^2=4y-\sqrt{x-3}-4$移项得：$y^2 -4y +4 +\sqrt{x-3}=0$，
利用完全平方公式因式分解得：$(y-2)^2 + \sqrt{x-3}=0$。
根据非负数的性质：实数的平方、算术平方根均为非负数，两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，
因此可得：$y-2=0$，$x-3=0$，
解得$y=2$，$x=3$，
代入$x+2y$计算：$x+2y=3 + 2×2=7$。
将$y^2=4y-\sqrt{x-3}-4$移项得：$y^2 -4y +4 +\sqrt{x-3}=0$，
利用完全平方公式因式分解得：$(y-2)^2 + \sqrt{x-3}=0$。
根据非负数的性质：实数的平方、算术平方根均为非负数，两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，
因此可得：$y-2=0$，$x-3=0$，
解得$y=2$，$x=3$，
代入$x+2y$计算：$x+2y=3 + 2×2=7$。
三、解答题
11. 计算：
$2026^{0} - \sqrt{18} + \sqrt{4} - 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
11. 计算：
$2026^{0} - \sqrt{18} + \sqrt{4} - 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
答案
$3-4\sqrt{2}$
解析
我们按照实数的运算法则逐步计算：
1. 根据零指数幂的性质：任意非零实数的0次幂等于1，可得$2026^0=1$；
2. 化简各二次根式：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{4}=2$，$2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$；
3. 将化简后的结果代入原式：
原式$=1 - 3\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}$
4. 合并常数项和同类二次根式：常数项相加得$1+2=3$，含$\sqrt{2}$的项合并得$-3\sqrt{2}-\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$，即可得到最终结果。
1. 根据零指数幂的性质：任意非零实数的0次幂等于1，可得$2026^0=1$；
2. 化简各二次根式：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{4}=2$，$2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$；
3. 将化简后的结果代入原式：
原式$=1 - 3\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}$
4. 合并常数项和同类二次根式：常数项相加得$1+2=3$，含$\sqrt{2}$的项合并得$-3\sqrt{2}-\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$，即可得到最终结果。
12. 先化简,再求值:$(\dfrac{x^2 + 4}{x} - 4) ÷ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}$,其中$x = -1$.
答案
-3
解析
1. 先对括号内的式子通分计算：
$\dfrac{x^2+4}{x} -4 = \dfrac{x^2+4 - 4x}{x} = \dfrac{(x-2)^2}{x}$
2. 对除式的分子分母分别因式分解：
$\dfrac{x^2-4}{x^2+2x} = \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}$
3. 根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{(x-2)^2}{x} · \dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
4. 约去分子分母的公因式$x$、$(x+2)$、$(x-2)$，化简得：原式$=x-2$
5. 将$x=-1$代入化简后的式子，计算得：$x-2 = -1 -2 = -3$，且$x=-1$满足原分式所有分母不为0的要求，取值合法。
$\dfrac{x^2+4}{x} -4 = \dfrac{x^2+4 - 4x}{x} = \dfrac{(x-2)^2}{x}$
2. 对除式的分子分母分别因式分解：
$\dfrac{x^2-4}{x^2+2x} = \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}$
3. 根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{(x-2)^2}{x} · \dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
4. 约去分子分母的公因式$x$、$(x+2)$、$(x-2)$，化简得：原式$=x-2$
5. 将$x=-1$代入化简后的式子，计算得：$x-2 = -1 -2 = -3$，且$x=-1$满足原分式所有分母不为0的要求，取值合法。
