13. 如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作$EF⊥BD$,分别交BC,AD于点E,F.
(1) 求证:四边形BEDF是菱形.
(2) 若$AD=2AB=8$,求DF的长.

(1) 四边形BEDF是菱形得证；(2) DF的长为$\boldsymbol{5}$。

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，可得$∠ FDO = ∠ EBO$，
∵ O是BD的中点，
∴ $OD = OB$，
在$△ FOD$和$△ EOB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ FDO = ∠ EBO \\OD = OB \\∠ FOD = ∠ EOB\end{array} $
∴ $△ FOD ≌ △ EOB$（ASA），
∴ $OF = OE$，
又∵ $OD = OB$，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∵ $EF⊥ BD$，
∴ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即四边形BEDF是菱形。
(2) 解：
由$AD=2AB=8$，得$AB=4$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = 90°$，
∵ 四边形BEDF是菱形，
∴ $DF = BF$，
设$DF = x$，则$BF = x$，$AF = AD - DF = 8 - x$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2 + AF^2 = BF^2$，
代入数值：$4^2 + (8-x)^2 = x^2$，
化简得：$16 + 64 -16x +x^2 = x^2$，
解得$x=5$。

14. (1) 如图1,在$△ ABC$中,点$D,E$分别是边$AC,BC$的中点,则$DE$和$AB$的关系为________.
(2) 如图2,在四边形$ABCD$中,点$E,H,G$分别是$AB,BD,CD$的中点,$BC,AD$的延长线交于点$F$,若$∠ F=55°$,求$∠ GHE$的度数.
(3) 如图3,在四边形$ABCD$中,$AC$与$BD$相交于点$O$,点$E,F$分别为$AD,BC$的中点,$EF$分别交$BD,AC$于点$H,G$,且$HO=GO$.求证:$BD=AC$.

(1) $\boldsymbol{DE// AB}$，且$\boldsymbol{DE=\dfrac{1}{2}AB}$
(2) $\boldsymbol{∠ GHE=55°}$
(3) 证明成立，$BD=AC$得证。

(1) 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半，可直接得到DE与AB的关系。
(2) 解：∵点E、H分别是AB、BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH//AD，即EH//AF。
∵点H、G分别是BD、CD的中点，
∴HG是△BCD的中位线，
∴HG//BC，即HG//BF。
由平行线的性质可得：∠EHB=∠FAB，∠GHD=∠FBA。
在△FAB中，∠F + ∠FAB + ∠FBA = 180°，
在点H处，∠EHB + ∠GHD + ∠GHE = 180°，
代入得∠GHE=∠F=55°。
(3) 证明：取AB的中点M，连接EM、FM。
∵点E是AD的中点，M是AB的中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴EM//BD，$EM=\frac{1}{2}BD$，
∴∠MEF=∠OHG。
∵点F是BC的中点，M是AB的中点，
∴FM是△ABC的中位线，
∴FM//AC，$FM=\frac{1}{2}AC$，
∴∠MFE=∠OGH。
又∵HO=GO，
∴△HOG是等腰三角形，∠OHG=∠OGH，
∴∠MEF=∠MFE，
∴EM=FM，
∴$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC$，即BD=AC。