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1 百衲衣由很多长方形布片拼缀制成，旧时常用此祈求孩子健康长寿。
(1)用长4 cm、宽3 cm的长方形布片缝制正方形百衲布(布片不裁剪)，那么这块百衲布的边长可以是(
正方形百衲布的边长必须既是4的(
(2)手工社团打算分组制作百衲衣，他们平均分成6人一组或8人一组都能正好分完，这个社团的学生可能有(
(1)用长4 cm、宽3 cm的长方形布片缝制正方形百衲布(布片不裁剪)，那么这块百衲布的边长可以是(
12
)cm,(24
)cm……边长最短是(12
)cm。正方形百衲布的边长必须既是4的(
倍数
)，又是3的(倍数
)。可以在下图中照样子标一标，找一找。(2)手工社团打算分组制作百衲衣，他们平均分成6人一组或8人一组都能正好分完，这个社团的学生可能有(
24
)人,(48
)人,(72
)人……若手工社团的人数在40和50之间，那么可以确定这个社团有(48
)人。答案
1. (1)12 24 12 倍数 倍数
(画线部分答案不唯一)
解析 解题关键是将本题转化为求公倍数的问题。正方形百衲布的边长:4和3的公倍数。正方形百衲布最短的边长:4和3的最小公倍数。
(2)24 48 72 48 (画线部分答案不唯一)
解析 因为平均分成6人一组或8人一组都能正好分完，所以这个社团的人数是6和8的公倍数。如果这个社团的人数在40和50之间，那么可以确定这个社团有48人。
解析
【分析】
(1) 用长4cm、宽3cm的长方形拼正方形且不裁剪，意味着正方形的边长要能被长方形的长4cm整除，也能被宽3cm整除，所以边长必须是4和3的公倍数，其中最小的边长就是它们的最小公倍数。我们可以先找出4和3的公倍数，再确定符合要求的边长。
(2) 社团平均分成6人一组或8人一组都能正好分完，说明社团人数是6和8的公倍数。先求出6和8的最小公倍数，再找出其倍数，最后筛选出在40到50之间的数即可。
【解析】
(1) 因为正方形的边长要能摆满若干个长方形的长和宽，所以边长必须是4的倍数，也是3的倍数。4和3是互质数，它们的最小公倍数是$4×3=12$，公倍数有12、24、36……所以正方形百衲布的边长可以是12cm、24cm……边长最短是12cm。
(2) 先求6和8的最小公倍数：分解质因数，$6=2×3$，$8=2×2×2$，所以最小公倍数为$2×2×2×3=24$。6和8的公倍数有24、48、72……其中在40和50之间的是48，所以社团人数可能是24人、48人、72人……在40-50之间的是48人。
【答案】
(1) 12；24；12；倍数；倍数
(2) 24；48；72；48（画线部分答案不唯一）
【知识点】
公倍数；最小公倍数；公倍数的实际应用
【点评】
本题将生活中的实际问题转化为求公倍数和最小公倍数的数学问题，考查学生对公倍数、最小公倍数概念的理解，以及运用相关知识解决实际问题的能力，帮助学生建立数学与生活的联系。
【难度系数】
0.7
(1) 用长4cm、宽3cm的长方形拼正方形且不裁剪，意味着正方形的边长要能被长方形的长4cm整除，也能被宽3cm整除，所以边长必须是4和3的公倍数，其中最小的边长就是它们的最小公倍数。我们可以先找出4和3的公倍数，再确定符合要求的边长。
(2) 社团平均分成6人一组或8人一组都能正好分完，说明社团人数是6和8的公倍数。先求出6和8的最小公倍数，再找出其倍数，最后筛选出在40到50之间的数即可。
【解析】
(1) 因为正方形的边长要能摆满若干个长方形的长和宽，所以边长必须是4的倍数，也是3的倍数。4和3是互质数，它们的最小公倍数是$4×3=12$，公倍数有12、24、36……所以正方形百衲布的边长可以是12cm、24cm……边长最短是12cm。
(2) 先求6和8的最小公倍数：分解质因数，$6=2×3$，$8=2×2×2$，所以最小公倍数为$2×2×2×3=24$。6和8的公倍数有24、48、72……其中在40和50之间的是48，所以社团人数可能是24人、48人、72人……在40-50之间的是48人。
【答案】
(1) 12；24；12；倍数；倍数
(2) 24；48；72；48（画线部分答案不唯一）
【知识点】
公倍数；最小公倍数；公倍数的实际应用
【点评】
本题将生活中的实际问题转化为求公倍数和最小公倍数的数学问题，考查学生对公倍数、最小公倍数概念的理解，以及运用相关知识解决实际问题的能力，帮助学生建立数学与生活的联系。
【难度系数】
0.7
2 小锦和小林都是酷爱读书的孩子，他们经常到图书馆借阅书籍。小锦每3天去一次，小林每7天去一次，4月8日他们都去了图书馆，下一次两人同时去图书馆应该是4月几日？
答案
2. 3和7的最小公倍数是21。
4月8日经过21天是4月29日。
答:下一次两人同时去图书馆应该是4月29日。
解析 下一次小锦和小林同时去图书馆所经过的天数是3和7的最小公倍数21。4月8日再过21天，就是4月29日。
4月8日经过21天是4月29日。
答:下一次两人同时去图书馆应该是4月29日。
解析 下一次小锦和小林同时去图书馆所经过的天数是3和7的最小公倍数21。4月8日再过21天，就是4月29日。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确：小锦每3天去一次图书馆，小林每7天去一次，两人下一次同时去图书馆的天数，一定是3和7的公倍数，而“下一次”对应的就是最小公倍数。先求出3和7的最小公倍数，再从4月8日开始往后推算这个天数，就能得到两人同时去图书馆的日期。
【解析】
1. 求3和7的最小公倍数：
因为3和7是互质数（除了1以外没有其他公因数），所以它们的最小公倍数是两数的乘积，即 $3×7=21$。
2. 推算日期：
从4月8日开始经过21天，计算日期：$8+21=29$，4月有30天，29≤30，所以对应的日期是4月29日。
【答案】
4月29日
【知识点】
最小公倍数应用、日期推算
【点评】
本题考查了最小公倍数在实际生活中的应用，结合日期推算，需要理解“同时去图书馆的间隔天数是两人去馆周期的最小公倍数”这一核心逻辑，同时要注意4月的天数限制，避免日期推算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确：小锦每3天去一次图书馆，小林每7天去一次，两人下一次同时去图书馆的天数，一定是3和7的公倍数，而“下一次”对应的就是最小公倍数。先求出3和7的最小公倍数，再从4月8日开始往后推算这个天数，就能得到两人同时去图书馆的日期。
【解析】
1. 求3和7的最小公倍数：
因为3和7是互质数（除了1以外没有其他公因数），所以它们的最小公倍数是两数的乘积，即 $3×7=21$。
2. 推算日期：
从4月8日开始经过21天，计算日期：$8+21=29$，4月有30天，29≤30，所以对应的日期是4月29日。
【答案】
4月29日
【知识点】
最小公倍数应用、日期推算
【点评】
本题考查了最小公倍数在实际生活中的应用，结合日期推算，需要理解“同时去图书馆的间隔天数是两人去馆周期的最小公倍数”这一核心逻辑，同时要注意4月的天数限制，避免日期推算错误。
【难度系数】
0.8
3 在社团活动课上，欣欣和明明正在用他们制作的机器人比赛跳远呢！欣欣的机器人每次能跳12 dm，明明的机器人每次能跳18 dm。他们把机器人设置成每秒跳1次，同时从起点开始跳。两个机器人都能跳到的、距离起点最近的位置是多少分米处？跳到这里时，两个机器人各跳了几次？
答案
3. 12和18的最小公倍数是36。
36÷12 = 3(次) 36÷18 = 2(次)
答:两个机器人都能跳到的、距离起点最近的位置是36 dm处。跳到这里时，欣欣的机器人跳了3次，明明的机器人跳了2次。
解析 要求两个机器人都能跳到的、距离起点最近的位置，就相当于求12和18的最小公倍数。再用求得的最小公倍数除以两个机器人每次跳的距离就是跳的次数。
36÷12 = 3(次) 36÷18 = 2(次)
答:两个机器人都能跳到的、距离起点最近的位置是36 dm处。跳到这里时，欣欣的机器人跳了3次，明明的机器人跳了2次。
解析 要求两个机器人都能跳到的、距离起点最近的位置，就相当于求12和18的最小公倍数。再用求得的最小公倍数除以两个机器人每次跳的距离就是跳的次数。
解析
【分析】
首先明确问题核心：两个机器人都能跳到的距离起点最近的位置，就是12和18的最小公倍数，因为该位置的距离需要同时是两个机器人每次跳远距离的倍数，最近的即为最小的那个公倍数。接下来的思路是：先求出12和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数分别除以两个机器人每次跳的距离，就能得到各自跳的次数。
【解析】
1. 求12和18的最小公倍数：
通过分解质因数可得，$12=2×2×3$，$18=2×3×3$，因此它们的最小公倍数为$2×3×2×3=36$。
2. 计算欣欣的机器人跳的次数：
$36÷12=3(次)$
3. 计算明明的机器人跳的次数：
$36÷18=2(次)$
【答案】
两个机器人都能跳到的、距离起点最近的位置是36 dm处。跳到这里时，欣欣的机器人跳了3次，明明的机器人跳了2次。
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题结合机器人跳远的实际场景，考查了对最小公倍数概念的理解与应用，需要学生将实际问题转化为数学问题，掌握求两个数最小公倍数的方法，同时能运用除法运算解决次数计算问题。
【难度系数】
0.8
首先明确问题核心：两个机器人都能跳到的距离起点最近的位置，就是12和18的最小公倍数，因为该位置的距离需要同时是两个机器人每次跳远距离的倍数，最近的即为最小的那个公倍数。接下来的思路是：先求出12和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数分别除以两个机器人每次跳的距离，就能得到各自跳的次数。
【解析】
1. 求12和18的最小公倍数：
通过分解质因数可得，$12=2×2×3$，$18=2×3×3$，因此它们的最小公倍数为$2×3×2×3=36$。
2. 计算欣欣的机器人跳的次数：
$36÷12=3(次)$
3. 计算明明的机器人跳的次数：
$36÷18=2(次)$
【答案】
两个机器人都能跳到的、距离起点最近的位置是36 dm处。跳到这里时，欣欣的机器人跳了3次，明明的机器人跳了2次。
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题结合机器人跳远的实际场景，考查了对最小公倍数概念的理解与应用，需要学生将实际问题转化为数学问题，掌握求两个数最小公倍数的方法，同时能运用除法运算解决次数计算问题。
【难度系数】
0.8
4 小欣准备了一些黄玫瑰和一些红玫瑰。黄玫瑰无论是平均包成2束、4束还是5束，都剩1枝；红玫瑰无论是平均包成2束、4束还是5束，都少1枝，小欣准备的黄玫瑰和红玫瑰至少各有多少枝？
答案
4. 方法一:2、4、5的最小公倍数是20。
20 + 1 = 21(枝) 20 - 1 = 19(枝)
方法二:比4的倍数多1的数一定比2的倍数多1。
比5的倍数多1的数有6,11,16,21,26,…。
这些数中比4的倍数多1的有21,…。
同理，比5的倍数少1的数有4,9,14,19,24,…。这些数中比4的倍数少1的有19,…。
答:小欣准备的黄玫瑰至少有21枝，红玫瑰至少有19枝。
解析 本题考查了同余和缺同两种情况。
方法一 “黄玫瑰无论是平均包成2束、4束还是5束，都剩1枝”说明黄玫瑰的总枝数比2、4、5的公倍数多1。
先找出2、4、5的最小公倍数，再加1就是黄玫瑰的最少枝数(20 + 1 = 21)。
同理可求红玫瑰的最少枝数，少1枝就用最小公倍数减1(20 - 1 = 19)。
方法二 如求黄玫瑰的最少枝数，将除以5余1的自然数列举出来，再从中选出满足其他两个要求的数。
20 + 1 = 21(枝) 20 - 1 = 19(枝)
方法二:比4的倍数多1的数一定比2的倍数多1。
比5的倍数多1的数有6,11,16,21,26,…。
这些数中比4的倍数多1的有21,…。
同理，比5的倍数少1的数有4,9,14,19,24,…。这些数中比4的倍数少1的有19,…。
答:小欣准备的黄玫瑰至少有21枝，红玫瑰至少有19枝。
解析 本题考查了同余和缺同两种情况。
方法一 “黄玫瑰无论是平均包成2束、4束还是5束，都剩1枝”说明黄玫瑰的总枝数比2、4、5的公倍数多1。
先找出2、4、5的最小公倍数，再加1就是黄玫瑰的最少枝数(20 + 1 = 21)。
同理可求红玫瑰的最少枝数，少1枝就用最小公倍数减1(20 - 1 = 19)。
方法二 如求黄玫瑰的最少枝数，将除以5余1的自然数列举出来，再从中选出满足其他两个要求的数。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从题目给出的余数条件入手思考：
1. 对于黄玫瑰：平均包成2束、4束、5束都剩1枝，说明黄玫瑰的枝数减去1之后，正好是2、4、5的公倍数。要求最少的枝数，就需要先找到这三个数的最小公倍数，再加上1。
2. 对于红玫瑰：平均包成2束、4束、5束都少1枝，意思是红玫瑰的枝数加上1之后，正好是2、4、5的公倍数。同样找最小公倍数，再减去1就是最少的枝数。
另外，也可以用列举法：先列举出满足其中一个条件的数，再从中筛选出同时满足另外两个条件的最小数，适合基础薄弱的同学理解验证。
【解析】
方法一：利用最小公倍数求解
1. 求2、4、5的最小公倍数：
4是2的倍数，因此只需计算4和5的最小公倍数，4和5互质，最小公倍数为$4×5=20$，即2、4、5的最小公倍数是20。
2. 计算黄玫瑰最少枝数：
黄玫瑰的枝数比2、4、5的公倍数多1，最少枝数为$20+1=21$（枝）。
3. 计算红玫瑰最少枝数：
红玫瑰的枝数比2、4、5的公倍数少1，最少枝数为$20-1=19$（枝）。
方法二：列举法验证
1. 求黄玫瑰最少枝数：
列举比5的倍数多1的数：6、11、16、21、26……
从这些数中筛选出比4的倍数多1的数（比4的倍数多1的数必然满足比2的倍数多1），符合条件的最小数是21。
2. 求红玫瑰最少枝数：
列举比5的倍数少1的数：4、9、14、19、24……
从这些数中筛选出比4的倍数少1的数，符合条件的最小数是19。
答：小欣准备的黄玫瑰至少有21枝，红玫瑰至少有19枝。
【答案】
黄玫瑰至少21枝，红玫瑰至少19枝。
【知识点】
最小公倍数应用、同余与缺同问题
【点评】
本题考查了公倍数在实际问题中的应用，核心是理解“剩1枝”“少1枝”对应的数量关系：剩1枝即总数=公倍数+1，少1枝即总数=公倍数-1。两种解题方法各有优势，最小公倍数法高效快捷，列举法直观易懂，适合不同基础的学生理解掌握。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以从题目给出的余数条件入手思考：
1. 对于黄玫瑰：平均包成2束、4束、5束都剩1枝，说明黄玫瑰的枝数减去1之后，正好是2、4、5的公倍数。要求最少的枝数，就需要先找到这三个数的最小公倍数，再加上1。
2. 对于红玫瑰：平均包成2束、4束、5束都少1枝，意思是红玫瑰的枝数加上1之后，正好是2、4、5的公倍数。同样找最小公倍数，再减去1就是最少的枝数。
另外，也可以用列举法：先列举出满足其中一个条件的数，再从中筛选出同时满足另外两个条件的最小数，适合基础薄弱的同学理解验证。
【解析】
方法一：利用最小公倍数求解
1. 求2、4、5的最小公倍数：
4是2的倍数，因此只需计算4和5的最小公倍数，4和5互质，最小公倍数为$4×5=20$，即2、4、5的最小公倍数是20。
2. 计算黄玫瑰最少枝数：
黄玫瑰的枝数比2、4、5的公倍数多1，最少枝数为$20+1=21$（枝）。
3. 计算红玫瑰最少枝数：
红玫瑰的枝数比2、4、5的公倍数少1，最少枝数为$20-1=19$（枝）。
方法二：列举法验证
1. 求黄玫瑰最少枝数：
列举比5的倍数多1的数：6、11、16、21、26……
从这些数中筛选出比4的倍数多1的数（比4的倍数多1的数必然满足比2的倍数多1），符合条件的最小数是21。
2. 求红玫瑰最少枝数：
列举比5的倍数少1的数：4、9、14、19、24……
从这些数中筛选出比4的倍数少1的数，符合条件的最小数是19。
答：小欣准备的黄玫瑰至少有21枝，红玫瑰至少有19枝。
【答案】
黄玫瑰至少21枝，红玫瑰至少19枝。
【知识点】
最小公倍数应用、同余与缺同问题
【点评】
本题考查了公倍数在实际问题中的应用，核心是理解“剩1枝”“少1枝”对应的数量关系：剩1枝即总数=公倍数+1，少1枝即总数=公倍数-1。两种解题方法各有优势，最小公倍数法高效快捷，列举法直观易懂，适合不同基础的学生理解掌握。
【难度系数】
0.6
