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1 涂一涂,填一填,用“数形结合”的方法来比较下面每组分数的大小。
我发现:当分母相同时,分子越大,分数越();当分子相同时,分母越大,分数越()。
我发现:当分母相同时,分子越大,分数越();当分子相同时,分母越大,分数越()。
答案
1.
$\frac{3}{4}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{5}{8}$
3个$\frac{1}{4}$＞1个$\frac{1}{4}$ 1个$\frac{1}{3}$＞1个$\frac{1}{4}$ 5个$\frac{1}{6}$＞5个$\frac{1}{8}$
大 小
(涂法不唯一)
解析通过“数形结合”的方法，可感知到:
●分母相同，说明平均分的份数相同。每份的大小相同，分子越大，说明取的份数越多，分数就越大。
●分子相同，说明取的份数相同。分母越大，说明平均分的份数就越多，每份就越小，分数就越小。
解析
【分析】
解题思路：首先通过观察图形，理解每个分数的意义：分数的分母表示把图形平均分的份数，分子表示取的份数。对于分母相同的分数，比较分子，分子越大取的份数越多，分数越大；对于分子相同的分数，比较分母，分母越大平均分的份数越多，每份越小，分数越小。我们可以先数出每个分数包含几个分数单位，再通过比较分数单位的数量或大小来判断分数的大小，最后总结规律。
【解析】
1. 第一组：两个三角形都被平均分成4份，$\frac{3}{4}$表示取其中3份，也就是3个$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4}$表示取其中1份，也就是1个$\frac{1}{4}$。因为3＞1，所以3个$\frac{1}{4}$＞1个$\frac{1}{4}$，即$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{4}$。
2. 第二组：第一个圆被平均分成3份，$\frac{1}{3}$表示取其中1份，也就是1个$\frac{1}{3}$；第二个圆被平均分成4份，$\frac{1}{4}$表示取其中1份，也就是1个$\frac{1}{4}$。因为平均分的份数越少，每份越大，所以$\frac{1}{3}$＞$\frac{1}{4}$，即1个$\frac{1}{3}$＞1个$\frac{1}{4}$。
3. 第三组：第一个长方形被平均分成6份，$\frac{5}{6}$表示取其中5份，也就是5个$\frac{1}{6}$；第二个长方形被平均分成8份，$\frac{5}{8}$表示取其中5份，也就是5个$\frac{1}{8}$。因为$\frac{1}{6}$＞$\frac{1}{8}$，所以5个$\frac{1}{6}$＞5个$\frac{1}{8}$，即$\frac{5}{6}$＞$\frac{5}{8}$。
4. 总结规律：当分母相同时，分子越大，分数越大；当分子相同时，分母越大，分数越小。
【答案】
$\frac{3}{4}$ ＞ $\frac{1}{4}$；$\frac{1}{3}$ ＞ $\frac{1}{4}$；$\frac{5}{6}$ ＞ $\frac{5}{8}$
3个$\frac{1}{4}$＞1个$\frac{1}{4}$；1个$\frac{1}{3}$＞1个$\frac{1}{4}$；5个$\frac{1}{6}$＞5个$\frac{1}{8}$
大 小
(涂法不唯一)
【知识点】
分数大小比较、分数的意义
【点评】
本题借助“数形结合”的直观方式，帮助理解分数的意义以及分数大小比较的规律，通过观察图形中分数单位的数量和大小，能更清晰地掌握同分母、同分子分数比较大小的方法，为后续分数的学习奠定基础。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先通过观察图形，理解每个分数的意义：分数的分母表示把图形平均分的份数，分子表示取的份数。对于分母相同的分数，比较分子，分子越大取的份数越多，分数越大；对于分子相同的分数，比较分母，分母越大平均分的份数越多，每份越小，分数越小。我们可以先数出每个分数包含几个分数单位，再通过比较分数单位的数量或大小来判断分数的大小，最后总结规律。
【解析】
1. 第一组：两个三角形都被平均分成4份，$\frac{3}{4}$表示取其中3份，也就是3个$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4}$表示取其中1份，也就是1个$\frac{1}{4}$。因为3＞1，所以3个$\frac{1}{4}$＞1个$\frac{1}{4}$，即$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{4}$。
2. 第二组：第一个圆被平均分成3份，$\frac{1}{3}$表示取其中1份，也就是1个$\frac{1}{3}$；第二个圆被平均分成4份，$\frac{1}{4}$表示取其中1份，也就是1个$\frac{1}{4}$。因为平均分的份数越少，每份越大，所以$\frac{1}{3}$＞$\frac{1}{4}$，即1个$\frac{1}{3}$＞1个$\frac{1}{4}$。
3. 第三组：第一个长方形被平均分成6份，$\frac{5}{6}$表示取其中5份，也就是5个$\frac{1}{6}$；第二个长方形被平均分成8份，$\frac{5}{8}$表示取其中5份，也就是5个$\frac{1}{8}$。因为$\frac{1}{6}$＞$\frac{1}{8}$，所以5个$\frac{1}{6}$＞5个$\frac{1}{8}$，即$\frac{5}{6}$＞$\frac{5}{8}$。
4. 总结规律：当分母相同时，分子越大，分数越大；当分子相同时，分母越大，分数越小。
【答案】
$\frac{3}{4}$ ＞ $\frac{1}{4}$；$\frac{1}{3}$ ＞ $\frac{1}{4}$；$\frac{5}{6}$ ＞ $\frac{5}{8}$
3个$\frac{1}{4}$＞1个$\frac{1}{4}$；1个$\frac{1}{3}$＞1个$\frac{1}{4}$；5个$\frac{1}{6}$＞5个$\frac{1}{8}$
大 小
(涂法不唯一)
【知识点】
分数大小比较、分数的意义
【点评】
本题借助“数形结合”的直观方式，帮助理解分数的意义以及分数大小比较的规律，通过观察图形中分数单位的数量和大小，能更清晰地掌握同分母、同分子分数比较大小的方法，为后续分数的学习奠定基础。
【难度系数】
0.8
2先把下面每组中的两个分数通分,再比较两个分数的大小。
(1)$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$和$\boldsymbol{\frac{4}{5}}$
$\boldsymbol{\frac{3}{4}=\frac{3◯(\quad\quad)}{4◯(\quad\quad)}=\frac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}}$
$\boldsymbol{\frac{4}{5}=\frac{4◯(\quad\quad)}{5◯(\quad\quad)}=\frac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}}$
$\boldsymbol{\frac{3}{4}◯\frac{4}{5}}$
(2)$\boldsymbol{\frac{7}{15}}$和$\boldsymbol{\frac{11}{25}}$
$\boldsymbol{\frac{7}{15}=\frac{7◯(\quad\quad)}{15◯(\quad\quad)}=\frac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}}$
$\boldsymbol{\frac{11}{25}=\frac{11◯(\quad\quad)}{25◯(\quad\quad)}=\frac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}}$
$\boldsymbol{\frac{7}{15}◯\frac{11}{25}}$
(1)$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$和$\boldsymbol{\frac{4}{5}}$
$\boldsymbol{\frac{3}{4}=\frac{3◯(\quad\quad)}{4◯(\quad\quad)}=\frac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}}$
$\boldsymbol{\frac{4}{5}=\frac{4◯(\quad\quad)}{5◯(\quad\quad)}=\frac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}}$
$\boldsymbol{\frac{3}{4}◯\frac{4}{5}}$
(2)$\boldsymbol{\frac{7}{15}}$和$\boldsymbol{\frac{11}{25}}$
$\boldsymbol{\frac{7}{15}=\frac{7◯(\quad\quad)}{15◯(\quad\quad)}=\frac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}}$
$\boldsymbol{\frac{11}{25}=\frac{11◯(\quad\quad)}{25◯(\quad\quad)}=\frac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}}$
$\boldsymbol{\frac{7}{15}◯\frac{11}{25}}$
答案
2. (1)$\frac{3}{4}=\frac{3×(5)}{4×(5)}=\frac{(15)}{(20)}$ $\frac{4}{5}=\frac{4×(4)}{5×(4)}=\frac{(16)}{(20)}$ ＜
(2)$\frac{7}{15}=\frac{7×(5)}{15×(5)}=\frac{(35)}{(75)}$ $\frac{11}{25}=\frac{11×(3)}{25×(3)}=\frac{(33)}{(75)}$＞(通分过程不唯一)
解析根据分数的基本性质，将各题的分数化成和原来相等的同分母分数，就能直接比较出分数的大小。
(2)$\frac{7}{15}=\frac{7×(5)}{15×(5)}=\frac{(35)}{(75)}$ $\frac{11}{25}=\frac{11×(3)}{25×(3)}=\frac{(33)}{(75)}$＞(通分过程不唯一)
解析根据分数的基本性质，将各题的分数化成和原来相等的同分母分数，就能直接比较出分数的大小。
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要遵循通分和分数大小比较的核心逻辑：
1. 通分的依据是分数的基本性质，先找到两个分母的最小公倍数作为公分母，将异分母分数转化为大小不变的同分母分数；
2. 同分母分数比较大小时，分子越大，对应的分数值就越大。
针对第(1)题：
4和5是互质数，它们的最小公倍数是20，所以给$\frac{3}{4}$的分子分母同时乘5，给$\frac{4}{5}$的分子分母同时乘4，转化为同分母分数后比较分子大小；
针对第(2)题：
15和25的最小公倍数是75，给$\frac{7}{15}$的分子分母同时乘5，给$\frac{11}{25}$的分子分母同时乘3，得到同分母分数后通过分子大小判断分数的大小关系。
【解析】
(1) 根据分数的基本性质进行通分：
$\frac{3}{4}=\frac{3×5}{4×5}=\frac{15}{20}$
$\frac{4}{5}=\frac{4×4}{5×4}=\frac{16}{20}$
因为同分母分数中分子15＜16，所以$\frac{3}{4}＜\frac{4}{5}$。
(2) 根据分数的基本性质进行通分：
$\frac{7}{15}=\frac{7×5}{15×5}=\frac{35}{75}$
$\frac{11}{25}=\frac{11×3}{25×3}=\frac{33}{75}$
因为同分母分数中分子35＞33，所以$\frac{7}{15}＞\frac{11}{25}$。
【答案】
(1)$\frac{3}{4}=\frac{3×(5)}{4×(5)}=\frac{(15)}{(20)}$ $\frac{4}{5}=\frac{4×(4)}{5×(4)}=\frac{(16)}{(20)}$ ＜
(2)$\frac{7}{15}=\frac{7×(5)}{15×(5)}=\frac{(35)}{(75)}$ $\frac{11}{25}=\frac{11×(3)}{25×(3)}=\frac{(33)}{(75)}$＞(通分过程不唯一)
【知识点】
分数的基本性质、通分、分数大小比较
【点评】
本题重点考查异分母分数大小比较的方法，核心是运用分数的基本性质完成通分，将异分母分数转化为同分母分数后，通过比较分子大小即可快速判断分数的大小，通分过程只要保证分数大小不变即可，不唯一。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要遵循通分和分数大小比较的核心逻辑：
1. 通分的依据是分数的基本性质，先找到两个分母的最小公倍数作为公分母，将异分母分数转化为大小不变的同分母分数；
2. 同分母分数比较大小时，分子越大，对应的分数值就越大。
针对第(1)题：
4和5是互质数，它们的最小公倍数是20，所以给$\frac{3}{4}$的分子分母同时乘5，给$\frac{4}{5}$的分子分母同时乘4，转化为同分母分数后比较分子大小；
针对第(2)题：
15和25的最小公倍数是75，给$\frac{7}{15}$的分子分母同时乘5，给$\frac{11}{25}$的分子分母同时乘3，得到同分母分数后通过分子大小判断分数的大小关系。
【解析】
(1) 根据分数的基本性质进行通分：
$\frac{3}{4}=\frac{3×5}{4×5}=\frac{15}{20}$
$\frac{4}{5}=\frac{4×4}{5×4}=\frac{16}{20}$
因为同分母分数中分子15＜16，所以$\frac{3}{4}＜\frac{4}{5}$。
(2) 根据分数的基本性质进行通分：
$\frac{7}{15}=\frac{7×5}{15×5}=\frac{35}{75}$
$\frac{11}{25}=\frac{11×3}{25×3}=\frac{33}{75}$
因为同分母分数中分子35＞33，所以$\frac{7}{15}＞\frac{11}{25}$。
【答案】
(1)$\frac{3}{4}=\frac{3×(5)}{4×(5)}=\frac{(15)}{(20)}$ $\frac{4}{5}=\frac{4×(4)}{5×(4)}=\frac{(16)}{(20)}$ ＜
(2)$\frac{7}{15}=\frac{7×(5)}{15×(5)}=\frac{(35)}{(75)}$ $\frac{11}{25}=\frac{11×(3)}{25×(3)}=\frac{(33)}{(75)}$＞(通分过程不唯一)
【知识点】
分数的基本性质、通分、分数大小比较
【点评】
本题重点考查异分母分数大小比较的方法，核心是运用分数的基本性质完成通分，将异分母分数转化为同分母分数后，通过比较分子大小即可快速判断分数的大小，通分过程只要保证分数大小不变即可，不唯一。
【难度系数】
0.8
3在○里填上“＞”“＜”或“＝”。(a 是非零自然数)
$\boldsymbol{\frac{5}{19}◯\frac{8}{19}}$
$\boldsymbol{\frac{6}{7}◯\frac{6}{11}}$
$\boldsymbol{\frac{2}{3}◯\frac{4}{9}}$
$\boldsymbol{\frac{7}{6}◯\frac{11}{8}}$
$\boldsymbol{\frac{2}{3}◯\frac{7}{8}}$
$\boldsymbol{\frac{a}{13}◯\frac{a}{14}}$
$\boldsymbol{\frac{5}{19}◯\frac{8}{19}}$
$\boldsymbol{\frac{6}{7}◯\frac{6}{11}}$
$\boldsymbol{\frac{2}{3}◯\frac{4}{9}}$
$\boldsymbol{\frac{7}{6}◯\frac{11}{8}}$
$\boldsymbol{\frac{2}{3}◯\frac{7}{8}}$
$\boldsymbol{\frac{a}{13}◯\frac{a}{14}}$
答案
3. ＜ ＞ ＞ ＜ ＜ ＞
解析分数大小比较方法:
●分母相同，分子大的分数大，如$\frac{5}{19}$＜$\frac{8}{19}$。
●分子相同，分母大的反而小，如$\frac{6}{7}$＞$\frac{6}{11}$，$\frac{a}{13}$＞$\frac{a}{14}$。
●分子、分母都不同，先通分成同分子分数或同分母分数，再根据上面的方法比较分数的大小。
解析分数大小比较方法:
●分母相同，分子大的分数大，如$\frac{5}{19}$＜$\frac{8}{19}$。
●分子相同，分母大的反而小，如$\frac{6}{7}$＞$\frac{6}{11}$，$\frac{a}{13}$＞$\frac{a}{14}$。
●分子、分母都不同，先通分成同分子分数或同分母分数，再根据上面的方法比较分数的大小。
解析
【分析】
这道题是分数大小比较的基础题型，我们可以根据分数的分子、分母特点，分三类思路解题：1. 若分母相同，直接比较分子，分子越大分数越大；2. 若分子相同，比较分母，分母越大分数反而越小；3. 若分子、分母都不同，先通过通分将其转化为同分母或同分子分数，再用前两种方法比较大小。接下来我们按照这三类思路逐个分析题目中的分数。
【解析】
1. 对于$\frac{5}{19}$和$\frac{8}{19}$：二者分母相同，分子$5＜8$，根据“分母相同，分子大的分数大”，可得$\frac{5}{19}＜\frac{8}{19}$；
2. 对于$\frac{6}{7}$和$\frac{6}{11}$：二者分子相同，分母$7＜11$，根据“分子相同，分母大的分数反而小”，可得$\frac{6}{7}＞\frac{6}{11}$；
3. 对于$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{9}$：分子分母均不同，先通分，$\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$，此时分母相同，分子$6＞4$，可得$\frac{2}{3}＞\frac{4}{9}$；
4. 对于$\frac{7}{6}$和$\frac{11}{8}$：分子分母均不同，通分找分母6和8的最小公倍数24，$\frac{7}{6}=\frac{28}{24}$，$\frac{11}{8}=\frac{33}{24}$，分子$28＜33$，可得$\frac{7}{6}＜\frac{11}{8}$；
5. 对于$\frac{2}{3}$和$\frac{7}{8}$：分子分母均不同，通分找分母3和8的最小公倍数24，$\frac{2}{3}=\frac{16}{24}$，$\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$，分子$16＜21$，可得$\frac{2}{3}＜\frac{7}{8}$；
6. 对于$\frac{a}{13}$和$\frac{a}{14}$（a是非零自然数）：二者分子相同，分母$13＜14$，根据“分子相同，分母大的分数反而小”，可得$\frac{a}{13}＞\frac{a}{14}$。
【答案】
＜ ＞ ＞ ＜ ＜ ＞
【知识点】
分数大小比较、通分
【点评】
本题全面考查了分数大小比较的三种核心方法，覆盖了分母相同、分子相同、分子分母均不同的常见情况，还结合字母表示数的形式拓展了应用场景，熟练掌握不同情况下的比较规则，通分是解决异分母分数比较的关键，通过练习可夯实分数比较的基础知识点。
【难度系数】
0.8
这道题是分数大小比较的基础题型，我们可以根据分数的分子、分母特点，分三类思路解题：1. 若分母相同，直接比较分子，分子越大分数越大；2. 若分子相同，比较分母，分母越大分数反而越小；3. 若分子、分母都不同，先通过通分将其转化为同分母或同分子分数，再用前两种方法比较大小。接下来我们按照这三类思路逐个分析题目中的分数。
【解析】
1. 对于$\frac{5}{19}$和$\frac{8}{19}$：二者分母相同，分子$5＜8$，根据“分母相同，分子大的分数大”，可得$\frac{5}{19}＜\frac{8}{19}$；
2. 对于$\frac{6}{7}$和$\frac{6}{11}$：二者分子相同，分母$7＜11$，根据“分子相同，分母大的分数反而小”，可得$\frac{6}{7}＞\frac{6}{11}$；
3. 对于$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{9}$：分子分母均不同，先通分，$\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$，此时分母相同，分子$6＞4$，可得$\frac{2}{3}＞\frac{4}{9}$；
4. 对于$\frac{7}{6}$和$\frac{11}{8}$：分子分母均不同，通分找分母6和8的最小公倍数24，$\frac{7}{6}=\frac{28}{24}$，$\frac{11}{8}=\frac{33}{24}$，分子$28＜33$，可得$\frac{7}{6}＜\frac{11}{8}$；
5. 对于$\frac{2}{3}$和$\frac{7}{8}$：分子分母均不同，通分找分母3和8的最小公倍数24，$\frac{2}{3}=\frac{16}{24}$，$\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$，分子$16＜21$，可得$\frac{2}{3}＜\frac{7}{8}$；
6. 对于$\frac{a}{13}$和$\frac{a}{14}$（a是非零自然数）：二者分子相同，分母$13＜14$，根据“分子相同，分母大的分数反而小”，可得$\frac{a}{13}＞\frac{a}{14}$。
【答案】
＜ ＞ ＞ ＜ ＜ ＞
【知识点】
分数大小比较、通分
【点评】
本题全面考查了分数大小比较的三种核心方法，覆盖了分母相同、分子相同、分子分母均不同的常见情况，还结合字母表示数的形式拓展了应用场景，熟练掌握不同情况下的比较规则，通分是解决异分母分数比较的关键，通过练习可夯实分数比较的基础知识点。
【难度系数】
0.8
4小明和小亮进行长跑比赛。此时,谁离终点更近?
答案
4. 方法一:$\frac{1}{2}=\frac{1×4}{2×4}=\frac{4}{8}$，$\frac{5}{8}$＞$\frac{4}{8}$，即$\frac{5}{8}$＞$\frac{1}{2}$。
方法二:$\frac{1}{2}=\frac{1×5}{2×5}=\frac{5}{10}$，$\frac{5}{8}$＞$\frac{5}{10}$，即$\frac{5}{8}$＞$\frac{1}{2}$。
方法三:
小明跑了全程的$\frac{5}{8}$
起点＜小明跑了全程的 终点
小亮跑了全程的$\frac{1}{2}$
答:小明离终点更近。
解析同样的路程，跑的越多，剩下的就越少，离终点就越近。
方法一化成同分母分数，分子越大，分数越大。方法二化成同分子分数，分母越大，分数越小。方法三画图比较。
方法二:$\frac{1}{2}=\frac{1×5}{2×5}=\frac{5}{10}$，$\frac{5}{8}$＞$\frac{5}{10}$，即$\frac{5}{8}$＞$\frac{1}{2}$。
方法三:
小明跑了全程的$\frac{5}{8}$
起点＜小明跑了全程的 终点
小亮跑了全程的$\frac{1}{2}$
答:小明离终点更近。
解析同样的路程，跑的越多，剩下的就越少，离终点就越近。
方法一化成同分母分数，分子越大，分数越大。方法二化成同分子分数，分母越大，分数越小。方法三画图比较。
解析
【分析】
要判断谁离终点更近，需明确：在全程相同的情况下，已跑路程占全程的比例越大，剩余路程就越少，离终点也就越近。因此我们需要比较小明已跑的$\frac{5}{8}$和小亮已跑的$\frac{1}{2}$的大小，可通过通分（同分母或同分子）、画图的方法来比较分数大小，进而得出结论。
【解析】
方法一：将两个分数化为同分母分数比较
$\frac{1}{2}=\frac{1×4}{2×4}=\frac{4}{8}$
因为$\frac{5}{8}＞\frac{4}{8}$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{1}{2}$，说明小明已跑的路程更多，剩余路程更少。
方法二：将两个分数化为同分子分数比较
$\frac{1}{2}=\frac{1×5}{2×5}=\frac{5}{10}$
因为$\frac{5}{8}＞\frac{5}{10}$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{1}{2}$，说明小明已跑的路程更多，剩余路程更少。
方法三：画图直观比较
画出表示全程的线段，标记出小明跑了全程的$\frac{5}{8}$，小亮跑了全程的$\frac{1}{2}$，可直观看到小明跑的距离更远，剩余距离更短。
综上，小明已跑路程占比更大，剩余路程更少，离终点更近。
【答案】
小明离终点更近。
【知识点】
分数大小比较，异分母分数通分
【点评】
本题考查分数大小比较在实际生活中的应用，需要结合“跑的路程越多，离终点越近”的生活逻辑，灵活运用通分、画图等方法比较分数大小，培养将数学知识与实际情境结合的能力。
【难度系数】
0.8
要判断谁离终点更近，需明确：在全程相同的情况下，已跑路程占全程的比例越大，剩余路程就越少，离终点也就越近。因此我们需要比较小明已跑的$\frac{5}{8}$和小亮已跑的$\frac{1}{2}$的大小，可通过通分（同分母或同分子）、画图的方法来比较分数大小，进而得出结论。
【解析】
方法一：将两个分数化为同分母分数比较
$\frac{1}{2}=\frac{1×4}{2×4}=\frac{4}{8}$
因为$\frac{5}{8}＞\frac{4}{8}$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{1}{2}$，说明小明已跑的路程更多，剩余路程更少。
方法二：将两个分数化为同分子分数比较
$\frac{1}{2}=\frac{1×5}{2×5}=\frac{5}{10}$
因为$\frac{5}{8}＞\frac{5}{10}$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{1}{2}$，说明小明已跑的路程更多，剩余路程更少。
方法三：画图直观比较
画出表示全程的线段，标记出小明跑了全程的$\frac{5}{8}$，小亮跑了全程的$\frac{1}{2}$，可直观看到小明跑的距离更远，剩余距离更短。
综上，小明已跑路程占比更大，剩余路程更少，离终点更近。
【答案】
小明离终点更近。
【知识点】
分数大小比较，异分母分数通分
【点评】
本题考查分数大小比较在实际生活中的应用，需要结合“跑的路程越多，离终点越近”的生活逻辑，灵活运用通分、画图等方法比较分数大小，培养将数学知识与实际情境结合的能力。
【难度系数】
0.8
5小锦阅读了《九章算术》的合分术——母互乘子,并以为实(指分子),母相乘为法(指分母)。
发现其中蕴含了一种通分的方法,即将两个分数的分母相乘作为通分后的分母。学完本节
课后,小锦又写出了另一种方法。如下图,你喜欢哪种方法? 为什么?
发现其中蕴含了一种通分的方法,即将两个分数的分母相乘作为通分后的分母。学完本节
课后,小锦又写出了另一种方法。如下图,你喜欢哪种方法? 为什么?
答案
5. 答:我喜欢小锦的方法。因为小锦用两个分母的最小公倍数作公分母，计算比较简单。
(答案不唯一，合理即可)
解析两种方法各有优势和不足。
●合分术直接用两个分母相乘作公分母，这样不用去找两个分母的最小公倍数，但有时公分母太大，计算比较麻烦，容易出错。
●小锦的方法需先找出两个分母的最小公倍数，再通分。这样公分母相对较小，计算方便，但可能找错两个分母的最小公倍数。
(答案不唯一，合理即可)
解析两种方法各有优势和不足。
●合分术直接用两个分母相乘作公分母，这样不用去找两个分母的最小公倍数，但有时公分母太大，计算比较麻烦，容易出错。
●小锦的方法需先找出两个分母的最小公倍数，再通分。这样公分母相对较小，计算方便，但可能找错两个分母的最小公倍数。
解析
【分析】
首先要明确两种通分方法的思路：合分术是直接将两个分数的分母相乘作为公分母，分子分别乘对方的分母，无需寻找最小公倍数；小锦的方法是先找出两个分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质转化分数。思考时，需对比两种方法的优缺点，再结合自身计算习惯选择喜欢的方法，核心是理解两种方法的操作逻辑和各自的利弊。
【解析】
1. 分析合分术的通分方法：
将两个分数的分母直接相乘得到公分母，分子分别乘另一个分数的分母，转化为同分母分数。这种方法的优势是操作直接，不需要额外寻找最小公倍数；劣势是当分母数值较大时，得到的公分母会很大，计算过程繁琐，容易出现计算错误。
2. 分析小锦的通分方法：
先求出两个分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质，给分子分母同时乘合适的数，将分数化为同分母分数。这种方法的优势是公分母相对较小，计算量更小，计算更简便；劣势是需要准确掌握最小公倍数的求法，若对该知识点不熟练，可能会找错公分母。
结合两种方法的特点，可选择小锦的方法，理由是其用最小公倍数作公分母，计算更简单，能降低计算出错的概率。
【答案】
我喜欢小锦的方法。因为小锦用两个分母的最小公倍数作公分母，计算比较简单。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
分数通分，最小公倍数
【点评】
本题考查对通分不同方法的理解与应用，需要掌握通分的原理和最小公倍数的求法，通过对比两种通分方法的优缺点，培养分析问题和选择合适解题方法的能力。
【难度系数】
0.6
首先要明确两种通分方法的思路：合分术是直接将两个分数的分母相乘作为公分母，分子分别乘对方的分母，无需寻找最小公倍数；小锦的方法是先找出两个分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质转化分数。思考时，需对比两种方法的优缺点，再结合自身计算习惯选择喜欢的方法，核心是理解两种方法的操作逻辑和各自的利弊。
【解析】
1. 分析合分术的通分方法：
将两个分数的分母直接相乘得到公分母，分子分别乘另一个分数的分母，转化为同分母分数。这种方法的优势是操作直接，不需要额外寻找最小公倍数；劣势是当分母数值较大时，得到的公分母会很大，计算过程繁琐，容易出现计算错误。
2. 分析小锦的通分方法：
先求出两个分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质，给分子分母同时乘合适的数，将分数化为同分母分数。这种方法的优势是公分母相对较小，计算量更小，计算更简便；劣势是需要准确掌握最小公倍数的求法，若对该知识点不熟练，可能会找错公分母。
结合两种方法的特点，可选择小锦的方法，理由是其用最小公倍数作公分母，计算更简单，能降低计算出错的概率。
【答案】
我喜欢小锦的方法。因为小锦用两个分母的最小公倍数作公分母，计算比较简单。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
分数通分，最小公倍数
【点评】
本题考查对通分不同方法的理解与应用，需要掌握通分的原理和最小公倍数的求法，通过对比两种通分方法的优缺点，培养分析问题和选择合适解题方法的能力。
【难度系数】
0.6
6有两个分数$\boldsymbol{\frac{5}{m}}$和$\boldsymbol{\frac{7}{n}}$($m$、$n$均为非零自然数),通分后分别是$\boldsymbol{\frac{5}{m}}$和$\boldsymbol{\frac{28}{m}}$。又知$m+n=45$,则
$m=$(
$m=$(
36
),$n=$(9
)。答案
6. 36 9
解析$\frac{5}{m}$和$\frac{7}{n}$通分后公分母是$m$，故$m$是$n$的倍数。
将$m=4n$代入$m+n=45$中，解得$n=9$，$m=4n=36$
解析
【分析】
首先观察通分后的分数，可知通分后的公分母是$m$，说明$m$是$n$的倍数。根据分数的基本性质，$\frac{7}{n}$通分后变为$\frac{28}{m}$，分子7乘4得到28，那么分母$n$也需乘4得到$m$，即$m=4n$。再结合已知条件$m+n=45$，将$m=4n$代入该等式，即可依次求出$n$和$m$的值。
【解析】
1. 推导$m$与$n$的关系：
因为$\frac{7}{n}$通分后为$\frac{28}{m}$，根据分数的基本性质，分子由7变为28是乘了4，所以分母$n$也应乘4得到$m$，即$m=4n$。
2. 代入等式求解$n$：
将$m=4n$代入$m+n=45$，可得：
$4n + n = 45$
$5n = 45$
解得$n=9$。
3. 计算$m$的值：
$m=4n=4×9=36$
【答案】
36，9
【知识点】
分数的基本性质、和倍问题求解
【点评】
本题核心考查分数通分原理与分数基本性质的应用，需要学生从通分结果中提炼出分母间的倍数关系，再结合和的条件通过代入法求解，既检验了对分数性质的理解程度，也锻炼了逻辑推理与简单方程的应用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察通分后的分数，可知通分后的公分母是$m$，说明$m$是$n$的倍数。根据分数的基本性质，$\frac{7}{n}$通分后变为$\frac{28}{m}$，分子7乘4得到28，那么分母$n$也需乘4得到$m$，即$m=4n$。再结合已知条件$m+n=45$，将$m=4n$代入该等式，即可依次求出$n$和$m$的值。
【解析】
1. 推导$m$与$n$的关系：
因为$\frac{7}{n}$通分后为$\frac{28}{m}$，根据分数的基本性质，分子由7变为28是乘了4，所以分母$n$也应乘4得到$m$，即$m=4n$。
2. 代入等式求解$n$：
将$m=4n$代入$m+n=45$，可得：
$4n + n = 45$
$5n = 45$
解得$n=9$。
3. 计算$m$的值：
$m=4n=4×9=36$
【答案】
36，9
【知识点】
分数的基本性质、和倍问题求解
【点评】
本题核心考查分数通分原理与分数基本性质的应用，需要学生从通分结果中提炼出分母间的倍数关系，再结合和的条件通过代入法求解，既检验了对分数性质的理解程度，也锻炼了逻辑推理与简单方程的应用能力。
【难度系数】
0.6
