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(3)$A$、$B$是两个非零自然数,请你根据图中信息判断,下面说法正确的有(
①$A$和$B$的最大公因数是4。
②$A$是12,$B$是16。
③$A$和$B$的最小公倍数是48。
④$A$和$B$的最小公倍数是它们的公因数的倍数。
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)个。①$A$和$B$的最大公因数是4。
②$A$是12,$B$是16。
③$A$和$B$的最小公倍数是48。
④$A$和$B$的最小公倍数是它们的公因数的倍数。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
(3)D
解析A和B的公因数中最大的是4，因此A和B的最大公因数是4，①说法正确。
根据一个数的最大因数是它本身可知，A是12，B是16，②说法正确。
12 = 2×2×3，16 = 2×2×2×2，故A和B的最小公倍数是2×2×3×2×2 = 48，③说法正确。
A和B的最小公倍数是48，公因数有1,2,4。48是1,2,4的倍数，④说法正确。
解析A和B的公因数中最大的是4，因此A和B的最大公因数是4，①说法正确。
根据一个数的最大因数是它本身可知，A是12，B是16，②说法正确。
12 = 2×2×3，16 = 2×2×2×2，故A和B的最小公倍数是2×2×3×2×2 = 48，③说法正确。
A和B的最小公倍数是48，公因数有1,2,4。48是1,2,4的倍数，④说法正确。
解析
【分析】
首先，根据“一个数的最大因数是它本身”，从图中A的因数里最大的是12，可知A是12；B的因数里最大的是16，可知B是16。接下来依次分析每个说法：
1. 对于①，A和B的公因数是1、2、4，其中最大的是4，所以最大公因数是4，该说法正确；
2. 对于②，利用“一个数的最大因数是它本身”，结合图中A、B的因数，可确定A是12，B是16，该说法正确；
3. 对于③，通过分解质因数的方法，分别把12和16分解为质因数相乘的形式，再将公有的质因数和各自独有的质因数相乘，得到最小公倍数是48，该说法正确；
4. 对于④，验证最小公倍数48是否是所有公因数（1、2、4）的倍数，计算可知48能被这三个数整除，所以该说法正确。最后统计正确说法的个数，确定答案。
【解析】
1. 判断①：A和B的公因数为1、2、4，其中最大的数是4，因此A和B的最大公因数是4，①说法正确。
2. 判断②：根据“一个数的最大因数是它本身”，A的最大因数是12，所以A=12；B的最大因数是16，所以B=16，②说法正确。
3. 判断③：将12和16分解质因数：
$12 = 2×2×3$，$16 = 2×2×2×2$，
最小公倍数是公有的质因数与各自独有的质因数的乘积，即$2×2×3×2×2 = 48$，③说法正确。
4. 判断④：A和B的最小公倍数是48，它们的公因数是1、2、4，因为$48÷1=48$，$48÷2=24$，$48÷4=12$，均为整数，所以48是1、2、4的倍数，即A和B的最小公倍数是它们的公因数的倍数，④说法正确。
综上，4个说法均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
因数与公因数；最大公因数；最小公倍数
【点评】
本题综合考查因数、公因数、最大公因数和最小公倍数的相关知识，需要熟练掌握“一个数的最大因数是它本身”这一性质，以及最大公因数、最小公倍数的计算方法，同时理解最小公倍数与公因数之间的倍数关系，对概念的理解和应用能力要求较高。
【难度系数】
0.6
首先，根据“一个数的最大因数是它本身”，从图中A的因数里最大的是12，可知A是12；B的因数里最大的是16，可知B是16。接下来依次分析每个说法：
1. 对于①，A和B的公因数是1、2、4，其中最大的是4，所以最大公因数是4，该说法正确；
2. 对于②，利用“一个数的最大因数是它本身”，结合图中A、B的因数，可确定A是12，B是16，该说法正确；
3. 对于③，通过分解质因数的方法，分别把12和16分解为质因数相乘的形式，再将公有的质因数和各自独有的质因数相乘，得到最小公倍数是48，该说法正确；
4. 对于④，验证最小公倍数48是否是所有公因数（1、2、4）的倍数，计算可知48能被这三个数整除，所以该说法正确。最后统计正确说法的个数，确定答案。
【解析】
1. 判断①：A和B的公因数为1、2、4，其中最大的数是4，因此A和B的最大公因数是4，①说法正确。
2. 判断②：根据“一个数的最大因数是它本身”，A的最大因数是12，所以A=12；B的最大因数是16，所以B=16，②说法正确。
3. 判断③：将12和16分解质因数：
$12 = 2×2×3$，$16 = 2×2×2×2$，
最小公倍数是公有的质因数与各自独有的质因数的乘积，即$2×2×3×2×2 = 48$，③说法正确。
4. 判断④：A和B的最小公倍数是48，它们的公因数是1、2、4，因为$48÷1=48$，$48÷2=24$，$48÷4=12$，均为整数，所以48是1、2、4的倍数，即A和B的最小公倍数是它们的公因数的倍数，④说法正确。
综上，4个说法均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
因数与公因数；最大公因数；最小公倍数
【点评】
本题综合考查因数、公因数、最大公因数和最小公倍数的相关知识，需要熟练掌握“一个数的最大因数是它本身”这一性质，以及最大公因数、最小公倍数的计算方法，同时理解最小公倍数与公因数之间的倍数关系，对概念的理解和应用能力要求较高。
【难度系数】
0.6
(1)最小的合数与最大的一位数的最小公倍数是(
36
)。答案
6. (1)36
解析最小的合数是4，最大的一位数是9，4和9互质，最小公倍数是两数乘积36。
解析最小的合数是4，最大的一位数是9，4和9互质，最小公倍数是两数乘积36。
解析
【分析】
首先，我们需要明确两个关键数字：根据合数的定义，除了1和自身外还有其他因数的数是合数，其中最小的合数是4；最大的一位数是9。接下来判断4和9的关系，它们的公因数只有1，属于互质数。根据互质数的性质，互质数的最小公倍数就是这两个数的乘积，因此只需计算两数的乘积即可得到答案。
【解析】
1. 确定数字：最小的合数是4，最大的一位数是9。
2. 判断两数关系：4的因数为1、2、4，9的因数为1、3、9，它们的公因数只有1，所以4和9是互质数。
3. 计算最小公倍数：互质数的最小公倍数是两数的乘积，即4×9=36。
【答案】
36
【知识点】
合数的定义、互质数的性质、最小公倍数求法
【点评】
本题考查了合数的概念、互质数的判定以及最小公倍数的计算方法，属于基础题型，需要学生熟练掌握数论的基础概念，理清互质数与最小公倍数之间的关系。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要明确两个关键数字：根据合数的定义，除了1和自身外还有其他因数的数是合数，其中最小的合数是4；最大的一位数是9。接下来判断4和9的关系，它们的公因数只有1，属于互质数。根据互质数的性质，互质数的最小公倍数就是这两个数的乘积，因此只需计算两数的乘积即可得到答案。
【解析】
1. 确定数字：最小的合数是4，最大的一位数是9。
2. 判断两数关系：4的因数为1、2、4，9的因数为1、3、9，它们的公因数只有1，所以4和9是互质数。
3. 计算最小公倍数：互质数的最小公倍数是两数的乘积，即4×9=36。
【答案】
36
【知识点】
合数的定义、互质数的性质、最小公倍数求法
【点评】
本题考查了合数的概念、互质数的判定以及最小公倍数的计算方法，属于基础题型，需要学生熟练掌握数论的基础概念，理清互质数与最小公倍数之间的关系。
【难度系数】
0.8
(2)两个相邻偶数的和是22,这两个数的最大公因数是(
2
),最小公倍数是(60
)。答案
(2)2 60
解析根据“两个相邻偶数的和是22”可知：
$\{\begin{array}{l} 较大数+较小数=22\\ 较大数-较小数=2\end{array} $→$\begin{array}{r} 较大数:(22 + 2)÷2 = 12\\ 较小数:22 - 12 = 10\end{array} $
最后求出10和12的最大公因数和最小公倍数即可。
解析根据“两个相邻偶数的和是22”可知：
$\{\begin{array}{l} 较大数+较小数=22\\ 较大数-较小数=2\end{array} $→$\begin{array}{r} 较大数:(22 + 2)÷2 = 12\\ 较小数:22 - 12 = 10\end{array} $
最后求出10和12的最大公因数和最小公倍数即可。
解析
【分析】
首先，相邻的两个偶数相差2，题目给出它们的和是22，这属于和差问题。解题思路是先利用和差公式求出这两个偶数：较大数 =（和 + 差）÷2，较小数 = 和 - 较大数；求出这两个数后，再分别计算它们的最大公因数和最小公倍数即可。
【解析】
1. 明确两个相邻偶数的关系：相邻偶数相差2，设较大数为$a$，较小数为$b$，则有
$\begin{cases}a + b = 22\\a - b = 2\end{cases}$
2. 计算两个偶数：
较大数：$(22 + 2)÷2 = 12$
较小数：$22 - 12 = 10$
3. 求10和12的最大公因数：
10的因数有1、2、5、10；12的因数有1、2、3、4、6、12，二者共有的最大因数是2。
4. 求10和12的最小公倍数：
用短除法，先除以公因数2，得到互质的5和6，因此最小公倍数为$2×5×6 = 60$。
【答案】
2；60
【知识点】
和差问题、最大公因数、最小公倍数
【点评】
本题结合偶数性质、和差问题与数论相关知识点，需要先利用相邻偶数的特征求出具体数值，再运用因数和倍数的知识求解，考查学生对基础概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先，相邻的两个偶数相差2，题目给出它们的和是22，这属于和差问题。解题思路是先利用和差公式求出这两个偶数：较大数 =（和 + 差）÷2，较小数 = 和 - 较大数；求出这两个数后，再分别计算它们的最大公因数和最小公倍数即可。
【解析】
1. 明确两个相邻偶数的关系：相邻偶数相差2，设较大数为$a$，较小数为$b$，则有
$\begin{cases}a + b = 22\\a - b = 2\end{cases}$
2. 计算两个偶数：
较大数：$(22 + 2)÷2 = 12$
较小数：$22 - 12 = 10$
3. 求10和12的最大公因数：
10的因数有1、2、5、10；12的因数有1、2、3、4、6、12，二者共有的最大因数是2。
4. 求10和12的最小公倍数：
用短除法，先除以公因数2，得到互质的5和6，因此最小公倍数为$2×5×6 = 60$。
【答案】
2；60
【知识点】
和差问题、最大公因数、最小公倍数
【点评】
本题结合偶数性质、和差问题与数论相关知识点，需要先利用相邻偶数的特征求出具体数值，再运用因数和倍数的知识求解，考查学生对基础概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7已知$A=2×3×5$,$B=2×2×3×7$,则$A$和$B$的最大公因数是多少？最小公倍数呢？
答案
7. A和B公有的质因数有2,3。
A和B的最大公因数是2×3 = 6。
A和B的最小公倍数是2×3×5×2×7 = 420。
答：A和B的最大公因数是6，最小公倍数是420。
解析本题综合考查了最大公因数和最小公倍数。
A = 2×3×5 最大公因数：2×3
B = 2×2×3×7 最小公倍数：2×3×5×2×7
公有的 独有的
质因数 质因数
A和B的最大公因数是2×3 = 6。
A和B的最小公倍数是2×3×5×2×7 = 420。
答：A和B的最大公因数是6，最小公倍数是420。
解析本题综合考查了最大公因数和最小公倍数。
A = 2×3×5 最大公因数：2×3
B = 2×2×3×7 最小公倍数：2×3×5×2×7
公有的 独有的
质因数 质因数
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要依据最大公因数和最小公倍数的定义及求法来思考：
1. 最大公因数是两个数公有的质因数的乘积，所以第一步要先找出A和B公有的质因数；
2. 最小公倍数是两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积，找到公有的质因数后，再确定A、B各自独有的质因数，最后将这些质因数相乘即可得到结果。
具体来看，先观察A=2×3×5和B=2×2×3×7的质因数组成，能发现公有的质因数是2和3，A独有的质因数是5，B独有的质因数是2和7，再分别代入计算即可。
【解析】
1. 确定公有的质因数：A的质因数为2、3、5，B的质因数为2、2、3、7，两者公有的质因数是2和3；
2. 计算最大公因数：将公有的质因数相乘，即$2×3=6$；
3. 计算最小公倍数：将公有的质因数与各自独有的质因数相乘，即$2×3×5×2×7=420$。
答：A和B的最大公因数是6，最小公倍数是420。
【答案】
最大公因数是6，最小公倍数是420。
【知识点】
质因数分解求最大公因数、质因数分解求最小公倍数
【点评】
本题考查利用质因数分解法求两个数的最大公因数和最小公倍数，解题关键是准确区分公有的质因数和各自独有的质因数，掌握两者的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要依据最大公因数和最小公倍数的定义及求法来思考：
1. 最大公因数是两个数公有的质因数的乘积，所以第一步要先找出A和B公有的质因数；
2. 最小公倍数是两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积，找到公有的质因数后，再确定A、B各自独有的质因数，最后将这些质因数相乘即可得到结果。
具体来看，先观察A=2×3×5和B=2×2×3×7的质因数组成，能发现公有的质因数是2和3，A独有的质因数是5，B独有的质因数是2和7，再分别代入计算即可。
【解析】
1. 确定公有的质因数：A的质因数为2、3、5，B的质因数为2、2、3、7，两者公有的质因数是2和3；
2. 计算最大公因数：将公有的质因数相乘，即$2×3=6$；
3. 计算最小公倍数：将公有的质因数与各自独有的质因数相乘，即$2×3×5×2×7=420$。
答：A和B的最大公因数是6，最小公倍数是420。
【答案】
最大公因数是6，最小公倍数是420。
【知识点】
质因数分解求最大公因数、质因数分解求最小公倍数
【点评】
本题考查利用质因数分解法求两个数的最大公因数和最小公倍数，解题关键是准确区分公有的质因数和各自独有的质因数，掌握两者的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
