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9. 计算：
（1）$(-1)^{2026}+(-\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{99}{100})^{0}+16×2^{-3}$；
（2）$(-\frac{1}{3})^{-2}+(π - 2)^{0}+2^{-1}$。
（1）$(-1)^{2026}+(-\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{99}{100})^{0}+16×2^{-3}$；
（2）$(-\frac{1}{3})^{-2}+(π - 2)^{0}+2^{-1}$。
答案
9. 解：(1) 原式 $ = 1 + 9 - 1 + 2 = 11 $。
(2) 原式 $ = 9 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{21}{2} $。
(2) 原式 $ = 9 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{21}{2} $。
解析
【分析】
这是一道整数指数幂的混合运算题，解题思路是逐项拆解每一个运算项，分别对应不同的指数运算法则计算出每一项的结果，最后再进行常规的有理数加减运算即可。首先我们需要回忆三类特殊指数的规则：1. -1的偶次幂结果为1；2. 非零数的负p次幂等于该数p次幂的倒数；3. 任意非零实数的0次幂结果为1。我们逐个算出题目里的每一项，再合并求和就能得到最终结果。
【解析】
（1）分步计算每一项：
① $(-1)^{2026}$：2026是偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-1)^{2026}=1$
② $(-\frac{1}{3})^{-2}$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$
③ $(\frac{99}{100})^0$：底数不为0，根据零指数幂法则，非零数的0次幂为1，因此$(\frac{99}{100})^0=1$
④ $16×2^{-3}$：先算$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$，因此$16×2^{-3}=16×\frac{1}{8}=2$
将所有项的结果代入原式：
原式$=1 + 9 - 1 + 2 = 11$
（2）分步计算每一项：
① $(-\frac{1}{3})^{-2}$：同前可得结果为9
② $(π-2)^0$：$π≈3.14$，因此$π-2≠0$，零指数幂结果为1
③ $2^{-1}$：根据负整数指数幂法则，$2^{-1}=\frac{1}{2}$
将所有项的结果代入原式：
原式$=9 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{21}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{\frac{21}{2}}$
【知识点】
负整数指数幂，零指数幂，有理数乘方
【点评】
本题属于指数运算的基础题型，核心考察对特殊指数运算法则的记忆与应用，只要牢记各类指数的运算规则，逐项计算避免符号错误，就可以轻松得到正确结果，是初中数学有理数运算部分的必掌握基础考点。
【难度系数】
0.8
这是一道整数指数幂的混合运算题，解题思路是逐项拆解每一个运算项，分别对应不同的指数运算法则计算出每一项的结果，最后再进行常规的有理数加减运算即可。首先我们需要回忆三类特殊指数的规则：1. -1的偶次幂结果为1；2. 非零数的负p次幂等于该数p次幂的倒数；3. 任意非零实数的0次幂结果为1。我们逐个算出题目里的每一项，再合并求和就能得到最终结果。
【解析】
（1）分步计算每一项：
① $(-1)^{2026}$：2026是偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-1)^{2026}=1$
② $(-\frac{1}{3})^{-2}$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$
③ $(\frac{99}{100})^0$：底数不为0，根据零指数幂法则，非零数的0次幂为1，因此$(\frac{99}{100})^0=1$
④ $16×2^{-3}$：先算$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$，因此$16×2^{-3}=16×\frac{1}{8}=2$
将所有项的结果代入原式：
原式$=1 + 9 - 1 + 2 = 11$
（2）分步计算每一项：
① $(-\frac{1}{3})^{-2}$：同前可得结果为9
② $(π-2)^0$：$π≈3.14$，因此$π-2≠0$，零指数幂结果为1
③ $2^{-1}$：根据负整数指数幂法则，$2^{-1}=\frac{1}{2}$
将所有项的结果代入原式：
原式$=9 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{21}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{\frac{21}{2}}$
【知识点】
负整数指数幂，零指数幂，有理数乘方
【点评】
本题属于指数运算的基础题型，核心考察对特殊指数运算法则的记忆与应用，只要牢记各类指数的运算规则，逐项计算避免符号错误，就可以轻松得到正确结果，是初中数学有理数运算部分的必掌握基础考点。
【难度系数】
0.8
10. 我们规定$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a≠0)$，即$a$的$-p$次幂等于$a$的$p$次幂的倒数。
(1)计算：
$6^{-2}=$
(2)如果$2^{-p}=\frac{1}{8}$，那么$p =$
如果$a^{-2}=\frac{1}{16}$，那么$a =$
(3)如果$a^{-p}=\frac{1}{9}$，且$a$，$p$都为整数，求满足条件的$a$，$p$的取值。
(1)计算：
$6^{-2}=$
$\frac{1}{36}$
；$(-\frac{1}{4})^{-3}=$$-64$
。(2)如果$2^{-p}=\frac{1}{8}$，那么$p =$
$3$
；如果$a^{-2}=\frac{1}{16}$，那么$a =$
$\pm 4$
。(3)如果$a^{-p}=\frac{1}{9}$，且$a$，$p$都为整数，求满足条件的$a$，$p$的取值。
答案
10. 解：(1) $ \frac{1}{36} $ $ -64 $ (2) $ 3 $ $ \pm 4 $
(3) 因为 $ a^{-p} = \frac{1}{9} = 9^{-1} $，所以 $ a^{p} = 9 = (\pm 3)^{2} $，
所以 $ a = 9 $，$ p = 1 $ 或 $ a = 3 $，$ p = 2 $ 或 $ a = -3 $，$ p = 2 $。
(3) 因为 $ a^{-p} = \frac{1}{9} = 9^{-1} $，所以 $ a^{p} = 9 = (\pm 3)^{2} $，
所以 $ a = 9 $，$ p = 1 $ 或 $ a = 3 $，$ p = 2 $ 或 $ a = -3 $，$ p = 2 $。
解析
【分析】
这道题已经直接给出了负整数指数幂的运算规则，我们只需要严格按照给定规则逐步推导即可：第(1)问是正向套用定义，直接把负指数转化为对应正指数的倒数计算即可；第(2)问是逆向运用规则，先把等式两边统一转化为正指数幂的形式，再结合熟悉的正整数指数幂结果反推未知数，注意平方等于正数的数有正负两个解，不要漏解；第(3)问要求a、p都是整数，先把原式转化为$a^p=9$，再把9拆解成所有整数底数的整数次幂的形式，逐一枚举所有符合条件的整数组合，不要漏掉负底数的情况。
【解析】
(1) 根据题中规定的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$：
$6^{-2}=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}$；
$(-\frac{1}{4})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{4})^3}=\frac{1}{-\frac{1}{64}}=-64$。
(2) 对于$2^{-p}=\frac{1}{8}$，将等式按规则转化为$\frac{1}{2^p}=\frac{1}{8}$，可得$2^p=8$，因为$2^3=8$，所以$p=3$；
对于$a^{-2}=\frac{1}{16}$，同理转化为$\frac{1}{a^2}=\frac{1}{16}$，可得$a^2=16$，解得$a=\pm4$。
(3) 已知$a^{-p}=\frac{1}{9}$，按规则转化可得$\frac{1}{a^p}=\frac{1}{9}$，即$a^p=9$，且a、p均为整数：
对9进行整数幂拆分：
① 当p=1时，$a^1=9$，得a=9，符合条件；
② 当p=2时，$a^2=9$，得a=3或a=-3，均符合条件；
p取大于2的正整数时，不存在整数a满足$a^p=9$，p取负整数时不符合题意，因此所有符合条件的组合全部枚举完毕。
【答案】
(1) $\frac{1}{36}$；$-64$ (2) $3$；$\pm 4$ (3) $a=9,p=1$或$a=3,p=2$或$a=-3,p=2$
【知识点】
负整数指数幂，有理数乘方，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义运算题型，从正向计算、逆向反推到枚举分类，梯度设置合理，核心考察学生对负整数指数幂规则的理解和运用能力，解题时要特别注意偶次幂对应的底数有正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.6
这道题已经直接给出了负整数指数幂的运算规则，我们只需要严格按照给定规则逐步推导即可：第(1)问是正向套用定义，直接把负指数转化为对应正指数的倒数计算即可；第(2)问是逆向运用规则，先把等式两边统一转化为正指数幂的形式，再结合熟悉的正整数指数幂结果反推未知数，注意平方等于正数的数有正负两个解，不要漏解；第(3)问要求a、p都是整数，先把原式转化为$a^p=9$，再把9拆解成所有整数底数的整数次幂的形式，逐一枚举所有符合条件的整数组合，不要漏掉负底数的情况。
【解析】
(1) 根据题中规定的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$：
$6^{-2}=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}$；
$(-\frac{1}{4})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{4})^3}=\frac{1}{-\frac{1}{64}}=-64$。
(2) 对于$2^{-p}=\frac{1}{8}$，将等式按规则转化为$\frac{1}{2^p}=\frac{1}{8}$，可得$2^p=8$，因为$2^3=8$，所以$p=3$；
对于$a^{-2}=\frac{1}{16}$，同理转化为$\frac{1}{a^2}=\frac{1}{16}$，可得$a^2=16$，解得$a=\pm4$。
(3) 已知$a^{-p}=\frac{1}{9}$，按规则转化可得$\frac{1}{a^p}=\frac{1}{9}$，即$a^p=9$，且a、p均为整数：
对9进行整数幂拆分：
① 当p=1时，$a^1=9$，得a=9，符合条件；
② 当p=2时，$a^2=9$，得a=3或a=-3，均符合条件；
p取大于2的正整数时，不存在整数a满足$a^p=9$，p取负整数时不符合题意，因此所有符合条件的组合全部枚举完毕。
【答案】
(1) $\frac{1}{36}$；$-64$ (2) $3$；$\pm 4$ (3) $a=9,p=1$或$a=3,p=2$或$a=-3,p=2$
【知识点】
负整数指数幂，有理数乘方，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义运算题型，从正向计算、逆向反推到枚举分类，梯度设置合理，核心考察学生对负整数指数幂规则的理解和运用能力，解题时要特别注意偶次幂对应的底数有正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11. 小丽在学习了“除零以外的任何数的零次幂的值为1”后，遇到这样一道题：“如果$(x - 2)^{x + 3}=1$，求$x$的值。”她解答出来的结果为$x = - 3$。老师说她考虑问题不够全面，你能帮助小丽解答这个问题吗？
答案
11. 解：当 $ x + 3 = 0 $ 且 $ x - 2 ≠ 0 $ 时，$ x = -3 $；
当 $ x - 2 = 1 $ 时，$ x = 3 $；
当 $ x - 2 = -1 $ 时，$ x = 1 $，此时 $ x + 3 = 4 $，满足题意。
综上，$ x $ 的值为 $ -3 $ 或 $ 3 $ 或 $ 1 $。
当 $ x - 2 = 1 $ 时，$ x = 3 $；
当 $ x - 2 = -1 $ 时，$ x = 1 $，此时 $ x + 3 = 4 $，满足题意。
综上，$ x $ 的值为 $ -3 $ 或 $ 3 $ 或 $ 1 $。
解析
【分析】
要解决幂的结果为1的问题，首先需要梳理所有能让$a^b=1$的三类完整情况：第一类是零指数幂规则：非零数的0次幂等于1，即指数$b=0$，同时底数$a≠0$；第二类是1的任意次幂都等于1，即底数$a=1$，此时指数取任意值结果都为1；第三类是-1的偶次幂等于1，即底数$a=-1$，同时指数$b$必须是偶数，运算结果也为1。小丽仅考虑了第一种零指数幂的情况，漏了后两种，我们分这三类情况分别列条件求解，再验证所得的$x$是否满足对应场景的前提，最后汇总所有符合条件的$x$即可。
【解析】
我们分三类情况逐一讨论：
1. 利用非零数的零次幂等于1的性质：
令指数$x+3=0$，同时要求底数$x-2≠0$，
解得$x=-3$，代入底数验证：$x-2=-3-2=-5≠0$，满足条件，此时原式$=(-5)^0=1$，成立。
2. 利用1的任意次幂都等于1的性质：
令底数$x-2=1$，解得$x=3$，
此时指数$x+3=3+3=6$，原式$=1^6=1$，符合条件，成立。
3. 利用-1的偶次幂等于1的性质：
令底数$x-2=-1$，解得$x=1$，
此时指数$x+3=1+3=4$，4是偶数，原式$=(-1)^4=1$，符合条件，成立。
综上，所有满足条件的$x$均已求出。
【答案】
$x$的值为$-3$或$3$或$1$
【知识点】
零指数幂性质，有理数乘方，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易遗漏“底数为1”和“底数为-1且指数为偶数”这两种幂为1的情形，很多同学仅根据刚学习的零指数幂性质只得到$x=-3$这一个解，解题时需要完整梳理所有使幂运算结果为1的可能场景，分类讨论后还要验证所得解是否满足对应场景的前提条件，避免出现不符合要求的增根。
【难度系数】
0.5
要解决幂的结果为1的问题，首先需要梳理所有能让$a^b=1$的三类完整情况：第一类是零指数幂规则：非零数的0次幂等于1，即指数$b=0$，同时底数$a≠0$；第二类是1的任意次幂都等于1，即底数$a=1$，此时指数取任意值结果都为1；第三类是-1的偶次幂等于1，即底数$a=-1$，同时指数$b$必须是偶数，运算结果也为1。小丽仅考虑了第一种零指数幂的情况，漏了后两种，我们分这三类情况分别列条件求解，再验证所得的$x$是否满足对应场景的前提，最后汇总所有符合条件的$x$即可。
【解析】
我们分三类情况逐一讨论：
1. 利用非零数的零次幂等于1的性质：
令指数$x+3=0$，同时要求底数$x-2≠0$，
解得$x=-3$，代入底数验证：$x-2=-3-2=-5≠0$，满足条件，此时原式$=(-5)^0=1$，成立。
2. 利用1的任意次幂都等于1的性质：
令底数$x-2=1$，解得$x=3$，
此时指数$x+3=3+3=6$，原式$=1^6=1$，符合条件，成立。
3. 利用-1的偶次幂等于1的性质：
令底数$x-2=-1$，解得$x=1$，
此时指数$x+3=1+3=4$，4是偶数，原式$=(-1)^4=1$，符合条件，成立。
综上，所有满足条件的$x$均已求出。
【答案】
$x$的值为$-3$或$3$或$1$
【知识点】
零指数幂性质，有理数乘方，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易遗漏“底数为1”和“底数为-1且指数为偶数”这两种幂为1的情形，很多同学仅根据刚学习的零指数幂性质只得到$x=-3$这一个解，解题时需要完整梳理所有使幂运算结果为1的可能场景，分类讨论后还要验证所得解是否满足对应场景的前提条件，避免出现不符合要求的增根。
【难度系数】
0.5
