1. 下列计算正确的是()。

A.$3 × (\frac{1}{3})^{-1}=-1$
B.$(-9)^{0}=-1$
C.$3 a^{-2}=\frac{1}{3 a^{2}}(a ≠ 0)$
D.$a^{5} · a^{-3}=a^{5} ÷ a^{3}$

1. D

【分析】
这道题考查幂的相关运算法则，解题思路是逐个对照零指数幂、负整数指数幂、同底数幂乘除的运算规则，对每个选项分别计算验证，排除运算错误的选项，最终选出正确答案。首先回忆核心规则：非零数的-p次幂等于这个数p次幂的倒数，非零数的0次幂等于1，再逐一核对每个选项的计算是否符合规则。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：根据负整数指数幂规则，$(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$，因此$3 × (\frac{1}{3})^{-1}=3×3=9≠-1$，A计算错误。
2. 选项B：根据零指数幂规则，任意非零实数的0次幂都等于1，$(-9)≠0$，因此$(-9)^0=1≠-1$，B计算错误。
3. 选项C：根据负整数指数幂规则，$a^{-2}=\frac{1}{a^2}(a≠0)$，因此$3a^{-2}=3·\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}≠\frac{1}{3a^2}$，C计算错误。
4. 选项D：根据负整数指数幂定义，$a^{-3}=\frac{1}{a^3}(a≠0)$，因此$a^5·a^{-3}=a^5·\frac{1}{a^3}=a^5÷a^3$，D运算成立，计算正确。
【答案】D
【知识点】负整数指数幂，零指数幂，同底数幂运算
【点评】本题属于幂运算的基础辨析题，核心是考察学生对特殊指数幂运算法则的准确记忆，易错点是混淆负指数的倒数对象、错误记忆零指数幂的结果，解题时要严格对照运算法则逐一验证，避免凭直觉判断出错。
【难度系数】0.8

2. 计算：
(1)$a^{2} ÷ a^{5}=$；
(2)$1 ÷ a^{4}=$；
(3)$(-a)^{4} ÷ (-a)^{7}=$；
(4)$-a^{6} ÷ (-a)^{6}=$。

2. (1) $\dfrac{1}{a^{3}}$ (2) $\dfrac{1}{a^{4}}$ (3) $-\dfrac{1}{a^{3}}$ (4) $-1$

【分析】
这道题围绕同底数幂的除法运算展开，解题时首先要回忆两个核心规则：一是同底数幂相除，底数不变、指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a≠0)$；二是负整数指数幂的定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$。计算过程中要注意区分$-a^n$和$(-a)^n$的差异，遇到带负号的底数时先统一底数再运算，避免符号出错，逐个代入规则计算即可得到结果。
【解析】
我们逐个完成4个小题的计算：
(1) 对$a^2÷ a^5$应用同底数幂除法法则，底数$a$不变，指数相减：
$a^2÷ a^5=a^{2-5}=a^{-3}$，转化为正指数形式得$\frac{1}{a^3}$；
(2) 先把1改写为$a^0(a≠0)$，再应用同底数幂除法法则：
$1÷ a^4=a^0÷ a^4=a^{0-4}=a^{-4}$，转化为正指数形式得$\frac{1}{a^4}$；
(3) 统一底数为$(-a)$，应用同底数幂除法法则：
$(-a)^4÷ (-a)^7=(-a)^{4-7}=(-a)^{-3}=\frac{1}{(-a)^3}=-\frac{1}{a^3}$；
(4) 先计算$(-a)^6$，指数6为偶数，因此$(-a)^6=a^6$，再做除法运算：
$-a^6÷ (-a)^6=-a^6÷ a^6=-a^{6-6}=-a^0=-1$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{a^{3}}$ (2) $\dfrac{1}{a^{4}}$ (3) $-\dfrac{1}{a^{3}}$ (4) $-1$
【知识点】
同底数幂除法，负整数指数幂，积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础巩固题，核心考察对同底数幂除法规则的掌握程度，易错点集中在符号处理：要注意$(-a)^n$的符号随指数奇偶性变化的规律，同时区分$-a^n$的负号不属于底数的特点，避免出现符号类计算失误。
【难度系数】
0.8

3. 用小数或分数表示下列各数：
（1）$-5^{-3}$；
（2）$3.14 × 10^{-3}$；
（3）$(-2)^{0} × 10^{-5}$；
（4）$(-\frac{1}{10})^{-2}$。

3. (1) $-\dfrac{1}{125}$ (2) $0.00314$ (3) $\dfrac{1}{100000}$ (4) $100$

（1）$-5^{-3}=-\dfrac{1}{5^{3}}=-\dfrac{1}{125}$
（2）$3.14×10^{-3}=3.14×\dfrac{1}{1000}=0.00314$
（3）$(-2)^{0}×10^{-5}=1×\dfrac{1}{10^{5}}=\dfrac{1}{100000}$
（4）$(-\dfrac{1}{10})^{-2}=(-10)^{2}=100$

4. 计算：
（1）$3^{12} ÷ 3^{15}$；
（2）$(-2)^{-5} · 2^{8}$；
（3）$(-4)^{6} · (-4)^{-9}$；
（4）$(\frac{2}{3})^{-3}$。

4. (1) $\dfrac{1}{27}$ (2) $-8$ (3) $-\dfrac{1}{64}$ (4) $\dfrac{27}{8}$

（1）$3^{12} ÷ 3^{15}=3^{12-15}=3^{-3}=\dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{1}{27}$；
（2）$(-2)^{-5} · 2^{8}=-2^{-5}·2^{8}=-2^{-5+8}=-2^{3}=-8$；
（3）$(-4)^{6} · (-4)^{-9}=(-4)^{6-9}=(-4)^{-3}=-\dfrac{1}{4^{3}}=-\dfrac{1}{64}$；
（4）$(\dfrac{2}{3})^{-3}=(\dfrac{3}{2})^{3}=\dfrac{27}{8}$。

5. 计算：
（1）$(x^{-1})^{2} · x^{-2} ÷ x^{0}$；
（2）$(x^{2} y^{3})^{-2} · (x y^{2}) ÷ (x^{2} y)^{-1}$。

5. 解：(1) 原式$=\dfrac{1}{x^{4}}$。(2) 原式$=\dfrac{1}{xy^{2}}$。

5. 解：(1) 原式$=x^{-2}·x^{-2}÷1=x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}$。
(2) 原式$=x^{-4}y^{-6}·xy^{2}÷x^{-2}y^{-1}=x^{-4+1+2}y^{-6+2+1}=x^{-1}y^{-2}=\dfrac{1}{xy^{2}}$。