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例 计算：（1）$(π - 3)^{0}×\frac{1}{8}×(-\frac{1}{2})^{-3}$；
（2）$π^{0}×9×(\frac{1}{3})^{-2}×(-2)^{0}$。
（2）$π^{0}×9×(\frac{1}{3})^{-2}×(-2)^{0}$。
答案
（1）原式 $= (π - 3)^{0} × \frac{1}{8} × (-\frac{1}{2})^{-3}$
$= 1 × \frac{1}{8} × \frac{1}{(-\frac{1}{8})}$
$ = 1 × \frac{1}{8} × (-8)$
$ = -1$
（2）原式 $= π^{0} × 9 × (\frac{1}{3})^{-2} × (-2)^{0}$
$= 1 × 9 × 9 × 1$
$ = 81$
$= 1 × \frac{1}{8} × \frac{1}{(-\frac{1}{8})}$
$ = 1 × \frac{1}{8} × (-8)$
$ = -1$
（2）原式 $= π^{0} × 9 × (\frac{1}{3})^{-2} × (-2)^{0}$
$= 1 × 9 × 9 × 1$
$ = 81$
解析
【分析】
这道题的核心是运用零指数幂、负整数指数幂的运算法则化简计算，解题思路如下：1. 首先回忆两个核心运算法则：①任意非零实数的0次幂结果为1；②任意非零实数a的-p次幂（p为正整数）等于a的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$。2. 先逐个识别算式中的零指数项，直接将其替换为1，简化算式。3. 再将所有负整数指数幂按照规则转化为正指数幂的常规运算，算出对应项的数值。4. 最后按照有理数乘法的运算顺序，依次相乘得到最终结果，注意底数带负号的负指数幂不要遗漏符号。
【解析】
（1）计算$(π - 3)^{0}×\frac{1}{8}×(-\frac{1}{2})^{-3}$：
第一步：处理零指数幂，因为$π-3≠0$，所以$(π-3)^0=1$；
第二步：处理负指数幂，$(-\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^3}=\frac{1}{-\frac{1}{8}}=-8$；
第三步：代入原式做乘法运算：
原式$=1 × \frac{1}{8} × (-8) = -1$。
（2）计算$π^{0}×9×(\frac{1}{3})^{-2}×(-2)^{0}$：
第一步：处理所有零指数幂，$π≠0$，$-2≠0$，因此$π^0=1$，$(-2)^0=1$；
第二步：处理负指数幂，$(\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$；
第三步：代入原式做乘法运算：
原式$=1 × 9 × 9 × 1 = 81$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-1}$；（2）$\boldsymbol{81}$
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，有理数乘法
【点评】
本题属于指数运算的基础巩固题型，重点考察对零指数、负指数基本运算法则的掌握程度，易错点是计算带负号底数的负指数幂时容易遗漏符号，只要牢记运算法则、分步计算就可以避免出错，是后续学习整式指数运算的必备基础题。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是运用零指数幂、负整数指数幂的运算法则化简计算，解题思路如下：1. 首先回忆两个核心运算法则：①任意非零实数的0次幂结果为1；②任意非零实数a的-p次幂（p为正整数）等于a的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$。2. 先逐个识别算式中的零指数项，直接将其替换为1，简化算式。3. 再将所有负整数指数幂按照规则转化为正指数幂的常规运算，算出对应项的数值。4. 最后按照有理数乘法的运算顺序，依次相乘得到最终结果，注意底数带负号的负指数幂不要遗漏符号。
【解析】
（1）计算$(π - 3)^{0}×\frac{1}{8}×(-\frac{1}{2})^{-3}$：
第一步：处理零指数幂，因为$π-3≠0$，所以$(π-3)^0=1$；
第二步：处理负指数幂，$(-\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^3}=\frac{1}{-\frac{1}{8}}=-8$；
第三步：代入原式做乘法运算：
原式$=1 × \frac{1}{8} × (-8) = -1$。
（2）计算$π^{0}×9×(\frac{1}{3})^{-2}×(-2)^{0}$：
第一步：处理所有零指数幂，$π≠0$，$-2≠0$，因此$π^0=1$，$(-2)^0=1$；
第二步：处理负指数幂，$(\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$；
第三步：代入原式做乘法运算：
原式$=1 × 9 × 9 × 1 = 81$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-1}$；（2）$\boldsymbol{81}$
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，有理数乘法
【点评】
本题属于指数运算的基础巩固题型，重点考察对零指数、负指数基本运算法则的掌握程度，易错点是计算带负号底数的负指数幂时容易遗漏符号，只要牢记运算法则、分步计算就可以避免出错，是后续学习整式指数运算的必备基础题。
【难度系数】
0.8
1. 在括号内分别填写各式成立的条件：
(1)$x^{0}=1$(
(2)$(y - 2)^{0}=1$(
(3)$(a - b)^{0}=1$(
(4)$(x + 3)^{-1}=\frac{1}{x + 3}$(
(1)$x^{0}=1$(
$ x ≠ 0 $
)；(2)$(y - 2)^{0}=1$(
$ y ≠ 2 $
)；(3)$(a - b)^{0}=1$(
$ a ≠ b $
)；(4)$(x + 3)^{-1}=\frac{1}{x + 3}$(
$ x ≠ -3 $
)。答案
1. (1) $ x ≠ 0 $ (2) $ y ≠ 2 $ (3) $ a ≠ b $ (4) $ x ≠ -3 $
解析
1. (1) $ x ≠ 0 $
(2) $ y ≠ 2 $
(3) $ a ≠ b $
(4) $ x ≠ -3 $
(2) $ y ≠ 2 $
(3) $ a ≠ b $
(4) $ x ≠ -3 $
2. $(-0.5)^{-2}$等于(
A.1
B.4
C.$-4$
D.0.25
B
)。A.1
B.4
C.$-4$
D.0.25
答案
2. B
解析
$(-0.5)^{-2}=(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4$，答案选B。
3. $(3^{3}-3×9)^{0}$等于(
A.1
B.0
C.12
D.无意义
D
)。A.1
B.0
C.12
D.无意义
答案
3. D
解析
先计算底数：$3^{3}-3×9=27 - 27=0$。因为$0^0$无意义，所以$(3^{3}-3×9)^{0}$无意义。
D
D
4. $(-\frac{1}{3})^{-1}$的计算结果为(
A.1
B.3
C.$\frac{1}{3}$
D.$-3$
D
)。A.1
B.3
C.$\frac{1}{3}$
D.$-3$
答案
4. D
解析
$(-\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3$，答案选D。
5. 下列计算正确的是(
A.$0.01^{0}=0$
B.$(-0.1)^{0}=-0.1$
C.$(10 - 5×2)^{0}=1$
D.$10^{0}=1$
D
)。A.$0.01^{0}=0$
B.$(-0.1)^{0}=-0.1$
C.$(10 - 5×2)^{0}=1$
D.$10^{0}=1$
答案
5. D
解析
【分析】
这道题考查零指数幂的相关计算，解题的核心思路是先牢记零指数幂的运算法则：只有非零实数的0次幂结果为1，若底数为0则0次幂无意义。我们只需要逐个验证四个选项，先判断每个选项的底数是否不为0，再对照规则判断计算结果是否正确，就能选出正确答案。
【解析】
根据零指数幂的定义：对任意非零实数a，都有$a^0=1$，0的0次幂无意义，逐一分析选项：
1. 分析选项A：底数$0.01≠0$，因此$0.01^0=1$，并非等于0，A选项计算错误；
2. 分析选项B：底数$-0.1≠0$，因此$(-0.1)^0=1$，并非等于$-0.1$，B选项计算错误；
3. 分析选项C：先计算括号内的底数：$10 - 5×2 = 10 - 10 = 0$，底数为0，该式无意义，不可能等于1，C选项计算错误；
4. 分析选项D：底数$10≠0$，因此$10^0=1$，计算结果正确，D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是很多同学忽略零指数幂要求底数不能为0的前提，直接默认所有数的0次幂都等于1，容易误选C选项，解题时要先计算出底数的具体数值，确认底数不为0之后再套用零指数幂的结论。
【难度系数】
0.9
这道题考查零指数幂的相关计算，解题的核心思路是先牢记零指数幂的运算法则：只有非零实数的0次幂结果为1，若底数为0则0次幂无意义。我们只需要逐个验证四个选项，先判断每个选项的底数是否不为0，再对照规则判断计算结果是否正确，就能选出正确答案。
【解析】
根据零指数幂的定义：对任意非零实数a，都有$a^0=1$，0的0次幂无意义，逐一分析选项：
1. 分析选项A：底数$0.01≠0$，因此$0.01^0=1$，并非等于0，A选项计算错误；
2. 分析选项B：底数$-0.1≠0$，因此$(-0.1)^0=1$，并非等于$-0.1$，B选项计算错误；
3. 分析选项C：先计算括号内的底数：$10 - 5×2 = 10 - 10 = 0$，底数为0，该式无意义，不可能等于1，C选项计算错误；
4. 分析选项D：底数$10≠0$，因此$10^0=1$，计算结果正确，D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是很多同学忽略零指数幂要求底数不能为0的前提，直接默认所有数的0次幂都等于1，容易误选C选项，解题时要先计算出底数的具体数值，确认底数不为0之后再套用零指数幂的结论。
【难度系数】
0.9
6. 若$a = - 2^{2}$，$b = (π - 3)^{0}$，$c = (\frac{1}{3})^{-2}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为(
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$b ＜ c ＜ a$
A
)。A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$b ＜ c ＜ a$
答案
6. A
解析
$a=-2^{2}=-4$，$b=(π-3)^{0}=1$，$c=(\frac{1}{3})^{-2}=9$，因为$-4＜1＜9$，所以$a＜b＜c$。
7. (1)若$2^{x}=\frac{1}{32}$，则$x =$
(2)若$2(3x - 6)^{-2}$有意义，则$x$满足的条件是
$ -5 $
。(2)若$2(3x - 6)^{-2}$有意义，则$x$满足的条件是
$ x ≠ 2 $
。答案
7. (1) $ -5 $ (2) $ x ≠ 2 $
解析
【分析】
我们分两小问逐步思考：第一问是解底数为2的指数方程，思路是先把等式右侧的常数转化为和左侧同底数（底数为2）的幂的形式，利用“底数不为0、1、-1的同底数幂相等时，对应指数相等”的性质，直接匹配得到x的值；第二问考察负整数指数幂有意义的条件，根据负指数幂的定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，要求分母不能为0，也就是底数$a≠0$，因此只需令负指数的底数$3x-6$不等于0，解这个不等式就能得到x的取值条件。
【解析】
(1) 对等式右侧的数做变形：因为$32=2^5$，因此$\frac{1}{32}=\frac{1}{2^5}=2^{-5}$，代入原式得$2^x=2^{-5}$，由于底数2不为0、1、-1，因此指数对应相等，可得$x=-5$。
(2) 负整数指数幂的底数不能为0，否则表达式无意义，因此本题中需满足$3x-6≠0$，移项计算得$3x≠6$，即$x≠2$。
【答案】
(1) $ -5 $ (2) $ x ≠ 2 $
【知识点】
1. 有理数指数幂运算
2. 负指数幂有意义的条件
【点评】
本题是指数章节的基础入门题型，重点考察对指数基础概念的识记和简单应用，第一问需要熟练掌握正整数幂和负整数幂的互化规则，第二问的易错点是容易忽略负指数幂的底数不能为0的限制，解不等式时出现计算失误，整体考察内容非常基础。
【难度系数】
0.9
我们分两小问逐步思考：第一问是解底数为2的指数方程，思路是先把等式右侧的常数转化为和左侧同底数（底数为2）的幂的形式，利用“底数不为0、1、-1的同底数幂相等时，对应指数相等”的性质，直接匹配得到x的值；第二问考察负整数指数幂有意义的条件，根据负指数幂的定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，要求分母不能为0，也就是底数$a≠0$，因此只需令负指数的底数$3x-6$不等于0，解这个不等式就能得到x的取值条件。
【解析】
(1) 对等式右侧的数做变形：因为$32=2^5$，因此$\frac{1}{32}=\frac{1}{2^5}=2^{-5}$，代入原式得$2^x=2^{-5}$，由于底数2不为0、1、-1，因此指数对应相等，可得$x=-5$。
(2) 负整数指数幂的底数不能为0，否则表达式无意义，因此本题中需满足$3x-6≠0$，移项计算得$3x≠6$，即$x≠2$。
【答案】
(1) $ -5 $ (2) $ x ≠ 2 $
【知识点】
1. 有理数指数幂运算
2. 负指数幂有意义的条件
【点评】
本题是指数章节的基础入门题型，重点考察对指数基础概念的识记和简单应用，第一问需要熟练掌握正整数幂和负整数幂的互化规则，第二问的易错点是容易忽略负指数幂的底数不能为0的限制，解不等式时出现计算失误，整体考察内容非常基础。
【难度系数】
0.9
8. 用小数或分数表示下列各数：
（1）$2.6×10^{-2}$；
（2）$(-\frac{2}{3})^{-1}$。
（1）$2.6×10^{-2}$；
（2）$(-\frac{2}{3})^{-1}$。
答案
8. 解：(1) 原式 $ = 0.026 $。 (2) 原式 $ = -\frac{3}{2} $。
解析
【分析】
这道题考察负指数相关的基础运算，我们可以分两小问逐个处理：第一问是用科学记数法表示的绝对值较小的数，要把它还原成普通小数，思路是10的负n次幂等价于1前面有n个0的小数，这里指数是-2，就把2.6的小数点向左移动2位就能得到结果；第二问是-1次幂的运算，根据负整数指数幂的规则，非零数的-1次幂等于这个数的倒数，直接求底数的倒数即可，注意不要漏掉原底数的负号。
【解析】
（1）计算$2.6×10^{-2}$：
根据负整数指数幂的定义，$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0.01$，
代入得原式$=2.6×0.01=0.026$；
（2）计算$(-\frac{2}{3})^{-1}$：
根据负整数指数幂的运算规则：对任意非零实数$a$，有$a^{-1}=\frac{1}{a}$，
代入得原式$=\frac{1}{-\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $0.026$；(2) $-\frac{3}{2}$
【知识点】
负整数指数幂，科学记数法还原
【点评】
本题属于基础运算题，核心是考察对负指数幂基本规则的掌握，解题时要注意两个易错点：一是还原10的负指数对应的小数时，小数点移动的位数不要数错；二是负数的负指数运算不要遗漏原有的负号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
这道题考察负指数相关的基础运算，我们可以分两小问逐个处理：第一问是用科学记数法表示的绝对值较小的数，要把它还原成普通小数，思路是10的负n次幂等价于1前面有n个0的小数，这里指数是-2，就把2.6的小数点向左移动2位就能得到结果；第二问是-1次幂的运算，根据负整数指数幂的规则，非零数的-1次幂等于这个数的倒数，直接求底数的倒数即可，注意不要漏掉原底数的负号。
【解析】
（1）计算$2.6×10^{-2}$：
根据负整数指数幂的定义，$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0.01$，
代入得原式$=2.6×0.01=0.026$；
（2）计算$(-\frac{2}{3})^{-1}$：
根据负整数指数幂的运算规则：对任意非零实数$a$，有$a^{-1}=\frac{1}{a}$，
代入得原式$=\frac{1}{-\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $0.026$；(2) $-\frac{3}{2}$
【知识点】
负整数指数幂，科学记数法还原
【点评】
本题属于基础运算题，核心是考察对负指数幂基本规则的掌握，解题时要注意两个易错点：一是还原10的负指数对应的小数时，小数点移动的位数不要数错；二是负数的负指数运算不要遗漏原有的负号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
