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6. 若 $ 3^{m} = 4 $，$ 3^{n} = 5 $，则 $ 3^{3m - 2n} $ 的值为
$\frac{64}{25}$
。答案
6. $\frac{64}{25}$
解析
解：因为$3^{m} = 4$，$3^{n} = 5$，
所以$3^{3m}=(3^{m})^{3}=4^{3}=64$，$3^{2n}=(3^{n})^{2}=5^{2}=25$，
则$3^{3m - 2n}=\frac{3^{3m}}{3^{2n}}=\frac{64}{25}$。
$\frac{64}{25}$
所以$3^{3m}=(3^{m})^{3}=4^{3}=64$，$3^{2n}=(3^{n})^{2}=5^{2}=25$，
则$3^{3m - 2n}=\frac{3^{3m}}{3^{2n}}=\frac{64}{25}$。
$\frac{64}{25}$
7. 计算：$ (-bc)^{4} ÷ (bc)^{2} = $
$b^{2}c^{2}$
。答案
7. $b^{2}c^{2}$
解析
$(-bc)^{4} ÷ (bc)^{2} = (b^{4}c^{4}) ÷ (b^{2}c^{2}) = b^{4-2}c^{4-2} = b^{2}c^{2}$
8. 若 $ x^{a} = 2 $，$ x^{b} = 3 $，则 $ x^{a - b} $ 的值等于
$\frac{2}{3}$
。答案
8. $\frac{2}{3}$
解析
$x^{a - b} = x^a ÷ x^b = 2 ÷ 3 = \frac{2}{3}$
9. 若 $ 9^{m + 3} × 27^{m + 1} ÷ 3^{4m + 7} = 81 $，则 $ m = $
2
。答案
9. 2
解析
$9^{m + 3} × 27^{m + 1} ÷ 3^{4m + 7}$
$=(3^2)^{m + 3} × (3^3)^{m + 1} ÷ 3^{4m + 7}$
$=3^{2(m + 3)} × 3^{3(m + 1)} ÷ 3^{4m + 7}$
$=3^{2m + 6 + 3m + 3 - (4m + 7)}$
$=3^{m + 2}$
因为$3^{m + 2} = 81 = 3^4$，所以$m + 2 = 4$，解得$m = 2$。
2
$=(3^2)^{m + 3} × (3^3)^{m + 1} ÷ 3^{4m + 7}$
$=3^{2(m + 3)} × 3^{3(m + 1)} ÷ 3^{4m + 7}$
$=3^{2m + 6 + 3m + 3 - (4m + 7)}$
$=3^{m + 2}$
因为$3^{m + 2} = 81 = 3^4$，所以$m + 2 = 4$，解得$m = 2$。
2
10. 化简：
（1）$ (-ab)^{7} ÷ (-ab)^{2} ÷ (-ab)^{2} $；
（2）$ (a^{2})^{3} · (a^{2})^{4} ÷ (a^{2})^{5} $；
（3）$ (p - q)^{4} ÷ (q - p)^{3} $；
（4）$ x^{2} · x^{6} - (-2x^{4})^{2} + 5x^{13} ÷ x^{5} $。
（1）$ (-ab)^{7} ÷ (-ab)^{2} ÷ (-ab)^{2} $；
（2）$ (a^{2})^{3} · (a^{2})^{4} ÷ (a^{2})^{5} $；
（3）$ (p - q)^{4} ÷ (q - p)^{3} $；
（4）$ x^{2} · x^{6} - (-2x^{4})^{2} + 5x^{13} ÷ x^{5} $。
答案
10. 解：（1）$(-ab)^{7}÷ (-ab)^{2}÷ (-ab)^{2}$
$=(-ab)^{7 - 2 - 2}$
$=(-ab)^{3}$
$=-a^{3}b^{3}$。
（2）$(a^{2})^{3}· (a^{2})^{4}÷ (a^{2})^{5}$
$=a^{6}· a^{8}÷ a^{10}$
$=a^{6 + 8 - 10}$
$=a^{4}$。
（3）$(p - q)^{4}÷ (q - p)^{3}$
$=(q - p)^{4}÷ (q - p)^{3}$
$=q - p$。
（4）$x^{2}· x^{6}-(-2x^{4})^{2}+5x^{13}÷ x^{5}$
$=x^{8}-4x^{8}+5x^{8}$
$=2x^{8}$。
$=(-ab)^{7 - 2 - 2}$
$=(-ab)^{3}$
$=-a^{3}b^{3}$。
（2）$(a^{2})^{3}· (a^{2})^{4}÷ (a^{2})^{5}$
$=a^{6}· a^{8}÷ a^{10}$
$=a^{6 + 8 - 10}$
$=a^{4}$。
（3）$(p - q)^{4}÷ (q - p)^{3}$
$=(q - p)^{4}÷ (q - p)^{3}$
$=q - p$。
（4）$x^{2}· x^{6}-(-2x^{4})^{2}+5x^{13}÷ x^{5}$
$=x^{8}-4x^{8}+5x^{8}$
$=2x^{8}$。
解析
【分析】
这是整式幂运算的基础化简题，我们可以结合每小问的特征对应幂的运算法则逐步求解：
1. 第(1)问三个运算的底数都是-ab，属于同底数幂连除，直接套用同底数幂除法法则让指数依次相减，最后展开积的乘方即可。
2. 第(2)问所有项的底数都是a，先根据幂的乘方法则把每个括号内的指数相乘，再依次用同底数幂乘法、除法法则对指数做加减运算。
3. 第(3)问两个底数p-q和q-p互为相反数，首先利用偶次幂的性质将(p-q)^4转化为(q-p)^4，统一底数后再用同底数幂除法法则计算。
4. 第(4)问是幂的混合运算，按照运算优先级，先分别计算同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法，最后合并同类项得到结果。
【解析】
我们逐小问进行规范化简：
(1) 对于$(-ab)^{7} ÷ (-ab)^{2} ÷ (-ab)^{2}$，根据同底数幂除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$：
原式$=(-ab)^{7-2-2}$
$=(-ab)^3$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$展开得：
$=-a^3b^3$
(2) 对于$(a^{2})^{3} · (a^{2})^{4} ÷ (a^{2})^{5}$，先根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算每一项：
原式$=a^{2×3} · a^{2×4} ÷ a^{2×5}$
$=a^6 · a^8 ÷ a^{10}$
再根据同底数幂乘除法则对指数做加减运算：
$=a^{6+8-10}$
$=a^4$
(3) 对于$(p - q)^{4} ÷ (q - p)^{3}$，利用偶次幂性质：$(p-q)^4=[-(q-p)]^4=(q-p)^4$，统一底数：
原式$=(q-p)^4 ÷ (q-p)^3$
根据同底数幂除法法则计算：
$=(q-p)^{4-3}$
$=q-p$
(4) 对于$x^{2} · x^{6} - (-2x^{4})^{2} + 5x^{13} ÷ x^{5}$，分别计算三项：
第一项同底数幂相乘：$x^2· x^6=x^{2+6}=x^8$
第二项积的乘方：$(-2x^4)^2=(-2)^2· (x^4)^2=4x^8$
第三项同底数幂相除：$5x^{13}÷ x^5=5x^{13-5}=5x^8$
代入原式合并同类项：
原式$=x^8 -4x^8 +5x^8$
$=2x^8$
【答案】
(1) $-a^3b^3$；(2) $a^4$；(3) $q-p$；(4) $2x^8$
【知识点】
同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题是整式幂运算的基础巩固题，覆盖了幂运算的核心基础规则，其中第(3)问需要将互为相反数的底数转化为同底数，是高频易错点，第(4)问的混合运算需要注意运算顺序和符号处理，能有效帮助学生夯实幂运算的计算能力。
【难度系数】
0.8
这是整式幂运算的基础化简题，我们可以结合每小问的特征对应幂的运算法则逐步求解：
1. 第(1)问三个运算的底数都是-ab，属于同底数幂连除，直接套用同底数幂除法法则让指数依次相减，最后展开积的乘方即可。
2. 第(2)问所有项的底数都是a，先根据幂的乘方法则把每个括号内的指数相乘，再依次用同底数幂乘法、除法法则对指数做加减运算。
3. 第(3)问两个底数p-q和q-p互为相反数，首先利用偶次幂的性质将(p-q)^4转化为(q-p)^4，统一底数后再用同底数幂除法法则计算。
4. 第(4)问是幂的混合运算，按照运算优先级，先分别计算同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法，最后合并同类项得到结果。
【解析】
我们逐小问进行规范化简：
(1) 对于$(-ab)^{7} ÷ (-ab)^{2} ÷ (-ab)^{2}$，根据同底数幂除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$：
原式$=(-ab)^{7-2-2}$
$=(-ab)^3$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$展开得：
$=-a^3b^3$
(2) 对于$(a^{2})^{3} · (a^{2})^{4} ÷ (a^{2})^{5}$，先根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算每一项：
原式$=a^{2×3} · a^{2×4} ÷ a^{2×5}$
$=a^6 · a^8 ÷ a^{10}$
再根据同底数幂乘除法则对指数做加减运算：
$=a^{6+8-10}$
$=a^4$
(3) 对于$(p - q)^{4} ÷ (q - p)^{3}$，利用偶次幂性质：$(p-q)^4=[-(q-p)]^4=(q-p)^4$，统一底数：
原式$=(q-p)^4 ÷ (q-p)^3$
根据同底数幂除法法则计算：
$=(q-p)^{4-3}$
$=q-p$
(4) 对于$x^{2} · x^{6} - (-2x^{4})^{2} + 5x^{13} ÷ x^{5}$，分别计算三项：
第一项同底数幂相乘：$x^2· x^6=x^{2+6}=x^8$
第二项积的乘方：$(-2x^4)^2=(-2)^2· (x^4)^2=4x^8$
第三项同底数幂相除：$5x^{13}÷ x^5=5x^{13-5}=5x^8$
代入原式合并同类项：
原式$=x^8 -4x^8 +5x^8$
$=2x^8$
【答案】
(1) $-a^3b^3$；(2) $a^4$；(3) $q-p$；(4) $2x^8$
【知识点】
同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题是整式幂运算的基础巩固题，覆盖了幂运算的核心基础规则，其中第(3)问需要将互为相反数的底数转化为同底数，是高频易错点，第(4)问的混合运算需要注意运算顺序和符号处理，能有效帮助学生夯实幂运算的计算能力。
【难度系数】
0.8
11. 已知 $ a^{m} = 2 $，$ a^{n} = 4 $，$ a^{k} = 32 $，求 $ a^{2m + 3n - k} $ 的值。
答案
11. 解：因为$a^{m}=2$，$a^{n}=4$，$a^{k}=32$，
所以$a^{2m + 3n - k}$
$=a^{2m}· a^{3n}÷ a^{k}$
$=(a^{m})^{2}· (a^{n})^{3}÷ a^{k}$
$=2^{2}× 4^{3}÷ 32$
$=2^{2}× 2^{6}÷ 2^{5}$
$=2^{8}÷ 2^{5}$
$=2^{3}$
$=8$。
所以$a^{2m + 3n - k}$
$=a^{2m}· a^{3n}÷ a^{k}$
$=(a^{m})^{2}· (a^{n})^{3}÷ a^{k}$
$=2^{2}× 4^{3}÷ 32$
$=2^{2}× 2^{6}÷ 2^{5}$
$=2^{8}÷ 2^{5}$
$=2^{3}$
$=8$。
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用幂的运算法则，将待求的指数为和差形式的幂，拆解为已知条件中给出的$a^m$、$a^n$、$a^k$的组合形式，不需要单独求解a、m、n、k的具体数值，通过整体代入的方法计算结果。首先回忆对应运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减；幂的乘方，指数相乘。先把$a^{2m+3n-k}$拆成$a^{2m} · a^{3n} ÷ a^k$，再把指数的倍数形式转化为幂的乘方，也就是$(a^m)^2 · (a^n)^3 ÷ a^k$，最后把已知数值代入，还可以统一底数为2简化运算，避免大数计算出错。
【解析】
解：已知$a^{m}=2$，$a^{n}=4$，$a^{k}=32$，根据幂的运算法则对所求式子逐步变形：
1. 利用同底数幂的乘除法则，将指数的和差关系转化为幂的乘除关系：
$a^{2m + 3n - k} = a^{2m} · a^{3n} ÷ a^{k}$
2. 利用幂的乘方法则，将指数的倍数形式转化为幂的乘方形式：
$a^{2m}=(a^m)^2$，$a^{3n}=(a^n)^3$，因此原式可改写为：
$=(a^{m})^{2} · (a^{n})^{3} ÷ a^{k}$
3. 代入已知的幂的取值：
$=2^{2}× 4^{3}÷ 32$
4. 统一转化为以2为底的幂简化运算：
由于$4=2^2$，$32=2^5$，代入得：
$=2^{2}× (2^2)^{3}÷ 2^{5}$
$=2^{2}× 2^{6}÷ 2^{5}$
5. 再次利用同底数幂的乘除法则合并指数计算：
$=2^{2+6-5}=2^3=8$
【答案】
8
【知识点】
同底数幂乘法，同底数幂除法，幂的乘方
【点评】
本题是幂运算章节的经典基础题，重点考察对三类幂运算法则的熟练掌握，核心运用了整体代换的数学思想，不需要单独求解各个字母的取值，直接将待求式拆解为已知幂的组合即可快速计算，将所有底数统一为2的运算技巧可以有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
这道题的核心思路是利用幂的运算法则，将待求的指数为和差形式的幂，拆解为已知条件中给出的$a^m$、$a^n$、$a^k$的组合形式，不需要单独求解a、m、n、k的具体数值，通过整体代入的方法计算结果。首先回忆对应运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减；幂的乘方，指数相乘。先把$a^{2m+3n-k}$拆成$a^{2m} · a^{3n} ÷ a^k$，再把指数的倍数形式转化为幂的乘方，也就是$(a^m)^2 · (a^n)^3 ÷ a^k$，最后把已知数值代入，还可以统一底数为2简化运算，避免大数计算出错。
【解析】
解：已知$a^{m}=2$，$a^{n}=4$，$a^{k}=32$，根据幂的运算法则对所求式子逐步变形：
1. 利用同底数幂的乘除法则，将指数的和差关系转化为幂的乘除关系：
$a^{2m + 3n - k} = a^{2m} · a^{3n} ÷ a^{k}$
2. 利用幂的乘方法则，将指数的倍数形式转化为幂的乘方形式：
$a^{2m}=(a^m)^2$，$a^{3n}=(a^n)^3$，因此原式可改写为：
$=(a^{m})^{2} · (a^{n})^{3} ÷ a^{k}$
3. 代入已知的幂的取值：
$=2^{2}× 4^{3}÷ 32$
4. 统一转化为以2为底的幂简化运算：
由于$4=2^2$，$32=2^5$，代入得：
$=2^{2}× (2^2)^{3}÷ 2^{5}$
$=2^{2}× 2^{6}÷ 2^{5}$
5. 再次利用同底数幂的乘除法则合并指数计算：
$=2^{2+6-5}=2^3=8$
【答案】
8
【知识点】
同底数幂乘法，同底数幂除法，幂的乘方
【点评】
本题是幂运算章节的经典基础题，重点考察对三类幂运算法则的熟练掌握，核心运用了整体代换的数学思想，不需要单独求解各个字母的取值，直接将待求式拆解为已知幂的组合即可快速计算，将所有底数统一为2的运算技巧可以有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
12.（1）若 $ 2x - 3y = 4 $，求 $ 4^{x} ÷ 8^{y} $ 的值。
（2）已知 $ 16^{m} ÷ 8^{m - 1} ÷ 4 = 32 $，求 $ m $ 的值。
（2）已知 $ 16^{m} ÷ 8^{m - 1} ÷ 4 = 32 $，求 $ m $ 的值。
答案
12. 解：（1）$4^{x}÷ 8^{y}=(2^{2})^{x}÷ (2^{3})^{y}=2^{2x - 3y}$。
当$2x - 3y = 4$时，原式$=2^{4}=16$。
（2）$16^{m}÷ 8^{m - 1}÷ 4$
$=(2^{4})^{m}÷ (2^{3})^{m - 1}÷ 2^{2}$
$=2^{4m}÷ 2^{3m - 3}÷ 2^{2}$
$=2^{4m - 3m + 3 - 2}$
$=2^{m + 1}$，
所以$2^{m + 1}=32 = 2^{5}$。
所以$m = 4$。
当$2x - 3y = 4$时，原式$=2^{4}=16$。
（2）$16^{m}÷ 8^{m - 1}÷ 4$
$=(2^{4})^{m}÷ (2^{3})^{m - 1}÷ 2^{2}$
$=2^{4m}÷ 2^{3m - 3}÷ 2^{2}$
$=2^{4m - 3m + 3 - 2}$
$=2^{m + 1}$，
所以$2^{m + 1}=32 = 2^{5}$。
所以$m = 4$。
解析
【分析】
这道题的核心解题思路是统一底数，利用幂的相关运算法则简化计算，避免直接求解x、y、m的复杂运算：
1. 第（1）问：观察到4和8都可以转化为以2为底的幂，先把4^x和8^y分别改写为(2²)^x和(2³)^y，结合同底数幂除法的运算法则，将运算结果的指数合并为2x-3y，刚好题目已经给出2x-3y=4，直接整体代入即可算出结果，不需要单独求x和y的值。
2. 第（2）问：同样把等式左边的16、8、4，右边的32全部转化为以2为底的幂，依次用幂的乘方、同底数幂除法法则化简左边的表达式，得到形如2^(m+1)的结果，再根据“底数相同的幂相等时，指数必然相等”的性质，列出关于m的一元一次方程，解方程就能得到m的值。
【解析】
（1）先对所求式子做底数统一变形：
$\begin{aligned}4^{x} ÷ 8^{y}&=(2^2)^x ÷ (2^3)^y\\&=2^{2x} ÷ 2^{3y}\\&=2^{2x-3y}\end{aligned}$
已知条件给出$2x - 3y = 4$，将其整体代入上式：
原式$=2^4 = 16$。
（2）对等式左右两边全部统一为以2为底的幂：
$\begin{aligned}16^{m} ÷ 8^{m - 1} ÷ 4&=(2^4)^m ÷ (2^3)^{m-1} ÷ 2^2\\&=2^{4m} ÷ 2^{3m-3} ÷ 2^2\\&=2^{4m-(3m-3)-2}\\&=2^{m+1}\end{aligned}$
已知原式右边为32，而$32=2^5$，因此等式变为：
$2^{m+1}=2^5$
根据同底数幂相等则指数相等，可得：
$m+1=5$
解得$m=4$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{16}$；（2）$\boldsymbol{m=4}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂除法，同底数幂指数性质
【点评】
本题是幂运算章节的经典基础题型，重点考察学生对幂的运算法则的熟练应用，核心技巧是通过统一底数实现简化运算，第一问用到了整体代入的思想，避免了无需求解的变量计算，第二问通过幂的性质将指数方程转化为一元一次方程求解，易错点是同底数幂做除法时指数的符号处理，去括号时注意变号。
【难度系数】
0.7
这道题的核心解题思路是统一底数，利用幂的相关运算法则简化计算，避免直接求解x、y、m的复杂运算：
1. 第（1）问：观察到4和8都可以转化为以2为底的幂，先把4^x和8^y分别改写为(2²)^x和(2³)^y，结合同底数幂除法的运算法则，将运算结果的指数合并为2x-3y，刚好题目已经给出2x-3y=4，直接整体代入即可算出结果，不需要单独求x和y的值。
2. 第（2）问：同样把等式左边的16、8、4，右边的32全部转化为以2为底的幂，依次用幂的乘方、同底数幂除法法则化简左边的表达式，得到形如2^(m+1)的结果，再根据“底数相同的幂相等时，指数必然相等”的性质，列出关于m的一元一次方程，解方程就能得到m的值。
【解析】
（1）先对所求式子做底数统一变形：
$\begin{aligned}4^{x} ÷ 8^{y}&=(2^2)^x ÷ (2^3)^y\\&=2^{2x} ÷ 2^{3y}\\&=2^{2x-3y}\end{aligned}$
已知条件给出$2x - 3y = 4$，将其整体代入上式：
原式$=2^4 = 16$。
（2）对等式左右两边全部统一为以2为底的幂：
$\begin{aligned}16^{m} ÷ 8^{m - 1} ÷ 4&=(2^4)^m ÷ (2^3)^{m-1} ÷ 2^2\\&=2^{4m} ÷ 2^{3m-3} ÷ 2^2\\&=2^{4m-(3m-3)-2}\\&=2^{m+1}\end{aligned}$
已知原式右边为32，而$32=2^5$，因此等式变为：
$2^{m+1}=2^5$
根据同底数幂相等则指数相等，可得：
$m+1=5$
解得$m=4$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{16}$；（2）$\boldsymbol{m=4}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂除法，同底数幂指数性质
【点评】
本题是幂运算章节的经典基础题型，重点考察学生对幂的运算法则的熟练应用，核心技巧是通过统一底数实现简化运算，第一问用到了整体代入的思想，避免了无需求解的变量计算，第二问通过幂的性质将指数方程转化为一元一次方程求解，易错点是同底数幂做除法时指数的符号处理，去括号时注意变号。
【难度系数】
0.7
