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4. 如图，将一根底面周长是62.8 cm，长是1 m的圆柱形木料截成长短不一的两段，你能求出这两段木料的表面积之和吗？写出思考过程。
答案
4. $1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$
$62.8÷3.14÷2=10\ (\mathrm{cm})$
$3.14×10^{2}×4=1256\ (\mathrm{cm}^{2})$
$62.8×100=6280\ (\mathrm{cm}^{2})$
$1256+6280=7536\ (\mathrm{cm}^{2})$
$62.8÷3.14÷2=10\ (\mathrm{cm})$
$3.14×10^{2}×4=1256\ (\mathrm{cm}^{2})$
$62.8×100=6280\ (\mathrm{cm}^{2})$
$1256+6280=7536\ (\mathrm{cm}^{2})$
解析
【分析】
首先明确，将圆柱形木料截成两段后，两段木料的表面积之和等于原来圆柱的侧面积加上4个底面的面积（原来圆柱有2个底面，截断后新增了2个底面）。解题思路如下：第一步统一单位，把长的单位米换算成厘米；第二步根据底面周长求出底面半径；第三步计算4个底面的总面积；第四步计算原来圆柱的侧面积；最后把4个底面的总面积和侧面积相加，得到两段木料的表面积之和。
【解析】
1. 单位换算：$1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$
2. 求底面半径：根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=62.8÷3.14÷2=10\ (\mathrm{cm})$
3. 计算4个底面的总面积：根据圆的面积公式$S=π r^2$，4个底面的总面积为$3.14×10^{2}×4=1256\ (\mathrm{cm}^{2})$
4. 计算圆柱的侧面积：根据圆柱侧面积公式$S_{侧}=C× h$，侧面积为$62.8×100=6280\ (\mathrm{cm}^{2})$
5. 计算两段木料的表面积之和：$1256+6280=7536\ (\mathrm{cm}^{2})$
【答案】
$7536\ \mathrm{cm}^{2}$
【知识点】
圆柱表面积计算；切割后表面积变化
【点评】
本题的核心是理解圆柱截成两段后表面积的变化规律：截断后会新增2个底面，因此总表面积为原圆柱侧面积加上4个底面的面积。解题时需注意单位统一，熟练运用圆的周长、面积公式以及圆柱侧面积公式。
【难度系数】
0.6
首先明确，将圆柱形木料截成两段后，两段木料的表面积之和等于原来圆柱的侧面积加上4个底面的面积（原来圆柱有2个底面，截断后新增了2个底面）。解题思路如下：第一步统一单位，把长的单位米换算成厘米；第二步根据底面周长求出底面半径；第三步计算4个底面的总面积；第四步计算原来圆柱的侧面积；最后把4个底面的总面积和侧面积相加，得到两段木料的表面积之和。
【解析】
1. 单位换算：$1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$
2. 求底面半径：根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=62.8÷3.14÷2=10\ (\mathrm{cm})$
3. 计算4个底面的总面积：根据圆的面积公式$S=π r^2$，4个底面的总面积为$3.14×10^{2}×4=1256\ (\mathrm{cm}^{2})$
4. 计算圆柱的侧面积：根据圆柱侧面积公式$S_{侧}=C× h$，侧面积为$62.8×100=6280\ (\mathrm{cm}^{2})$
5. 计算两段木料的表面积之和：$1256+6280=7536\ (\mathrm{cm}^{2})$
【答案】
$7536\ \mathrm{cm}^{2}$
【知识点】
圆柱表面积计算；切割后表面积变化
【点评】
本题的核心是理解圆柱截成两段后表面积的变化规律：截断后会新增2个底面，因此总表面积为原圆柱侧面积加上4个底面的面积。解题时需注意单位统一，熟练运用圆的周长、面积公式以及圆柱侧面积公式。
【难度系数】
0.6
5. 有一顶帽子（如图），帽顶部分是圆柱形，用花布加工而成；帽檐部分是一个圆环，也是用同样的花布做成。已知帽顶的半径、高和帽檐宽都是1 dm，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的花布？
答案
5. $18.84\ \mathrm{dm}^{2}$
解析
【分析】
要计算做这顶帽子所需花布的面积，需将帽子拆分为两部分分析：一是帽顶圆柱的侧面积，二是帽顶底面积与帽檐圆环的面积之和。观察图形可知，帽顶半径为1dm，帽檐宽1dm，因此帽顶底面积与帽檐圆环可组合成一个半径为$1+1=2\mathrm{dm}$的大圆，这样只需分别计算圆柱侧面积和大圆面积，再将两部分相加即可得到总面积。
【解析】
1. 计算帽顶圆柱的侧面积：
根据圆柱侧面积公式$S_{侧}=2π rh$，其中$r=1\mathrm{dm}$，$h=1\mathrm{dm}$，代入得：
$S_{侧}=2×3.14×1×1=6.28\ \mathrm{dm}^{2}$
2. 计算帽顶底面积与帽檐圆环的总面积：
帽顶底面积与帽檐圆环可组合为半径$R=1+1=2\mathrm{dm}$的圆，根据圆的面积公式$S_{圆}=π R^{2}$，代入得：
$S_{圆}=3.14×2^{2}=3.14×4=12.56\ \mathrm{dm}^{2}$
3. 计算总面积：
将两部分面积相加，$S_{总}=6.28+12.56=18.84\ \mathrm{dm}^{2}$
【答案】
$18.84\ \mathrm{dm}^{2}$
【知识点】
圆柱侧面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题属于立体图形与平面图形结合的实际应用问题，解题关键是通过观察图形，将帽顶底面积与帽檐圆环的面积转化为一个大圆的面积，简化计算过程，考查了对图形的分析能力和公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
要计算做这顶帽子所需花布的面积，需将帽子拆分为两部分分析：一是帽顶圆柱的侧面积，二是帽顶底面积与帽檐圆环的面积之和。观察图形可知，帽顶半径为1dm，帽檐宽1dm，因此帽顶底面积与帽檐圆环可组合成一个半径为$1+1=2\mathrm{dm}$的大圆，这样只需分别计算圆柱侧面积和大圆面积，再将两部分相加即可得到总面积。
【解析】
1. 计算帽顶圆柱的侧面积：
根据圆柱侧面积公式$S_{侧}=2π rh$，其中$r=1\mathrm{dm}$，$h=1\mathrm{dm}$，代入得：
$S_{侧}=2×3.14×1×1=6.28\ \mathrm{dm}^{2}$
2. 计算帽顶底面积与帽檐圆环的总面积：
帽顶底面积与帽檐圆环可组合为半径$R=1+1=2\mathrm{dm}$的圆，根据圆的面积公式$S_{圆}=π R^{2}$，代入得：
$S_{圆}=3.14×2^{2}=3.14×4=12.56\ \mathrm{dm}^{2}$
3. 计算总面积：
将两部分面积相加，$S_{总}=6.28+12.56=18.84\ \mathrm{dm}^{2}$
【答案】
$18.84\ \mathrm{dm}^{2}$
【知识点】
圆柱侧面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题属于立体图形与平面图形结合的实际应用问题，解题关键是通过观察图形，将帽顶底面积与帽檐圆环的面积转化为一个大圆的面积，简化计算过程，考查了对图形的分析能力和公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在这张长方形纸上剪下的阴影部分可围成一个圆柱，求这个圆柱的表面积。
答案
6. $276.32\ \mathrm{cm}^{2}$
解析
【分析】
要计算圆柱的表面积，需先确定圆柱的底面参数和高。观察图形可知，阴影部分围成圆柱后，长方形的长25.12cm即为圆柱的底面周长；长方形的总高度15cm减去底面直径就是圆柱的高。我们可以先通过底面周长求出底面直径，进而得到底面半径，再算出圆柱的高，最后根据圆柱表面积公式（表面积=侧面积+2个底面积）逐步计算。
【解析】
1. 求圆柱底面直径
根据圆的周长公式$ C = π d $（其中$ C $为周长，$ d $为直径），已知底面周长$ C = 25.12\ \mathrm{cm} $，则底面直径：
$ d = 25.12 ÷ 3.14 = 8\ \mathrm{cm} $
底面半径$ r = 8 ÷ 2 = 4\ \mathrm{cm} $
2. 求圆柱的高
由图中长方形总高度为15cm，减去底面直径可得圆柱的高：
$ h = 15 - 8 = 7\ \mathrm{cm} $
3. 计算圆柱侧面积
圆柱侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}} = C × h $，代入数据：
$ S_{\mathrm{侧}} = 25.12 × 7 = 175.84\ \mathrm{cm}^2 $
4. 计算两个底面积之和
圆的面积公式为$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 $，两个底面积：
$ 2S_{\mathrm{底}} = 2 × 3.14 × 4^2 = 2 × 3.14 × 16 = 100.48\ \mathrm{cm}^2 $
5. 计算圆柱表面积
圆柱表面积$ S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{侧}} + 2S_{\mathrm{底}} $，代入数据：
$ S_{\mathrm{表}} = 175.84 + 100.48 = 276.32\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$\boldsymbol{276.32\ \mathrm{cm}^{2}}$
【知识点】
圆柱表面积计算，圆的周长公式，圆的面积公式
【点评】
本题重点考查圆柱表面积的计算，核心是从图形中准确转化出圆柱的底面周长和高与长方形边长的关系，需要学生熟练掌握圆的周长、面积公式及圆柱表面积公式，同时具备一定的空间想象能力，能将平面图形与立体圆柱的各部分对应起来。
【难度系数】
0.6
要计算圆柱的表面积，需先确定圆柱的底面参数和高。观察图形可知，阴影部分围成圆柱后，长方形的长25.12cm即为圆柱的底面周长；长方形的总高度15cm减去底面直径就是圆柱的高。我们可以先通过底面周长求出底面直径，进而得到底面半径，再算出圆柱的高，最后根据圆柱表面积公式（表面积=侧面积+2个底面积）逐步计算。
【解析】
1. 求圆柱底面直径
根据圆的周长公式$ C = π d $（其中$ C $为周长，$ d $为直径），已知底面周长$ C = 25.12\ \mathrm{cm} $，则底面直径：
$ d = 25.12 ÷ 3.14 = 8\ \mathrm{cm} $
底面半径$ r = 8 ÷ 2 = 4\ \mathrm{cm} $
2. 求圆柱的高
由图中长方形总高度为15cm，减去底面直径可得圆柱的高：
$ h = 15 - 8 = 7\ \mathrm{cm} $
3. 计算圆柱侧面积
圆柱侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}} = C × h $，代入数据：
$ S_{\mathrm{侧}} = 25.12 × 7 = 175.84\ \mathrm{cm}^2 $
4. 计算两个底面积之和
圆的面积公式为$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 $，两个底面积：
$ 2S_{\mathrm{底}} = 2 × 3.14 × 4^2 = 2 × 3.14 × 16 = 100.48\ \mathrm{cm}^2 $
5. 计算圆柱表面积
圆柱表面积$ S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{侧}} + 2S_{\mathrm{底}} $，代入数据：
$ S_{\mathrm{表}} = 175.84 + 100.48 = 276.32\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$\boldsymbol{276.32\ \mathrm{cm}^{2}}$
【知识点】
圆柱表面积计算，圆的周长公式，圆的面积公式
【点评】
本题重点考查圆柱表面积的计算，核心是从图形中准确转化出圆柱的底面周长和高与长方形边长的关系，需要学生熟练掌握圆的周长、面积公式及圆柱表面积公式，同时具备一定的空间想象能力，能将平面图形与立体圆柱的各部分对应起来。
【难度系数】
0.6
