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(6)若$m=-\dfrac{1}{3}$，如图所示，直线$l$分别交$x$轴、$y$轴于点$A,B$，$M$是$OB$上一点，若将$△ ABM$沿直线$AM$折叠，使点$B$恰好落在$x$轴上的点$B_1$处。
①求$△ ABO$的面积；
②求直线$AM$的解析式；
③若将直线$l$平移后与$x$轴、$y$轴分别交于$C,D$两点，且$BA=CA$，求点$C$的坐标和直线$CD$的解析式。
①求$△ ABO$的面积；
②求直线$AM$的解析式；
③若将直线$l$平移后与$x$轴、$y$轴分别交于$C,D$两点，且$BA=CA$，求点$C$的坐标和直线$CD$的解析式。
答案
解：
① 由直线$l$的解析式$y=-\dfrac{1}{3}x+2$：
令$y=0$，则$-\dfrac{1}{3}x+2=0$，解得$x=6$，得$A(6,0)$，$OA=6$；
令$x=0$，则$y=2$，得$B(0,2)$，$OB=2$。
$\therefore S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2}· OA· OB=\dfrac{1}{2}×6×2=6$。
② 由折叠性质得$AB_1=AB$，
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
$\therefore AB_1=2\sqrt{10}$，$OB_1=AB_1-OA=2\sqrt{10}-6$，即$B_1(6-2\sqrt{10},0)$。
设$M(0,t)$，则$BM=2-t$，由折叠得$B_1M=BM=2-t$。
在$\mathrm{Rt}△ B_1OM$中，$OM^2+OB_1^2=B_1M^2$，代入得：
$t^2+(2\sqrt{10}-6)^2=(2-t)^2$，
展开化简得$4t=24\sqrt{10}-72$，解得$t=6\sqrt{10}-18$，即$M(0,6\sqrt{10}-18)$。
设直线$AM$解析式为$y=kx+b$，将$A(6,0)$、$M(0,6\sqrt{10}-18)$代入：
$\begin{cases}6k+b=0\\b=6\sqrt{10}-18\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3-\sqrt{10}\\b=6\sqrt{10}-18\end{cases}$。
$\therefore$ 直线$AM$的解析式为$y=(3-\sqrt{10})x+6\sqrt{10}-18$。
③ 直线$CD$由直线$l$平移得到，故斜率为$-\dfrac{1}{3}$。
由$BA=CA=2\sqrt{10}$，设$C(c,0)$，则$|c-6|=2\sqrt{10}$，
解得$c=6+2\sqrt{10}$或$c=6-2\sqrt{10}$，即$C$点坐标为$(6+2\sqrt{10},0)$或$(6-2\sqrt{10},0)$。
设直线$CD$解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+n$：
当$C(6+2\sqrt{10},0)$时，代入得$0=-\dfrac{1}{3}(6+2\sqrt{10})+n$，解得$n=2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$，解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$；
当$C(6-2\sqrt{10},0)$时，代入得$0=-\dfrac{1}{3}(6-2\sqrt{10})+n$，解得$n=2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$，解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$。
综上：
① $△ ABO$的面积为$\boldsymbol{6}$；
② 直线$AM$的解析式为$\boldsymbol{y=(3-\sqrt{10})x+6\sqrt{10}-18}$；
③ $C$点坐标为$\boldsymbol{(6+2\sqrt{10},0)}$或$\boldsymbol{(6-2\sqrt{10},0)}$，对应直线$CD$的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}}$或$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x+2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}}$。
① 由直线$l$的解析式$y=-\dfrac{1}{3}x+2$：
令$y=0$，则$-\dfrac{1}{3}x+2=0$，解得$x=6$，得$A(6,0)$，$OA=6$；
令$x=0$，则$y=2$，得$B(0,2)$，$OB=2$。
$\therefore S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2}· OA· OB=\dfrac{1}{2}×6×2=6$。
② 由折叠性质得$AB_1=AB$，
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
$\therefore AB_1=2\sqrt{10}$，$OB_1=AB_1-OA=2\sqrt{10}-6$，即$B_1(6-2\sqrt{10},0)$。
设$M(0,t)$，则$BM=2-t$，由折叠得$B_1M=BM=2-t$。
在$\mathrm{Rt}△ B_1OM$中，$OM^2+OB_1^2=B_1M^2$，代入得：
$t^2+(2\sqrt{10}-6)^2=(2-t)^2$，
展开化简得$4t=24\sqrt{10}-72$，解得$t=6\sqrt{10}-18$，即$M(0,6\sqrt{10}-18)$。
设直线$AM$解析式为$y=kx+b$，将$A(6,0)$、$M(0,6\sqrt{10}-18)$代入：
$\begin{cases}6k+b=0\\b=6\sqrt{10}-18\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3-\sqrt{10}\\b=6\sqrt{10}-18\end{cases}$。
$\therefore$ 直线$AM$的解析式为$y=(3-\sqrt{10})x+6\sqrt{10}-18$。
③ 直线$CD$由直线$l$平移得到，故斜率为$-\dfrac{1}{3}$。
由$BA=CA=2\sqrt{10}$，设$C(c,0)$，则$|c-6|=2\sqrt{10}$，
解得$c=6+2\sqrt{10}$或$c=6-2\sqrt{10}$，即$C$点坐标为$(6+2\sqrt{10},0)$或$(6-2\sqrt{10},0)$。
设直线$CD$解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+n$：
当$C(6+2\sqrt{10},0)$时，代入得$0=-\dfrac{1}{3}(6+2\sqrt{10})+n$，解得$n=2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$，解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$；
当$C(6-2\sqrt{10},0)$时，代入得$0=-\dfrac{1}{3}(6-2\sqrt{10})+n$，解得$n=2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$，解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$。
综上：
① $△ ABO$的面积为$\boldsymbol{6}$；
② 直线$AM$的解析式为$\boldsymbol{y=(3-\sqrt{10})x+6\sqrt{10}-18}$；
③ $C$点坐标为$\boldsymbol{(6+2\sqrt{10},0)}$或$\boldsymbol{(6-2\sqrt{10},0)}$，对应直线$CD$的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}}$或$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x+2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}}$。
解析
【分析】
① 求△ABO的面积，需先得到直线l与x轴、y轴交点A、B的坐标：通过直线l的解析式，分别令y=0、x=0求出A、B坐标，得到直角边OA、OB的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
② 求直线AM的解析式，需先确定M点坐标：根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，即AB=AB₁、BM=B₁M，先利用勾股定理计算AB的长度，得到B₁的坐标；再设M(0,t)，在Rt△B₁OM中根据勾股定理列方程求解得到t的值，即得M点坐标，最后用待定系数法代入A、M两点坐标即可求出直线AM的解析式。
③ 直线平移后斜率不变，因此直线CD的k值与直线l相同，为-1/3；由BA=CA可知C点到A点的距离等于BA的长度，C点在x轴上，需分C在A点左侧、右侧两种情况求解C点坐标，再代入直线CD的解析式设式求出常数项，即可得到对应解析式。
【解析】
已知直线l的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2$：
① 令$y=0$，则$-\dfrac{1}{3}x+2=0$，解得$x=6$，即$A(6,0)$，$OA=6$；
令$x=0$，则$y=2$，即$B(0,2)$，$OB=2$。
$△ ABO$为直角三角形，因此$S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2}· OA· OB=\dfrac{1}{2}×6×2=6$。
② 由折叠的性质可得$AB_1=AB$，
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
因此$AB_1=2\sqrt{10}$，$OB_1=AB_1-OA=2\sqrt{10}-6$，即$B_1(6-2\sqrt{10},0)$。
设$M(0,t)$，则$BM=2-t$，由折叠性质得$B_1M=BM=2-t$。
在$\mathrm{Rt}△ B_1OM$中，由勾股定理得$OM^2+OB_1^2=B_1M^2$，代入得：
$t^2+(2\sqrt{10}-6)^2=(2-t)^2$，
展开化简得$4t=24\sqrt{10}-72$，解得$t=6\sqrt{10}-18$，即$M(0,6\sqrt{10}-18)$。
设直线$AM$解析式为$y=kx+b$，将$A(6,0)$、$M(0,6\sqrt{10}-18)$代入得：
$\begin{cases}6k+b=0\\b=6\sqrt{10}-18\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3-\sqrt{10}\\b=6\sqrt{10}-18\end{cases}$。
因此直线$AM$的解析式为$y=(3-\sqrt{10})x+6\sqrt{10}-18$。
③ 直线$CD$由直线$l$平移得到，因此斜率与直线$l$相同，为$-\dfrac{1}{3}$。
由$BA=CA=2\sqrt{10}$，设$C(c,0)$，则$|c-6|=2\sqrt{10}$，
解得$c=6+2\sqrt{10}$或$c=6-2\sqrt{10}$，即$C$点坐标为$(6+2\sqrt{10},0)$或$(6-2\sqrt{10},0)$。
设直线$CD$解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+n$：
当$C(6+2\sqrt{10},0)$时，代入得$0=-\dfrac{1}{3}(6+2\sqrt{10})+n$，解得$n=2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$，对应解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$；
当$C(6-2\sqrt{10},0)$时，代入得$0=-\dfrac{1}{3}(6-2\sqrt{10})+n$，解得$n=2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$，对应解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
① $△ ABO$的面积为$\boldsymbol{6}$；
② 直线$AM$的解析式为$\boldsymbol{y=(3-\sqrt{10})x+6\sqrt{10}-18}$；
③ $C$点坐标为$\boldsymbol{(6+2\sqrt{10},0)}$或$\boldsymbol{(6-2\sqrt{10},0)}$，对应直线$CD$的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}}$或$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x+2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}}$。
【知识点】
一次函数的图象与性质，折叠的性质，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题为一次函数综合题，结合了几何变换与勾股定理的应用，解题时要利用好折叠前后对应边相等、平移前后直线斜率不变的性质，求解C点坐标时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
① 求△ABO的面积，需先得到直线l与x轴、y轴交点A、B的坐标：通过直线l的解析式，分别令y=0、x=0求出A、B坐标，得到直角边OA、OB的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
② 求直线AM的解析式，需先确定M点坐标：根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，即AB=AB₁、BM=B₁M，先利用勾股定理计算AB的长度，得到B₁的坐标；再设M(0,t)，在Rt△B₁OM中根据勾股定理列方程求解得到t的值，即得M点坐标，最后用待定系数法代入A、M两点坐标即可求出直线AM的解析式。
③ 直线平移后斜率不变，因此直线CD的k值与直线l相同，为-1/3；由BA=CA可知C点到A点的距离等于BA的长度，C点在x轴上，需分C在A点左侧、右侧两种情况求解C点坐标，再代入直线CD的解析式设式求出常数项，即可得到对应解析式。
【解析】
已知直线l的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2$：
① 令$y=0$，则$-\dfrac{1}{3}x+2=0$，解得$x=6$，即$A(6,0)$，$OA=6$；
令$x=0$，则$y=2$，即$B(0,2)$，$OB=2$。
$△ ABO$为直角三角形，因此$S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2}· OA· OB=\dfrac{1}{2}×6×2=6$。
② 由折叠的性质可得$AB_1=AB$，
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
因此$AB_1=2\sqrt{10}$，$OB_1=AB_1-OA=2\sqrt{10}-6$，即$B_1(6-2\sqrt{10},0)$。
设$M(0,t)$，则$BM=2-t$，由折叠性质得$B_1M=BM=2-t$。
在$\mathrm{Rt}△ B_1OM$中，由勾股定理得$OM^2+OB_1^2=B_1M^2$，代入得：
$t^2+(2\sqrt{10}-6)^2=(2-t)^2$，
展开化简得$4t=24\sqrt{10}-72$，解得$t=6\sqrt{10}-18$，即$M(0,6\sqrt{10}-18)$。
设直线$AM$解析式为$y=kx+b$，将$A(6,0)$、$M(0,6\sqrt{10}-18)$代入得：
$\begin{cases}6k+b=0\\b=6\sqrt{10}-18\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3-\sqrt{10}\\b=6\sqrt{10}-18\end{cases}$。
因此直线$AM$的解析式为$y=(3-\sqrt{10})x+6\sqrt{10}-18$。
③ 直线$CD$由直线$l$平移得到，因此斜率与直线$l$相同，为$-\dfrac{1}{3}$。
由$BA=CA=2\sqrt{10}$，设$C(c,0)$，则$|c-6|=2\sqrt{10}$，
解得$c=6+2\sqrt{10}$或$c=6-2\sqrt{10}$，即$C$点坐标为$(6+2\sqrt{10},0)$或$(6-2\sqrt{10},0)$。
设直线$CD$解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+n$：
当$C(6+2\sqrt{10},0)$时，代入得$0=-\dfrac{1}{3}(6+2\sqrt{10})+n$，解得$n=2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$，对应解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$；
当$C(6-2\sqrt{10},0)$时，代入得$0=-\dfrac{1}{3}(6-2\sqrt{10})+n$，解得$n=2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$，对应解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
① $△ ABO$的面积为$\boldsymbol{6}$；
② 直线$AM$的解析式为$\boldsymbol{y=(3-\sqrt{10})x+6\sqrt{10}-18}$；
③ $C$点坐标为$\boldsymbol{(6+2\sqrt{10},0)}$或$\boldsymbol{(6-2\sqrt{10},0)}$，对应直线$CD$的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt{10}}{3}}$或$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x+2-\dfrac{2\sqrt{10}}{3}}$。
【知识点】
一次函数的图象与性质，折叠的性质，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题为一次函数综合题，结合了几何变换与勾股定理的应用，解题时要利用好折叠前后对应边相等、平移前后直线斜率不变的性质，求解C点坐标时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
