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33. 如图所示,已知点$A(0,1),M(3,2),N(4,4)$,动点$P$从点$A$出发,沿$y$轴以每秒1个单位长度的速度向上移动,且过点$P$的直线$l:y=-x+b$也随之移动,设移动时间为$t$秒.
(1)当$t=3$时,求$l$的解析式;
(2)若点$M,N$位于$l$的异侧,求$t$的取值范围.
(1)当$t=3$时,求$l$的解析式;
(2)若点$M,N$位于$l$的异侧,求$t$的取值范围.
答案
解：
(1) 由题意，动点P从A(0,1)出发，沿y轴以每秒1个单位长度向上移动，t秒后点P的坐标为(0, 1+t)。
将P(0, 1+t)代入直线l的解析式y=-x+b，得：
1+t = b
当t=3时，b=1+3=4
此时直线l的解析式为y = -x + 4。
(2) 当直线l经过点M(3,2)时，将M(3,2)代入y=-x+b，得：
2 = -3 + b
解得b=5
由b=1+t，得1+t=5，解得t=4。
当直线l经过点N(4,4)时，将N(4,4)代入y=-x+b，得：
4 = -4 + b
解得b=8
由b=1+t，得1+t=8，解得t=7。
若点M,N位于l的异侧，则t的取值范围是4 ＜ t ＜ 7。
(1) 由题意，动点P从A(0,1)出发，沿y轴以每秒1个单位长度向上移动，t秒后点P的坐标为(0, 1+t)。
将P(0, 1+t)代入直线l的解析式y=-x+b，得：
1+t = b
当t=3时，b=1+3=4
此时直线l的解析式为y = -x + 4。
(2) 当直线l经过点M(3,2)时，将M(3,2)代入y=-x+b，得：
2 = -3 + b
解得b=5
由b=1+t，得1+t=5，解得t=4。
当直线l经过点N(4,4)时，将N(4,4)代入y=-x+b，得：
4 = -4 + b
解得b=8
由b=1+t，得1+t=8，解得t=7。
若点M,N位于l的异侧，则t的取值范围是4 ＜ t ＜ 7。
解析
【分析】
(1) 先根据动点P的运动规律求出t秒后P的坐标，再将P点坐标代入直线l的解析式，得到b与t的对应关系，代入t=3即可求出b的值，进而得到l的解析式。
(2) 点M、N在直线l异侧的临界情况是直线l刚好经过点M或点N，分别算出直线经过这两个点时对应的t值，两个t值之间的范围就是M、N在l异侧时t的取值范围。
【解析】
(1) 由题意，动点P从A(0,1)出发，沿y轴以每秒1个单位长度向上移动，t秒后点P的坐标为(0, 1+t)。
将P(0, 1+t)代入直线l的解析式$y=-x+b$，可得$1+t = b$。
当$t=3$时，$b=1+3=4$，此时直线l的解析式为$y = -x + 4$。
(2) 当直线l经过点M(3,2)时，将M(3,2)代入$y=-x+b$，得：
$2 = -3 + b$，解得$b=5$。
结合$b=1+t$，可得$1+t=5$，解得$t=4$。
当直线l经过点N(4,4)时，将N(4,4)代入$y=-x+b$，得：
$4 = -4 + b$，解得$b=8$。
结合$b=1+t$，可得$1+t=8$，解得$t=7$。
若点M,N位于l的异侧，则t的取值范围是$4 ＜ t ＜ 7$。
【答案】
(1) $y=-x+4$；(2) $4＜t＜7$
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数动点问题，参数范围计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题核心是先建立直线参数b和运动时间t的对应关系，再通过临界位置确定取值范围，属于一次函数的常规考法。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据动点P的运动规律求出t秒后P的坐标，再将P点坐标代入直线l的解析式，得到b与t的对应关系，代入t=3即可求出b的值，进而得到l的解析式。
(2) 点M、N在直线l异侧的临界情况是直线l刚好经过点M或点N，分别算出直线经过这两个点时对应的t值，两个t值之间的范围就是M、N在l异侧时t的取值范围。
【解析】
(1) 由题意，动点P从A(0,1)出发，沿y轴以每秒1个单位长度向上移动，t秒后点P的坐标为(0, 1+t)。
将P(0, 1+t)代入直线l的解析式$y=-x+b$，可得$1+t = b$。
当$t=3$时，$b=1+3=4$，此时直线l的解析式为$y = -x + 4$。
(2) 当直线l经过点M(3,2)时，将M(3,2)代入$y=-x+b$，得：
$2 = -3 + b$，解得$b=5$。
结合$b=1+t$，可得$1+t=5$，解得$t=4$。
当直线l经过点N(4,4)时，将N(4,4)代入$y=-x+b$，得：
$4 = -4 + b$，解得$b=8$。
结合$b=1+t$，可得$1+t=8$，解得$t=7$。
若点M,N位于l的异侧，则t的取值范围是$4 ＜ t ＜ 7$。
【答案】
(1) $y=-x+4$；(2) $4＜t＜7$
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数动点问题，参数范围计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题核心是先建立直线参数b和运动时间t的对应关系，再通过临界位置确定取值范围，属于一次函数的常规考法。
【难度系数】
0.7
34. 已知直线$ l: y=(m-1)x +7 -3m $.
(1) 当$ m= $时，此函数是$ y $关于$ x $的正比例函数，$ y $随$ x $的增大而.
(2) 若$ y $随$ x $的增大而减小，则$ m $的取值范围是.
(3) 若直线$ l $与直线$ y=-x +8 $平行，则$ m= $.
(4) 若点$ P(1,y_1) $，$ Q(-4,y_2) $是此一次函数图象上的两个点，且$ y_1 ＜ y_2 $，则$ m $的取值范围是.
(5) 若一次函数$ y=(m-1)x +7 -3m $的图象与$ y $轴的交点在$ x $轴的上方，则$ m $的取值范围是.
(1) 当$ m= $时，此函数是$ y $关于$ x $的正比例函数，$ y $随$ x $的增大而.
(2) 若$ y $随$ x $的增大而减小，则$ m $的取值范围是.
(3) 若直线$ l $与直线$ y=-x +8 $平行，则$ m= $.
(4) 若点$ P(1,y_1) $，$ Q(-4,y_2) $是此一次函数图象上的两个点，且$ y_1 ＜ y_2 $，则$ m $的取值范围是.
(5) 若一次函数$ y=(m-1)x +7 -3m $的图象与$ y $轴的交点在$ x $轴的上方，则$ m $的取值范围是.
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{7}{3}}$；增大
(2) $\boldsymbol{m＜1}$
(3) $\boldsymbol{0}$
(4) $\boldsymbol{m＜1}$
(5) $\boldsymbol{m＜\frac{7}{3}且m≠1}$
(2) $\boldsymbol{m＜1}$
(3) $\boldsymbol{0}$
(4) $\boldsymbol{m＜1}$
(5) $\boldsymbol{m＜\frac{7}{3}且m≠1}$
解析
【分析】
本题围绕一次函数的基本性质设计考点，解题核心是明确一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的代数意义，逐个分析小问：
1. 正比例函数需满足“常数项为0，一次项系数不为0”，先列方程求$m$，再根据$k$的正负判断增减性；
2. 一次函数增减性由$k$决定：$k＜0$时$y$随$x$增大而减小，直接列不等式求解即可；
3. 两直线平行的条件是斜率$k$相等，且截距$b$不相等，列等式求$m$后验证截距即可；
4. 已知两点横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系，可反推函数的增减性，进而得到$k$的取值范围；
5. 与$y$轴交点在$x$轴上方即$x=0$时$y$值$＞0$，同时要注意一次函数要求一次项系数不为0，联立两个条件得取值范围。
【解析】
(1) 若函数是正比例函数，需满足$\begin{cases}7-3m=0 \\ m-1≠0 \end{cases}$，解$7-3m=0$得$m=\frac{7}{3}$，此时$m-1=\frac{7}{3}-1=\frac{4}{3}＞0$，满足$m-1≠0$，且$k＞0$，故$y$随$x$的增大而增大；
(2) 若$y$随$x$的增大而减小，则一次项系数$m-1＜0$，解得$m＜1$；
(3) 若直线$l$与$y=-x+8$平行，则两直线斜率相等，即$m-1=-1$，解得$m=0$，此时直线$l$的截距为$7-3×0=7≠8$，符合平行要求，故$m=0$；
(4) 已知$1＞-4$，且$y_1＜y_2$，说明$x$越大$y$值越小，函数为减函数，即$m-1＜0$，解得$m＜1$；
(5) 一次函数与$y$轴交点为$(0,7-3m)$，交点在$x$轴上方则$7-3m＞0$，解得$m＜\frac{7}{3}$，又因为是一次函数，故$m-1≠0$即$m≠1$，综上$m＜\frac{7}{3}$且$m≠1$。
【答案】
(1) $\frac{7}{3}$；增大
(2) $m＜1$
(3) $0$
(4) $m＜1$
(5) $m＜\frac{7}{3}$且$m≠1$
【知识点】
正比例函数定义，一次函数的性质，两直线平行的判定
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，全面覆盖了一次函数的定义、增减性、平行判定、交点位置等核心考点，侧重对$k$、$b$意义的理解，只要熟练掌握一次函数的基本性质就能顺利作答，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.75
本题围绕一次函数的基本性质设计考点，解题核心是明确一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的代数意义，逐个分析小问：
1. 正比例函数需满足“常数项为0，一次项系数不为0”，先列方程求$m$，再根据$k$的正负判断增减性；
2. 一次函数增减性由$k$决定：$k＜0$时$y$随$x$增大而减小，直接列不等式求解即可；
3. 两直线平行的条件是斜率$k$相等，且截距$b$不相等，列等式求$m$后验证截距即可；
4. 已知两点横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系，可反推函数的增减性，进而得到$k$的取值范围；
5. 与$y$轴交点在$x$轴上方即$x=0$时$y$值$＞0$，同时要注意一次函数要求一次项系数不为0，联立两个条件得取值范围。
【解析】
(1) 若函数是正比例函数，需满足$\begin{cases}7-3m=0 \\ m-1≠0 \end{cases}$，解$7-3m=0$得$m=\frac{7}{3}$，此时$m-1=\frac{7}{3}-1=\frac{4}{3}＞0$，满足$m-1≠0$，且$k＞0$，故$y$随$x$的增大而增大；
(2) 若$y$随$x$的增大而减小，则一次项系数$m-1＜0$，解得$m＜1$；
(3) 若直线$l$与$y=-x+8$平行，则两直线斜率相等，即$m-1=-1$，解得$m=0$，此时直线$l$的截距为$7-3×0=7≠8$，符合平行要求，故$m=0$；
(4) 已知$1＞-4$，且$y_1＜y_2$，说明$x$越大$y$值越小，函数为减函数，即$m-1＜0$，解得$m＜1$；
(5) 一次函数与$y$轴交点为$(0,7-3m)$，交点在$x$轴上方则$7-3m＞0$，解得$m＜\frac{7}{3}$，又因为是一次函数，故$m-1≠0$即$m≠1$，综上$m＜\frac{7}{3}$且$m≠1$。
【答案】
(1) $\frac{7}{3}$；增大
(2) $m＜1$
(3) $0$
(4) $m＜1$
(5) $m＜\frac{7}{3}$且$m≠1$
【知识点】
正比例函数定义，一次函数的性质，两直线平行的判定
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，全面覆盖了一次函数的定义、增减性、平行判定、交点位置等核心考点，侧重对$k$、$b$意义的理解，只要熟练掌握一次函数的基本性质就能顺利作答，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.75
