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31. 如图所示,点A,B,C在一次函数$y=-2x+m$的图象上,它们的横坐标依次为-1,1,2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,求图中阴影部分的面积之和.
答案
解：
将横坐标x=-1、1、2分别代入一次函数解析式y=-2x+m，可得：
点A坐标为$(-1, m+2)$，
点B坐标为$(1, m-2)$，
点C坐标为$(2, m-4)$。
设直线$y=-2x+m$与y轴的交点为D，则D点坐标为$(0, m)$。
三个阴影部分均为直角三角形：
1. 最左侧阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$(m+2)-m=2$，面积$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$；
2. 中间阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$m-(m-2)=2$，面积$S_2=\frac{1}{2}×1×2=1$；
3. 最右侧阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$(m-2)-(m-4)=2$，面积$S_3=\frac{1}{2}×1×2=1$。
阴影部分的面积之和为$S=S_1+S_2+S_3=1+1+1=3$。
答：图中阴影部分的面积之和为3。
将横坐标x=-1、1、2分别代入一次函数解析式y=-2x+m，可得：
点A坐标为$(-1, m+2)$，
点B坐标为$(1, m-2)$，
点C坐标为$(2, m-4)$。
设直线$y=-2x+m$与y轴的交点为D，则D点坐标为$(0, m)$。
三个阴影部分均为直角三角形：
1. 最左侧阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$(m+2)-m=2$，面积$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$；
2. 中间阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$m-(m-2)=2$，面积$S_2=\frac{1}{2}×1×2=1$；
3. 最右侧阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$(m-2)-(m-4)=2$，面积$S_3=\frac{1}{2}×1×2=1$。
阴影部分的面积之和为$S=S_1+S_2+S_3=1+1+1=3$。
答：图中阴影部分的面积之和为3。
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：首先，已知点A、B、C在一次函数图象上且横坐标已知，可先将横坐标代入解析式，求出三个点的坐标；其次观察阴影部分均为直角三角形，水平方向的直角边长度均为横坐标的间隔1，竖直方向的直角边为对应两点的纵坐标差值，计算出每个三角形的直角边长后，利用直角三角形面积公式分别计算面积，最后求和即可，计算过程中参数m会自然抵消，无需求解m的具体值。
【解析】
将横坐标x=-1、1、2分别代入一次函数解析式$y=-2x+m$，可得：
点A坐标为$(-1, m+2)$，
点B坐标为$(1, m-2)$，
点C坐标为$(2, m-4)$。
设直线$y=-2x+m$与y轴的交点为D，则D点坐标为$(0, m)$。
三个阴影部分均为直角三角形：
1. 最左侧阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$(m+2)-m=2$，面积$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$；
2. 中间阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$m-(m-2)=2$，面积$S_2=\frac{1}{2}×1×2=1$；
3. 最右侧阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$(m-2)-(m-4)=2$，面积$S_3=\frac{1}{2}×1×2=1$。
阴影部分的面积之和为$S=S_1+S_2+S_3=1+1+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的图象与性质，直角三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题结合一次函数图象考查图形面积的计算，解题核心是利用一次函数解析式求出各点坐标，进而确定阴影直角三角形的边长，计算过程中参数会自动抵消，无需额外求解未知参数，侧重对基础方法和读图能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路思考：首先，已知点A、B、C在一次函数图象上且横坐标已知，可先将横坐标代入解析式，求出三个点的坐标；其次观察阴影部分均为直角三角形，水平方向的直角边长度均为横坐标的间隔1，竖直方向的直角边为对应两点的纵坐标差值，计算出每个三角形的直角边长后，利用直角三角形面积公式分别计算面积，最后求和即可，计算过程中参数m会自然抵消，无需求解m的具体值。
【解析】
将横坐标x=-1、1、2分别代入一次函数解析式$y=-2x+m$，可得：
点A坐标为$(-1, m+2)$，
点B坐标为$(1, m-2)$，
点C坐标为$(2, m-4)$。
设直线$y=-2x+m$与y轴的交点为D，则D点坐标为$(0, m)$。
三个阴影部分均为直角三角形：
1. 最左侧阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$(m+2)-m=2$，面积$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$；
2. 中间阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$m-(m-2)=2$，面积$S_2=\frac{1}{2}×1×2=1$；
3. 最右侧阴影直角三角形：两条直角边长度分别为1、$(m-2)-(m-4)=2$，面积$S_3=\frac{1}{2}×1×2=1$。
阴影部分的面积之和为$S=S_1+S_2+S_3=1+1+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的图象与性质，直角三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题结合一次函数图象考查图形面积的计算，解题核心是利用一次函数解析式求出各点坐标，进而确定阴影直角三角形的边长，计算过程中参数会自动抵消，无需额外求解未知参数，侧重对基础方法和读图能力的考查。
【难度系数】
0.7
32. 已知直线$x - 2y = -k + 6$和$x + 3y = 4k + 1$的交点在第四象限内.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k$为非负整数，求直线$x - 2y = -k + 6$和$x + 3y = 4k + 1$分别与$y$轴的交点，以及它们的交点所围成的三角形面积.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k$为非负整数，求直线$x - 2y = -k + 6$和$x + 3y = 4k + 1$分别与$y$轴的交点，以及它们的交点所围成的三角形面积.
答案
解：
(1) 联立两个直线的方程得方程组：
$\begin{cases}x - 2y = -k + 6 \\x + 3y = 4k + 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：
$5y = 5k - 5$，解得 $y = k - 1$
将$y = k - 1$代入$x - 2y = -k + 6$，得：
$x - 2(k-1) = -k + 6$，解得 $x = k + 4$
因此两直线的交点坐标为$(k+4, k-1)$。
∵交点在第四象限内，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴列不等式组：
$\begin{cases}k + 4 ＞ 0 \\k - 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$k+4＞0$，得$k ＞ -4$；
解不等式$k-1＜0$，得$k ＜ 1$。
∴$k$的取值范围是$-4 ＜ k ＜ 1$。
(2) ∵$k$为非负整数，且$-4 ＜ k ＜ 1$，
∴$k = 0$。
将$k=0$代入两条直线方程，得两条直线分别为$x - 2y = 6$和$x + 3y = 1$。
令$x=0$，代入$x-2y=6$，得$-2y=6$，解得$y=-3$，即直线$x-2y=6$与$y$轴的交点为$(0, -3)$。
令$x=0$，代入$x+3y=1$，得$3y=1$，解得$y=\frac{1}{3}$，即直线$x+3y=1$与$y$轴的交点为$(0, \frac{1}{3})$。
将$k=0$代入交点坐标$(k+4, k-1)$，得两直线的交点为$(4, -1)$。
两个$y$轴上交点的距离为$\left|\frac{1}{3} - (-3)\right| = \frac{10}{3}$，该线段为三角形的底，交点$(4,-1)$的横坐标的绝对值为该底对应的高，即高为4。
∴三角形面积$S = \frac{1}{2} × \frac{10}{3} × 4 = \frac{20}{3}$。
(1) 联立两个直线的方程得方程组：
$\begin{cases}x - 2y = -k + 6 \\x + 3y = 4k + 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：
$5y = 5k - 5$，解得 $y = k - 1$
将$y = k - 1$代入$x - 2y = -k + 6$，得：
$x - 2(k-1) = -k + 6$，解得 $x = k + 4$
因此两直线的交点坐标为$(k+4, k-1)$。
∵交点在第四象限内，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴列不等式组：
$\begin{cases}k + 4 ＞ 0 \\k - 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$k+4＞0$，得$k ＞ -4$；
解不等式$k-1＜0$，得$k ＜ 1$。
∴$k$的取值范围是$-4 ＜ k ＜ 1$。
(2) ∵$k$为非负整数，且$-4 ＜ k ＜ 1$，
∴$k = 0$。
将$k=0$代入两条直线方程，得两条直线分别为$x - 2y = 6$和$x + 3y = 1$。
令$x=0$，代入$x-2y=6$，得$-2y=6$，解得$y=-3$，即直线$x-2y=6$与$y$轴的交点为$(0, -3)$。
令$x=0$，代入$x+3y=1$，得$3y=1$，解得$y=\frac{1}{3}$，即直线$x+3y=1$与$y$轴的交点为$(0, \frac{1}{3})$。
将$k=0$代入交点坐标$(k+4, k-1)$，得两直线的交点为$(4, -1)$。
两个$y$轴上交点的距离为$\left|\frac{1}{3} - (-3)\right| = \frac{10}{3}$，该线段为三角形的底，交点$(4,-1)$的横坐标的绝对值为该底对应的高，即高为4。
∴三角形面积$S = \frac{1}{2} × \frac{10}{3} × 4 = \frac{20}{3}$。
解析
【分析】
(1) 要求k的取值范围，首先需要求出两条直线的交点坐标：联立两条直线的方程，解出用k表示的x、y值；再根据第四象限内点的坐标特征（横坐标＞0，纵坐标＜0），列出关于k的不等式组，解不等式组即可得到k的取值范围。
(2) 先结合第一问的k的范围和“k为非负整数”的条件，确定k的具体值；再将k代入两条直线方程，分别令x=0求出两条直线与y轴的交点坐标，同时得到两条直线的交点坐标；最后观察三个点的位置：两个交点在y轴上，两点距离为三角形的底，两直线交点的横坐标的绝对值为底对应的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 联立两个直线的方程得方程组：
$\begin{cases}x - 2y = -k + 6 \\x + 3y = 4k + 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：
$5y = 5k - 5$，解得 $y = k - 1$
将$y = k - 1$代入$x - 2y = -k + 6$，得：
$x - 2(k-1) = -k + 6$，解得 $x = k + 4$
因此两直线的交点坐标为$(k+4, k-1)$。
∵交点在第四象限内，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴列不等式组：
$\begin{cases}k + 4 ＞ 0 \\k - 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$k+4＞0$，得$k ＞ -4$；
解不等式$k-1＜0$，得$k ＜ 1$。
∴$k$的取值范围是$-4 ＜ k ＜ 1$。
(2)
∵$k$为非负整数，且$-4 ＜ k ＜ 1$，
∴$k = 0$。
将$k=0$代入两条直线方程，得两条直线分别为$x - 2y = 6$和$x + 3y = 1$。
令$x=0$，代入$x-2y=6$，得$-2y=6$，解得$y=-3$，即直线$x-2y=6$与$y$轴的交点为$(0, -3)$。
令$x=0$，代入$x+3y=1$，得$3y=1$，解得$y=\frac{1}{3}$，即直线$x+3y=1$与$y$轴的交点为$(0, \frac{1}{3})$。
将$k=0$代入交点坐标$(k+4, k-1)$，得两直线的交点为$(4, -1)$。
两个$y$轴上交点的距离为$\left|\frac{1}{3} - (-3)\right| = \frac{10}{3}$，该线段为三角形的底，交点$(4,-1)$的横坐标的绝对值为该底对应的高，即高为4。
∴三角形面积$S = \frac{1}{2} × \frac{10}{3} × 4 = \frac{20}{3}$。
【答案】
(1) $-4 ＜ k ＜ 1$；
(2) 直线$x-2y=6$与y轴交点为$(0,-3)$，直线$x+3y=1$与y轴交点为$(0,\frac{1}{3})$，围成的三角形面积为$\frac{20}{3}$。
【知识点】
一次函数交点求解、象限内点的坐标特征、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了一次函数与一元一次不等式组的结合应用，解题的关键是先通过联立方程得到含参数的交点坐标，再结合象限的坐标特征列出不等式组求解参数；第二问要注意非负整数的限制条件，计算面积时利用两个交点在y轴上的特点，快速确定底和高，可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
(1) 要求k的取值范围，首先需要求出两条直线的交点坐标：联立两条直线的方程，解出用k表示的x、y值；再根据第四象限内点的坐标特征（横坐标＞0，纵坐标＜0），列出关于k的不等式组，解不等式组即可得到k的取值范围。
(2) 先结合第一问的k的范围和“k为非负整数”的条件，确定k的具体值；再将k代入两条直线方程，分别令x=0求出两条直线与y轴的交点坐标，同时得到两条直线的交点坐标；最后观察三个点的位置：两个交点在y轴上，两点距离为三角形的底，两直线交点的横坐标的绝对值为底对应的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 联立两个直线的方程得方程组：
$\begin{cases}x - 2y = -k + 6 \\x + 3y = 4k + 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：
$5y = 5k - 5$，解得 $y = k - 1$
将$y = k - 1$代入$x - 2y = -k + 6$，得：
$x - 2(k-1) = -k + 6$，解得 $x = k + 4$
因此两直线的交点坐标为$(k+4, k-1)$。
∵交点在第四象限内，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴列不等式组：
$\begin{cases}k + 4 ＞ 0 \\k - 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$k+4＞0$，得$k ＞ -4$；
解不等式$k-1＜0$，得$k ＜ 1$。
∴$k$的取值范围是$-4 ＜ k ＜ 1$。
(2)
∵$k$为非负整数，且$-4 ＜ k ＜ 1$，
∴$k = 0$。
将$k=0$代入两条直线方程，得两条直线分别为$x - 2y = 6$和$x + 3y = 1$。
令$x=0$，代入$x-2y=6$，得$-2y=6$，解得$y=-3$，即直线$x-2y=6$与$y$轴的交点为$(0, -3)$。
令$x=0$，代入$x+3y=1$，得$3y=1$，解得$y=\frac{1}{3}$，即直线$x+3y=1$与$y$轴的交点为$(0, \frac{1}{3})$。
将$k=0$代入交点坐标$(k+4, k-1)$，得两直线的交点为$(4, -1)$。
两个$y$轴上交点的距离为$\left|\frac{1}{3} - (-3)\right| = \frac{10}{3}$，该线段为三角形的底，交点$(4,-1)$的横坐标的绝对值为该底对应的高，即高为4。
∴三角形面积$S = \frac{1}{2} × \frac{10}{3} × 4 = \frac{20}{3}$。
【答案】
(1) $-4 ＜ k ＜ 1$；
(2) 直线$x-2y=6$与y轴交点为$(0,-3)$，直线$x+3y=1$与y轴交点为$(0,\frac{1}{3})$，围成的三角形面积为$\frac{20}{3}$。
【知识点】
一次函数交点求解、象限内点的坐标特征、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了一次函数与一元一次不等式组的结合应用，解题的关键是先通过联立方程得到含参数的交点坐标，再结合象限的坐标特征列出不等式组求解参数；第二问要注意非负整数的限制条件，计算面积时利用两个交点在y轴上的特点，快速确定底和高，可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
