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26. 两个物体A,B所受压强分别为$ p_A $（单位：Pa）与$ p_B $（单位：Pa）（$ p_A,p_B $为常数），它们所受力的面积$ S(\mathrm{m}^2) $与所受压力$ F(\mathrm{N}) $的函数关系图象分别是如图所示的射线$ l_A,l_B $，则()
A.$ p_A ＜ p_B $
B.$ p_A = p_B $
C.$ p_A ＞ p_B $
D.不能确定
A.$ p_A ＜ p_B $
B.$ p_A = p_B $
C.$ p_A ＞ p_B $
D.不能确定
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合压强公式推导出受力面积S和压力F的函数关系，再结合正比例函数的图像性质分析即可。首先回忆压强公式：$p=\frac{F}{S}$，变形可得$S=\frac{1}{p}· F$，可知S是F的正比例函数，比例系数为$\frac{1}{p}$。接下来观察图像：当压力F取值相同时，射线$l_A$对应的S更大，说明$l_A$的比例系数更大，据此就能推导出$p_A$和$p_B$的大小关系。
【解析】
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$（$p＞0,F＞0,S＞0$），变形可得：
$S=\frac{1}{p}· F$
由此可知，S是关于F的正比例函数，比例系数为$\frac{1}{p}$。
观察图像，取相同的压力F，可得$S_A ＞ S_B$，即：
$\frac{1}{p_A}· F ＞ \frac{1}{p_B}· F$
由于F是正数，两边同时除以F可得：
$\frac{1}{p_A} ＞ \frac{1}{p_B}$
因为压强$p_A、p_B$均为正数，分子相同的正分数，分母越大分数值越小，因此$p_A ＜ p_B$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数的图象与性质
2. 压强公式的应用
【点评】
本题是跨学科的基础题型，将物理的压强公式和数学正比例函数的性质结合考查，解题的关键是根据物理公式推导得到函数解析式，再结合图像的特征比较参数大小，难度不高。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先结合压强公式推导出受力面积S和压力F的函数关系，再结合正比例函数的图像性质分析即可。首先回忆压强公式：$p=\frac{F}{S}$，变形可得$S=\frac{1}{p}· F$，可知S是F的正比例函数，比例系数为$\frac{1}{p}$。接下来观察图像：当压力F取值相同时，射线$l_A$对应的S更大，说明$l_A$的比例系数更大，据此就能推导出$p_A$和$p_B$的大小关系。
【解析】
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$（$p＞0,F＞0,S＞0$），变形可得：
$S=\frac{1}{p}· F$
由此可知，S是关于F的正比例函数，比例系数为$\frac{1}{p}$。
观察图像，取相同的压力F，可得$S_A ＞ S_B$，即：
$\frac{1}{p_A}· F ＞ \frac{1}{p_B}· F$
由于F是正数，两边同时除以F可得：
$\frac{1}{p_A} ＞ \frac{1}{p_B}$
因为压强$p_A、p_B$均为正数，分子相同的正分数，分母越大分数值越小，因此$p_A ＜ p_B$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数的图象与性质
2. 压强公式的应用
【点评】
本题是跨学科的基础题型，将物理的压强公式和数学正比例函数的性质结合考查，解题的关键是根据物理公式推导得到函数解析式，再结合图像的特征比较参数大小，难度不高。
【难度系数】
0.7
27. 已知一次函数$y=2x-a$与$y=3x+b$的图象交于$x$轴上原点外的一点，则$\frac{a}{a+b}=$.
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
解题时首先明确x轴上点的坐标特征：纵坐标为0，且本题交点在原点外，所以横坐标不为0。思路如下：①分别令两个一次函数的y=0，求出它们与x轴交点的横坐标表达式；②因为两个函数交于同一点，所以两个横坐标相等，由此建立a与b的等量关系；③将等量关系代入待求分式，化简计算即可得到结果，注意要保证分式分母不为0。
【解析】
∵ 两个一次函数的图象交于x轴上原点外的一点
∴ 该交点处y=0，且横坐标x≠0
对于函数$y=2x-a$，令$y=0$，得：
$2x - a = 0$，解得$x = \frac{a}{2}$
对于函数$y=3x+b$，令$y=0$，得：
$3x + b = 0$，解得$x = -\frac{b}{3}$
∵ 两个交点为同一点，横坐标相等
∴ $\frac{a}{2} = -\frac{b}{3}$
交叉相乘得：$3a = -2b$，即$b = -\frac{3a}{2}$
将$b = -\frac{3a}{2}$代入$\frac{a}{a+b}$：
∵ 交点不在原点，$x=\frac{a}{2} ≠ 0$，
∴ $a ≠ 0$，分母$a+b$有意义
$\frac{a}{a+b} = \frac{a}{a + (-\frac{3a}{2})} = \frac{a}{-\frac{a}{2}} = a × (-\frac{2}{a}) = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，等式的性质，分式化简
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题，解题核心是利用x轴上点的坐标特征建立a、b的数量关系，再代入代数式化简求值，计算时注意要先验证分母不为0，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确x轴上点的坐标特征：纵坐标为0，且本题交点在原点外，所以横坐标不为0。思路如下：①分别令两个一次函数的y=0，求出它们与x轴交点的横坐标表达式；②因为两个函数交于同一点，所以两个横坐标相等，由此建立a与b的等量关系；③将等量关系代入待求分式，化简计算即可得到结果，注意要保证分式分母不为0。
【解析】
∵ 两个一次函数的图象交于x轴上原点外的一点
∴ 该交点处y=0，且横坐标x≠0
对于函数$y=2x-a$，令$y=0$，得：
$2x - a = 0$，解得$x = \frac{a}{2}$
对于函数$y=3x+b$，令$y=0$，得：
$3x + b = 0$，解得$x = -\frac{b}{3}$
∵ 两个交点为同一点，横坐标相等
∴ $\frac{a}{2} = -\frac{b}{3}$
交叉相乘得：$3a = -2b$，即$b = -\frac{3a}{2}$
将$b = -\frac{3a}{2}$代入$\frac{a}{a+b}$：
∵ 交点不在原点，$x=\frac{a}{2} ≠ 0$，
∴ $a ≠ 0$，分母$a+b$有意义
$\frac{a}{a+b} = \frac{a}{a + (-\frac{3a}{2})} = \frac{a}{-\frac{a}{2}} = a × (-\frac{2}{a}) = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，等式的性质，分式化简
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题，解题核心是利用x轴上点的坐标特征建立a、b的数量关系，再代入代数式化简求值，计算时注意要先验证分母不为0，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.7
28.若一次函数$y = 2x + b$的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，则$b =$.
答案
$\boldsymbol{\pm4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，一次函数与两坐标轴围成的是直角三角形，我们需要先找到函数图象与x轴、y轴的交点坐标；其次，交点坐标带有正负，但三角形的边长是正数，所以要取坐标的绝对值作为直角三角形的两条直角边长度；最后利用三角形面积公式列方程求解，注意方程里含平方项，会得到两个解，不要漏解。
【解析】
步骤1：求一次函数与y轴的交点
当$x=0$时，代入$y=2x+b$，得$y=b$，因此函数与y轴的交点为$(0, b)$，该点到原点的距离为$|b|$。
步骤2：求一次函数与x轴的交点
当$y=0$时，代入$y=2x+b$，得$0=2x+b$，解得$x=-\frac{b}{2}$，因此函数与x轴的交点为$(-\frac{b}{2}, 0)$，该点到原点的距离为$|-\frac{b}{2}|=\frac{|b|}{2}$。
步骤3：根据三角形面积公式列方程求解
两坐标轴互相垂直，因此围成的三角形是直角三角形，两条直角边长度分别为$|b|$和$\frac{|b|}{2}$，已知面积为4，可得：
$\frac{1}{2} × |b| × \frac{|b|}{2} = 4$
化简得：$\frac{b^2}{4}=4$，即$b^2=16$
解得$b=\pm4$
【答案】
$\boldsymbol{\pm4}$
【知识点】
一次函数的图象性质；三角形面积计算；绝对值运算
【点评】
本题的易错点是忽略坐标的正负性，直接用坐标值代替边长计算，导致漏掉b为负数的解，解题时要注意线段长度为非负数，涉及坐标求长度时要加绝对值。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，一次函数与两坐标轴围成的是直角三角形，我们需要先找到函数图象与x轴、y轴的交点坐标；其次，交点坐标带有正负，但三角形的边长是正数，所以要取坐标的绝对值作为直角三角形的两条直角边长度；最后利用三角形面积公式列方程求解，注意方程里含平方项，会得到两个解，不要漏解。
【解析】
步骤1：求一次函数与y轴的交点
当$x=0$时，代入$y=2x+b$，得$y=b$，因此函数与y轴的交点为$(0, b)$，该点到原点的距离为$|b|$。
步骤2：求一次函数与x轴的交点
当$y=0$时，代入$y=2x+b$，得$0=2x+b$，解得$x=-\frac{b}{2}$，因此函数与x轴的交点为$(-\frac{b}{2}, 0)$，该点到原点的距离为$|-\frac{b}{2}|=\frac{|b|}{2}$。
步骤3：根据三角形面积公式列方程求解
两坐标轴互相垂直，因此围成的三角形是直角三角形，两条直角边长度分别为$|b|$和$\frac{|b|}{2}$，已知面积为4，可得：
$\frac{1}{2} × |b| × \frac{|b|}{2} = 4$
化简得：$\frac{b^2}{4}=4$，即$b^2=16$
解得$b=\pm4$
【答案】
$\boldsymbol{\pm4}$
【知识点】
一次函数的图象性质；三角形面积计算；绝对值运算
【点评】
本题的易错点是忽略坐标的正负性，直接用坐标值代替边长计算，导致漏掉b为负数的解，解题时要注意线段长度为非负数，涉及坐标求长度时要加绝对值。
【难度系数】
0.7
29. 如图所示,直线$y = kx + b$经过$A(3,1),B(6,0)$两点,则不等式组$0 ＜ kx + b ＜ \dfrac{1}{3}x$的解集为. 
答案
解：将A(3,1)、B(6,0)代入$ y = kx + b $，得
$\begin{cases}3k + b = 1 \\6k + b = 0\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = -\dfrac{1}{3} \\b = 2\end{cases}$
因此直线解析式为 $ y = -\dfrac{1}{3}x + 2 $。
解不等式 $ 0 ＜ -\dfrac{1}{3}x + 2 $，得 $ x ＜ 6 $。
解不等式 $ -\dfrac{1}{3}x + 2 ＜ \dfrac{1}{3}x $，得 $ x ＞ 3 $。
综上，不等式组的解集为 $ 3 ＜ x ＜ 6 $。
$\begin{cases}3k + b = 1 \\6k + b = 0\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = -\dfrac{1}{3} \\b = 2\end{cases}$
因此直线解析式为 $ y = -\dfrac{1}{3}x + 2 $。
解不等式 $ 0 ＜ -\dfrac{1}{3}x + 2 $，得 $ x ＜ 6 $。
解不等式 $ -\dfrac{1}{3}x + 2 ＜ \dfrac{1}{3}x $，得 $ x ＞ 3 $。
综上，不等式组的解集为 $ 3 ＜ x ＜ 6 $。
解析
【分析】
要解决这个不等式组问题，首先需要确定一次函数$y=kx+b$的系数$k$和$b$。已知直线经过$A(3,1)$、$B(6,0)$两个点，我们可以用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$的值后，代入不等式组拆分为两个一元一次不等式分别求解，最后取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集。
【解析】
1. 求直线解析式：将$A(3,1)$、$B(6,0)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 1 \\6k + b = 0\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$3k=-1$，解得$k=-\dfrac{1}{3}$；
将$k=-\dfrac{1}{3}$代入$3k+b=1$，得$-1+b=1$，解得$b=2$；
因此直线解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x + 2$。
2. 解不等式组$0 ＜ -\dfrac{1}{3}x + 2 ＜ \dfrac{1}{3}x$：
① 解不等式$0 ＜ -\dfrac{1}{3}x + 2$：
移项得$\dfrac{1}{3}x ＜ 2$，两边同乘3得$x ＜ 6$；
② 解不等式$-\dfrac{1}{3}x + 2 ＜ \dfrac{1}{3}x$：
移项合并同类项得$\dfrac{2}{3}x ＞ 2$，两边同乘$\dfrac{3}{2}$得$x ＞ 3$；
3. 取两个解集的公共部分，得最终解集。
【答案】
$3 ＜ x ＜ 6$
【知识点】
待定系数法求解析式、一元一次不等式组解法、一次函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数与不等式组的基础综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了一元一次不等式组的求解方法，解题时需注意解不等式时不等号方向的变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这个不等式组问题，首先需要确定一次函数$y=kx+b$的系数$k$和$b$。已知直线经过$A(3,1)$、$B(6,0)$两个点，我们可以用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$的值后，代入不等式组拆分为两个一元一次不等式分别求解，最后取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集。
【解析】
1. 求直线解析式：将$A(3,1)$、$B(6,0)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 1 \\6k + b = 0\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$3k=-1$，解得$k=-\dfrac{1}{3}$；
将$k=-\dfrac{1}{3}$代入$3k+b=1$，得$-1+b=1$，解得$b=2$；
因此直线解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x + 2$。
2. 解不等式组$0 ＜ -\dfrac{1}{3}x + 2 ＜ \dfrac{1}{3}x$：
① 解不等式$0 ＜ -\dfrac{1}{3}x + 2$：
移项得$\dfrac{1}{3}x ＜ 2$，两边同乘3得$x ＜ 6$；
② 解不等式$-\dfrac{1}{3}x + 2 ＜ \dfrac{1}{3}x$：
移项合并同类项得$\dfrac{2}{3}x ＞ 2$，两边同乘$\dfrac{3}{2}$得$x ＞ 3$；
3. 取两个解集的公共部分，得最终解集。
【答案】
$3 ＜ x ＜ 6$
【知识点】
待定系数法求解析式、一元一次不等式组解法、一次函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数与不等式组的基础综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了一元一次不等式组的求解方法，解题时需注意解不等式时不等号方向的变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
30. 一次函数$y=-x+a$与一次函数$y=x+b$的图象的交点坐标为$(m,8)$，求$a+b$的值.
答案
解：
∵ 点$(m,8)$是两个一次函数图象的交点，
∴ 将$(m,8)$分别代入两个函数解析式，可得：
$8 = -m + a$ ①
$8 = m + b$ ②
①+②得：$8+8 = -m + a + m + b$，
整理得：$a + b = 16$。
∵ 点$(m,8)$是两个一次函数图象的交点，
∴ 将$(m,8)$分别代入两个函数解析式，可得：
$8 = -m + a$ ①
$8 = m + b$ ②
①+②得：$8+8 = -m + a + m + b$，
整理得：$a + b = 16$。
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，明确一次函数图象交点的性质：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可将交点坐标代入两个解析式，得到两个含有m、a、b的等式；第二步，观察所求目标是a+b的和，发现两个等式中m的系数互为相反数，将两个等式左右两边分别相加即可消去m，直接求出a+b的值，无需单独计算m、a、b的具体数值。
【解析】
∵ 点$(m,8)$是两个一次函数图象的交点，
∴ 将$(m,8)$分别代入两个函数解析式，可得：
$8 = -m + a$ ①
$8 = m + b$ ②
①+②得：$8+8 = -m + a + m + b$，
整理得：$a + b = 16$。
【答案】
$16$
【知识点】
一次函数交点的意义；整体代入求值
【点评】
本题是一次函数的常规题型，解题关键是掌握函数图象交点坐标与函数解析式的关系，利用整体运算的技巧可快速得出结果，避免不必要的计算，很好地考察了基础知识的运用和整体思维。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，明确一次函数图象交点的性质：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可将交点坐标代入两个解析式，得到两个含有m、a、b的等式；第二步，观察所求目标是a+b的和，发现两个等式中m的系数互为相反数，将两个等式左右两边分别相加即可消去m，直接求出a+b的值，无需单独计算m、a、b的具体数值。
【解析】
∵ 点$(m,8)$是两个一次函数图象的交点，
∴ 将$(m,8)$分别代入两个函数解析式，可得：
$8 = -m + a$ ①
$8 = m + b$ ②
①+②得：$8+8 = -m + a + m + b$，
整理得：$a + b = 16$。
【答案】
$16$
【知识点】
一次函数交点的意义；整体代入求值
【点评】
本题是一次函数的常规题型，解题关键是掌握函数图象交点坐标与函数解析式的关系，利用整体运算的技巧可快速得出结果，避免不必要的计算，很好地考察了基础知识的运用和整体思维。
【难度系数】
0.7
