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1. 如图,在$□ ABCD$中,$AC⊥AB$,O为AC的中点,经过点O的直线交AD于点E,交BC于点F,连接AF,CE,有下列条件:①$OE=OA$;②$EF⊥AC$;③E为AD中点.现在添加一个适当的条件,使四边形AFCE是菱形,其中正确的有 (
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
)A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1. C
2. 如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC等于 (
A.20
B.15
C.10
D.5
D
)A.20
B.15
C.10
D.5
答案
2. D
3. [2023·包头二模]如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连接DE,EF.若$△ DEF$与$△ DEC$关于直线DE对称,则OF的长为（
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$2\sqrt{2}-2$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-1$
C
）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$2\sqrt{2}-2$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-1$
答案
3. C
4. 如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α+β的大小为
$120°$
。答案
4. $120°$
解析:由题意得$∠ A = ∠ F = \frac{180°×(6-2)}{6} = 120°$.
$\because$ 在四边形 $AMNF$ 中, $∠ AMN+ ∠ FNM+ ∠ A+ ∠ F = 360°$, $\therefore ∠ AMN + ∠ FNM = 360° - (∠ A + ∠ F)= 120°$. 由对顶角相等得$∠ AMN=α, ∠ FNM=β, \therefore α+β= ∠ AMN+ ∠ FNM=120°$.
解析:由题意得$∠ A = ∠ F = \frac{180°×(6-2)}{6} = 120°$.
$\because$ 在四边形 $AMNF$ 中, $∠ AMN+ ∠ FNM+ ∠ A+ ∠ F = 360°$, $\therefore ∠ AMN + ∠ FNM = 360° - (∠ A + ∠ F)= 120°$. 由对顶角相等得$∠ AMN=α, ∠ FNM=β, \therefore α+β= ∠ AMN+ ∠ FNM=120°$.
5. 如图所示，菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC上任意一点(点P不与点A，C重合)，且PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，则阴影部分的面积是
$\frac{9}{2}$
.答案
5. $\frac{9}{2}$
6. 如图,在矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4 cm,矩形ABCD的周长为32 cm. 求AE的长.
答案
6. 解:$\because EF ⊥ EC$,
$\therefore ∠ CEF=90°$.
$\therefore ∠ AEF+ ∠ DEC=90°$.
又$\because ∠ DEC+ ∠ DCE=90°$,
$\therefore ∠ AEF= ∠ DCE$.
又$\because ∠ A= ∠ D=90°$, 且$EF=CE$,
$\therefore △ AEF ≌ △ DCE$.
$\therefore AE=DC$.
又$\because$ 矩形 $ABCD$ 的周长为 32 cm, $DE=4$ cm,
$\therefore AD+DC=16$ cm.
$\therefore AE+DE+DC=16$ cm.
$\therefore AE=6$ cm.
$\therefore ∠ CEF=90°$.
$\therefore ∠ AEF+ ∠ DEC=90°$.
又$\because ∠ DEC+ ∠ DCE=90°$,
$\therefore ∠ AEF= ∠ DCE$.
又$\because ∠ A= ∠ D=90°$, 且$EF=CE$,
$\therefore △ AEF ≌ △ DCE$.
$\therefore AE=DC$.
又$\because$ 矩形 $ABCD$ 的周长为 32 cm, $DE=4$ cm,
$\therefore AD+DC=16$ cm.
$\therefore AE+DE+DC=16$ cm.
$\therefore AE=6$ cm.
