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1. 下列分式从左到右的变形正确的是 （）
A. $\frac{b}{a}=\frac{b+1}{a+1}$
C. $\frac{a-b}{b-a}=-1$
A. $\frac{b}{a}=\frac{b+1}{a+1}$
C. $\frac{a-b}{b-a}=-1$
答案
$\boldsymbol{C}$
解析
解：逐一分析各选项：
选项A：分式的基本性质是分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变，该变形是分子分母同时加1，不符合分式基本性质，变形错误。
选项B：当$x=0$时，右边分式的分母$2ax=0$，分式无意义，变形不成立，错误。
选项C：$\frac{a-b}{b-a}=\frac{-(b-a)}{b-a}=-1$，该变形符合分式符号法则，正确。
选项D：$(-\frac{3b}{a})^3=-\frac{(3b)^3}{a^3}=-\frac{27b^3}{a^3}≠-\frac{9b^3}{a^3}$，变形错误。
选项A：分式的基本性质是分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变，该变形是分子分母同时加1，不符合分式基本性质，变形错误。
选项B：当$x=0$时，右边分式的分母$2ax=0$，分式无意义，变形不成立，错误。
选项C：$\frac{a-b}{b-a}=\frac{-(b-a)}{b-a}=-1$，该变形符合分式符号法则，正确。
选项D：$(-\frac{3b}{a})^3=-\frac{(3b)^3}{a^3}=-\frac{27b^3}{a^3}≠-\frac{9b^3}{a^3}$，变形错误。
2. 分式$\frac{1}{3x^2y^2}$与$\frac{1}{4xy^3}$的最简公分母是 （）
A.$12x^3y^6$
B.$6x^3y^5$
C.$6x^2y^5$
D.$12x^2y^3$
A.$12x^3y^6$
B.$6x^3y^5$
C.$6x^2y^5$
D.$12x^2y^3$
答案
D
解析
求两个分式的最简公分母步骤如下：
1. 取各分母系数的最小公倍数：两个分母的系数分别是3和4，它们的最小公倍数为12；
2. 取所有出现的字母的最高次幂：字母x的最高次数是2，字母y的最高次数是3；
因此组合得到最简公分母为$12x^2y^3$。
1. 取各分母系数的最小公倍数：两个分母的系数分别是3和4，它们的最小公倍数为12；
2. 取所有出现的字母的最高次幂：字母x的最高次数是2，字母y的最高次数是3；
因此组合得到最简公分母为$12x^2y^3$。
3. 计算$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$的结果是（）
A.$a$
B.$a-2$
C.$0$
D.$1$
A.$a$
B.$a-2$
C.$0$
D.$1$
答案
D
解析
根据同分母分式的加法运算法则，分母不变，分子相加：
$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{(a-1)+1}{a}=\frac{a}{a}=1$
$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{(a-1)+1}{a}=\frac{a}{a}=1$
4.若$\frac{x+1}{x}=3$，则$\frac{x^2+1}{x^2}$的值为 （）
A.5
B.9
C.11
D.13
A.5
B.9
C.11
D.13
答案
A
解析
已知$\frac{x+1}{x}=3$，将等式左边拆分得：$1+\frac{1}{x}=3$，解得$\frac{1}{x}=2$。
将所求式$\frac{x^2+1}{x^2}$拆分，得：$\frac{x^2+1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}$。
代入$\frac{1}{x}=2$，可得$\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{x})^2=4$，因此原式$=1+4=5$。
将所求式$\frac{x^2+1}{x^2}$拆分，得：$\frac{x^2+1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}$。
代入$\frac{1}{x}=2$，可得$\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{x})^2=4$，因此原式$=1+4=5$。
5.若$( \dfrac{1}{a-1} + \dfrac{1}{a+1} ) × △ ÷ \dfrac{a}{a^2 -1}$化简后的结果为$\dfrac{1}{a}$，则“△”表示的代数式是（）
A.1
B.$a$
C.$\dfrac{1}{2a}$
D.$\dfrac{1}{a^2 -1}$
A.1
B.$a$
C.$\dfrac{1}{2a}$
D.$\dfrac{1}{a^2 -1}$
答案
C
解析
先计算括号内的分式加法：
$\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}=\frac{(a+1)+(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{2a}{a^2-1}$
根据题意列等式：
$\frac{2a}{a^2-1} × △ ÷ \frac{a}{a^2-1} = \frac{1}{a}$
将除法转化为乘法：
$\frac{2a}{a^2-1} × △ × \frac{a^2-1}{a} = \frac{1}{a}$
约分化简得$2×△=\frac{1}{a}$，解得$△=\frac{1}{2a}$。
$\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}=\frac{(a+1)+(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{2a}{a^2-1}$
根据题意列等式：
$\frac{2a}{a^2-1} × △ ÷ \frac{a}{a^2-1} = \frac{1}{a}$
将除法转化为乘法：
$\frac{2a}{a^2-1} × △ × \frac{a^2-1}{a} = \frac{1}{a}$
约分化简得$2×△=\frac{1}{a}$，解得$△=\frac{1}{2a}$。
