19. (10分)已知$a - b = 7$，$ab = -10$，求$(a + b)^2 + 2(a - b)^2$的值。

19. 107。

【分析】
本题已知$a-b$和$ab$的值，要求含$(a+b)^2$、$(a-b)^2$的代数式的值，可利用完全平方公式的变形关系，先求出$(a-b)^2$的值，再通过$(a+b)^2$与$(a-b)^2$、$ab$的关系求出$(a+b)^2$的值，最后整体代入所求代数式计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：已知$a-b=7$，先计算$(a-b)^2$：
$(a-b)^2=7^2=49$
根据完全平方公式的变形，$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，代入$ab=-10$：
$(a+b)^2=49 + 4×(-10)=49-40=9$
将$(a+b)^2=9$、$(a-b)^2=49$代入所求式子：
$(a+b)^2 + 2(a-b)^2=9 + 2×49=9+98=107$
【答案】
107
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、整体代入思想
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，重点考查完全平方公式的变形应用，通过整体代入的方法可避开求解单个字母的值，大大降低计算量，掌握完全平方公式的常用变形是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7

20.(10分)如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示).

(1)上述操作能验证的等式是 ()
A.$a^2 -2ab +b^2=(a -b)^2$
B.$a^2 -b^2=(a +b)(a -b)$
(2)请利用从(1)选出的等式，解答下列各题：
①已知$a^2 -b^2=36$，$a +b=9$，则$a -b=$；
②计算：$(20^2 -19^2)+(18^2 -17^2)+(16^2 -15^2)+…+(4^2 -3^2)+(2^2 -1)$.

20.(1)B (2)① 4
②原式$=(20+19)×(20-19)+(18+17)×(18-17)+(16+15)×(16-15)+…+(4+3)×(4-3)+(2+1)×(2-1)=20+19+18+17+16+15+…+4+3+2+1=\frac{(20+1)×20}{2}=210$。

【分析】
(1) 先分别计算两个图形的阴影面积：图①阴影是大正方形减去小正方形，面积为$a^2-b^2$；图②拼成的长方形长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两个阴影面积相等，即可得出验证的等式。
(2) ①直接套用(1)得到的平方差公式，将已知数值代入变形，即可求出$a-b$的值。
②观察式子特征，每组均为两个数的平方差，分别对每组用平方差公式拆分，发现每组的差均为1，式子可转化为1到20的连续正整数之和，用首尾相加的方法计算总和即可。
【解析】
(1) 图①阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$
图②中长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，阴影部分面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
因为阴影部分面积不变，$S_1=S_2$，所以$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选B。
(2) ① 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入已知$a^2 - b^2=36$，$a+b=9$，得：
$36=9×(a-b)$
解得$a-b=36÷9=4$。
② 对每一组平方差套用平方差公式拆分：
$\begin{aligned}原式&=(20+19)×(20-19)+(18+17)×(18-17)+(16+15)×(16-15)+\dots+(4+3)×(4-3)+(2+1)×(2-1)\\&=20+19+18+17+16+15+\dots+4+3+2+1\\&=\frac{(20+1)×20}{2}\\&=210\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{B}$；(2)①$\boldsymbol{4}$；②$\boldsymbol{210}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，有理数简便运算
【点评】
本题以几何拼图为载体考查平方差公式的推导与应用，体现了数形结合的数学思想，要求学生能熟练运用平方差公式对式子变形，解决求值、简便运算类问题，是整式乘法章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7