21.(10分)已知AB//CD,在AB,CD之间任取一点E,连接EA,ED。
(1)如图1,若∠A=30°,∠D=45°,求∠E的度数；
(2)如图2,猜想∠A,∠AED,∠D之间的数量关系,并说明理由。

21.(1) $75°$。(2)$∠ A + ∠ AED + ∠ D = 360°$。理由略。

【分析】
本题考查平行线性质的应用，针对平行线间的折线类角度问题，通用解题思路是过折线的拐点作已知平行线的平行线，利用平行公理的推论得到新的平行关系，再结合平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质转化角度，进而求解或推导角度关系。
(1) 求解∠AED的度数，只需过E作AB的平行线，将∠AED拆分为两个分别与∠A、∠D相等的内错角，求和即可得到结果。
(2) 推导三个角的数量关系，同样过E作AB的平行线，将图形拆分为两组平行线，利用两组同旁内角和均为180°，相加后整理即可得到三个角的数量关系。
【解析】
(1) 如图1，过点E作$EF// AB$。
∵ $AB// CD$（已知），
∴ $EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ $∠ A=∠ AEF$，$∠ D=∠ DEF$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $∠ A=30°$，$∠ D=45°$，
∴ $∠ AED=∠ AEF+∠ DEF=∠ A+∠ D=30°+45°=75°$。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ A + ∠ AED + ∠ D = 360°}$，理由如下：
如图2，过点E作$EG// AB$。
∵ $AB// CD$（已知），
∴ $EG// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ $∠ A+∠ AEG=180°$，$∠ D+∠ DEG=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
将两式相加得：$∠ A + ∠ AEG + ∠ DEG + ∠ D = 180° + 180° = 360°$，
又
∵ $∠ AEG+∠ DEG=∠ AED$，
∴ $∠ A + ∠ AED + ∠ D = 360°$。
【答案】
(1) $75°$；(2) $\boldsymbol{∠A + ∠AED + ∠D = 360°}$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度转化
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，核心解题技巧是过折线拐点作平行线构造角度关系，这类题型是平行线章节的常见考点，熟练掌握辅助线的构造方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7