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1.古希腊数学家丢番图的墓志铭记载了他的一生.为了深入了解丢番图的生平，七年级某数学兴趣小组开展了一次探究活动.
(1)已知丢番图生命的六分之一是幸福的童年，再活生命的十二分之一，颊上长出了细细的胡须，又过了生命的七分之一才结婚，婚后5年得子，孩子的寿命是他的一半，孩子死后，老人在悲痛中活了4年结束了尘世生涯.求丢番图活了多少岁？
(2)在上述探究活动中，小组计划制作一个展示板，将丢番图的生平信息以图文并茂的形式呈现出来.展示板是一个长方形，其长比宽多20厘米，且周长为160厘米，这个展示板的长和宽分别是多少厘米？
(1)已知丢番图生命的六分之一是幸福的童年，再活生命的十二分之一，颊上长出了细细的胡须，又过了生命的七分之一才结婚，婚后5年得子，孩子的寿命是他的一半，孩子死后，老人在悲痛中活了4年结束了尘世生涯.求丢番图活了多少岁？
(2)在上述探究活动中，小组计划制作一个展示板，将丢番图的生平信息以图文并茂的形式呈现出来.展示板是一个长方形，其长比宽多20厘米，且周长为160厘米，这个展示板的长和宽分别是多少厘米？
答案
解:(1)设丢番图活了x岁,根据题意,得
$\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x+5+\frac{1}{2}x+4=x$,
解得$x=84$.
答:丢番图活了84岁.
(2)设展示板的宽为y厘米,则长为$(y+20)$厘米,
根据题意,得$2(y+y+20)=160$,解得$y=30$.
则$y+20=30+20=50$.
答:展示板的长是50厘米,宽是30厘米.
$\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x+5+\frac{1}{2}x+4=x$,
解得$x=84$.
答:丢番图活了84岁.
(2)设展示板的宽为y厘米,则长为$(y+20)$厘米,
根据题意,得$2(y+y+20)=160$,解得$y=30$.
则$y+20=30+20=50$.
答:展示板的长是50厘米,宽是30厘米.
解析
【分析】
(1) 本题属于年龄类的一元一次方程应用问题，核心等量关系是丢番图各个生命阶段的时长总和等于他的总寿命。我们可以设丢番图活了x岁，将童年、长胡须阶段、婚前阶段、婚后到生子的时长、孩子的寿命、孩子去世后他的存活时长依次用含x的代数式表示，相加后等于总寿命x，列方程求解即可。
(2) 本题属于几何周长类的一元一次方程应用问题，核心等量关系是长方形周长公式：周长=2×(长+宽)。已知长比宽多20厘米，我们设宽为y厘米，则长为(y+20)厘米，把数值和代数式代入周长公式列方程，先求出宽，再计算长即可。
【解析】
(1) 设丢番图活了x岁，根据题意列方程：
$\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x+5+\frac{1}{2}x+4=x$
合并同类项化简得：
$\frac{75}{84}x +9 =x$
移项计算得：
$\frac{9}{84}x=9$
解得$x=84$
答：丢番图活了84岁。
(2) 设展示板的宽为y厘米，则长为$(y+20)$厘米，根据长方形周长公式列方程：
$2(y+y+20)=160$
化简得：$2(2y+20)=160$
两边同除以2得：$2y+20=80$
移项计算得：$2y=60$
解得$y=30$
则长为$y+20=30+20=50$（厘米）
答：展示板的长是50厘米，宽是30厘米。
【答案】
(1) 丢番图活了84岁；(2) 展示板长50厘米，宽30厘米。
【知识点】
一元一次方程应用，长方形周长计算
【点评】
本题结合数学史和实际生活场景考察一元一次方程的基础应用，解题关键是准确找到题目中的等量关系，正确列出方程求解，侧重对基础建模能力和计算能力的考察。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于年龄类的一元一次方程应用问题，核心等量关系是丢番图各个生命阶段的时长总和等于他的总寿命。我们可以设丢番图活了x岁，将童年、长胡须阶段、婚前阶段、婚后到生子的时长、孩子的寿命、孩子去世后他的存活时长依次用含x的代数式表示，相加后等于总寿命x，列方程求解即可。
(2) 本题属于几何周长类的一元一次方程应用问题，核心等量关系是长方形周长公式：周长=2×(长+宽)。已知长比宽多20厘米，我们设宽为y厘米，则长为(y+20)厘米，把数值和代数式代入周长公式列方程，先求出宽，再计算长即可。
【解析】
(1) 设丢番图活了x岁，根据题意列方程：
$\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x+5+\frac{1}{2}x+4=x$
合并同类项化简得：
$\frac{75}{84}x +9 =x$
移项计算得：
$\frac{9}{84}x=9$
解得$x=84$
答：丢番图活了84岁。
(2) 设展示板的宽为y厘米，则长为$(y+20)$厘米，根据长方形周长公式列方程：
$2(y+y+20)=160$
化简得：$2(2y+20)=160$
两边同除以2得：$2y+20=80$
移项计算得：$2y=60$
解得$y=30$
则长为$y+20=30+20=50$（厘米）
答：展示板的长是50厘米，宽是30厘米。
【答案】
(1) 丢番图活了84岁；(2) 展示板长50厘米，宽30厘米。
【知识点】
一元一次方程应用，长方形周长计算
【点评】
本题结合数学史和实际生活场景考察一元一次方程的基础应用，解题关键是准确找到题目中的等量关系，正确列出方程求解，侧重对基础建模能力和计算能力的考察。
【难度系数】
0.8
2. 在一次数学综合实践课上，老师组织同学们探索月历中的数学奥秘.
(1)小辉用“一”字形框在月历上横着框出3个数，这3个数的和是54，请求出这3个数分别是多少？
(2)小敏用“十”字形框在月历上框出5个数，这5个数的和是80，你能求出这5个数吗？如果能，请求出；如果不能，请说明理由.
(3)小萱自己设计了一个“T”字形透明框，在月历上框出了5个数，已知这5个数的和是106，求框出的最中间的数是多少？
(1)小辉用“一”字形框在月历上横着框出3个数，这3个数的和是54，请求出这3个数分别是多少？
(2)小敏用“十”字形框在月历上框出5个数，这5个数的和是80，你能求出这5个数吗？如果能，请求出；如果不能，请说明理由.
(3)小萱自己设计了一个“T”字形透明框，在月历上框出了5个数，已知这5个数的和是106，求框出的最中间的数是多少？
答案
解:(1)设框出的第一个数为x,因为月历上同一行相邻两个数相差1,则后面两个数分别为$x+1,x+2$.
根据题意,得$x+(x+1)+(x+2)=54$,解得$x=17$,
则$x+1=17+1=18,x+2=17+2=19$,
所以这3个数分别是17,18,19.
(2)能.设“十”字形框最中间的数为y,则上面的数为$y-7$,下面的数为$y+7$,左边的数为$y-1$,右边的数为$y+1$.
根据题意,得
$(y-7)+(y-1)+y+(y+1)+(y+7)=80$,
解得$y=16$,则$y-7=16-7=9$,
$y-1=16-1=15,y+1=16+1=17$,
$y+7=16+7=23$,
所以这5个数分别是9,15,16,17,23.
(3)设框出的最中间的数为z,则上面的数为$z-7$,左上角的数为$z-8$,右上角的数为$z-6$,下面的数为$z+7$.
根据题意,得
$(z-8)+(z-7)+(z-6)+z+(z+7)=106$,
解得$z=24$,所以框出的最中间的数是24.
根据题意,得$x+(x+1)+(x+2)=54$,解得$x=17$,
则$x+1=17+1=18,x+2=17+2=19$,
所以这3个数分别是17,18,19.
(2)能.设“十”字形框最中间的数为y,则上面的数为$y-7$,下面的数为$y+7$,左边的数为$y-1$,右边的数为$y+1$.
根据题意,得
$(y-7)+(y-1)+y+(y+1)+(y+7)=80$,
解得$y=16$,则$y-7=16-7=9$,
$y-1=16-1=15,y+1=16+1=17$,
$y+7=16+7=23$,
所以这5个数分别是9,15,16,17,23.
(3)设框出的最中间的数为z,则上面的数为$z-7$,左上角的数为$z-8$,右上角的数为$z-6$,下面的数为$z+7$.
根据题意,得
$(z-8)+(z-7)+(z-6)+z+(z+7)=106$,
解得$z=24$,所以框出的最中间的数是24.
解析
【分析】
首先明确月历的核心数字规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7（每周7天）。解题通用思路为：①根据框的形状选择合适的未知量设为未知数（优先设中间数，可抵消相邻差值简化计算）；②用含未知数的代数式表示出框内所有数字；③根据题目给出的数字和列一元一次方程；④解方程后验证结果是否符合月历数字取值要求即可。
【解析】
(1) 设横着框出的第一个数为$x$，根据月历同一行相邻数差1的规律，另外两个数分别为$x+1$、$x+2$。
根据3个数的和是54列方程：
$x+(x+1)+(x+2)=54$
解得$x=17$，则$x+1=18$，$x+2=19$，结果符合月历取值规则。
(2) 能求出这5个数。设“十”字形框最中间的数为$y$，根据月历规律：上面的数为$y-7$，下面的数为$y+7$，左边的数为$y-1$，右边的数为$y+1$。
根据5个数的和是80列方程：
$(y-7)+(y-1)+y+(y+1)+(y+7)=80$
解得$y=16$，则$y-7=9$，$y-1=15$，$y+1=17$，$y+7=23$，结果符合月历取值规则。
(3) 设“T”字形框最中间的数为$z$，根据T字形结构和月历规律：左上角的数为$z-8$，上面的数为$z-7$，右上角的数为$z-6$，下面的数为$z+7$。
根据5个数的和是106列方程：
$(z-8)+(z-7)+(z-6)+z+(z+7)=106$
解得$z=24$，结果符合月历取值规则。
【答案】
(1) 17，18，19；
(2) 能，这5个数分别是9，15，16，17，23；
(3) 24
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程的应用，列方程解实际问题
【点评】
本题结合生活中常见的月历场景，考查数字规律探究与方程思想的实际应用，解题核心是找准不同形状框内数字的数量关系，合理设未知数简化运算，有助于提升用数学知识解决生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确月历的核心数字规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7（每周7天）。解题通用思路为：①根据框的形状选择合适的未知量设为未知数（优先设中间数，可抵消相邻差值简化计算）；②用含未知数的代数式表示出框内所有数字；③根据题目给出的数字和列一元一次方程；④解方程后验证结果是否符合月历数字取值要求即可。
【解析】
(1) 设横着框出的第一个数为$x$，根据月历同一行相邻数差1的规律，另外两个数分别为$x+1$、$x+2$。
根据3个数的和是54列方程：
$x+(x+1)+(x+2)=54$
解得$x=17$，则$x+1=18$，$x+2=19$，结果符合月历取值规则。
(2) 能求出这5个数。设“十”字形框最中间的数为$y$，根据月历规律：上面的数为$y-7$，下面的数为$y+7$，左边的数为$y-1$，右边的数为$y+1$。
根据5个数的和是80列方程：
$(y-7)+(y-1)+y+(y+1)+(y+7)=80$
解得$y=16$，则$y-7=9$，$y-1=15$，$y+1=17$，$y+7=23$，结果符合月历取值规则。
(3) 设“T”字形框最中间的数为$z$，根据T字形结构和月历规律：左上角的数为$z-8$，上面的数为$z-7$，右上角的数为$z-6$，下面的数为$z+7$。
根据5个数的和是106列方程：
$(z-8)+(z-7)+(z-6)+z+(z+7)=106$
解得$z=24$，结果符合月历取值规则。
【答案】
(1) 17，18，19；
(2) 能，这5个数分别是9，15，16，17，23；
(3) 24
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程的应用，列方程解实际问题
【点评】
本题结合生活中常见的月历场景，考查数字规律探究与方程思想的实际应用，解题核心是找准不同形状框内数字的数量关系，合理设未知数简化运算，有助于提升用数学知识解决生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
