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1. 下列等式变形正确的是 （
A.若$ax=ay$，则$x=y$
B.若$x+1=y+1$，则$x=y$
C.若$x=y$，则$2x=3y$
D.若$x=y$，则$x-5=5-y$
B
）A.若$ax=ay$，则$x=y$
B.若$x+1=y+1$，则$x=y$
C.若$x=y$，则$2x=3y$
D.若$x=y$，则$x-5=5-y$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路是回忆等式的两条基本性质，逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求：①等式两边加或减同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。需要注意应用性质2时，除以的数不能为0。
【解析】
我们结合等式的基本性质逐个判断选项：
A. 若$ax=ay$，当$a=0$时，无论$x$、$y$取什么值，等式都成立，无法推出$x=y$，变形错误；
B. 若$x+1=y+1$，等式两边同时减去1，可得$x+1-1=y+1-1$，即$x=y$，符合等式的基本性质1，变形正确；
C. 若$x=y$，等式两边需乘同一个数才能保持相等，该选项左边乘2、右边乘3，不符合等式的基本性质2，变形错误；
D. 若$x=y$，等式两边同时减去5可得$x-5=y-5$，和选项中的$x-5=5-y$不符，变形错误。
综上，正确选项是B。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式基本性质的掌握，解题时要注意除以同一个数时需保证该数不为0这一前提条件，避免误选A选项。
【难度系数】
0.8
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路是回忆等式的两条基本性质，逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求：①等式两边加或减同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。需要注意应用性质2时，除以的数不能为0。
【解析】
我们结合等式的基本性质逐个判断选项：
A. 若$ax=ay$，当$a=0$时，无论$x$、$y$取什么值，等式都成立，无法推出$x=y$，变形错误；
B. 若$x+1=y+1$，等式两边同时减去1，可得$x+1-1=y+1-1$，即$x=y$，符合等式的基本性质1，变形正确；
C. 若$x=y$，等式两边需乘同一个数才能保持相等，该选项左边乘2、右边乘3，不符合等式的基本性质2，变形错误；
D. 若$x=y$，等式两边同时减去5可得$x-5=y-5$，和选项中的$x-5=5-y$不符，变形错误。
综上，正确选项是B。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式基本性质的掌握，解题时要注意除以同一个数时需保证该数不为0这一前提条件，避免误选A选项。
【难度系数】
0.8
2. 解方程$\frac{x}{2} - 1 = \frac{x - 1}{3}$时，去分母正确的是 （
A.$3x - 3 = 2x - 2$
B.$3x - 6 = 2x - 2$
C.$3x - 6 = 2x - 1$
D.$3x - 3 = 2x - 1$
B
）A.$3x - 3 = 2x - 2$
B.$3x - 6 = 2x - 2$
C.$3x - 6 = 2x - 1$
D.$3x - 3 = 2x - 1$
答案
2.B
解析
【分析】
解答本题首先回忆一元一次方程去分母的解题思路：第一步先确定方程中所有分母的最小公倍数，第二步根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘这个最小公倍数，注意两点：一是不能漏乘不含分母的项，二是如果分子是多项式，去分母后要给分子整体加括号，避免运算出错。本题中分母为2和3，最小公倍数是6，按上述规则计算即可选出正确选项。
【解析】
方程$\frac{x}{2} - 1 = \frac{x - 1}{3}$去分母时，给等式两边同时乘分母的最小公倍数6：
左边各项乘6得：$\frac{x}{2} × 6 - 1 × 6 = 3x - 6$
右边各项乘6得：$\frac{x-1}{3} × 6 = 2(x-1) = 2x - 2$
因此去分母后结果为$3x - 6 = 2x - 2$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程去分母，等式的基本性质
【点评】
本题重点考查一元一次方程去分母的运算规则，易错点为漏乘不含分母的常数项，或是去分母时未给多项式分子加括号导致展开错误，熟练掌握去分母的注意事项即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解答本题首先回忆一元一次方程去分母的解题思路：第一步先确定方程中所有分母的最小公倍数，第二步根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘这个最小公倍数，注意两点：一是不能漏乘不含分母的项，二是如果分子是多项式，去分母后要给分子整体加括号，避免运算出错。本题中分母为2和3，最小公倍数是6，按上述规则计算即可选出正确选项。
【解析】
方程$\frac{x}{2} - 1 = \frac{x - 1}{3}$去分母时，给等式两边同时乘分母的最小公倍数6：
左边各项乘6得：$\frac{x}{2} × 6 - 1 × 6 = 3x - 6$
右边各项乘6得：$\frac{x-1}{3} × 6 = 2(x-1) = 2x - 2$
因此去分母后结果为$3x - 6 = 2x - 2$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程去分母，等式的基本性质
【点评】
本题重点考查一元一次方程去分母的运算规则，易错点为漏乘不含分母的常数项，或是去分母时未给多项式分子加括号导致展开错误，熟练掌握去分母的注意事项即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x$的一元一次方程$2x^{a-2}+m=4$的解为$x=1$，则$a+m$的值为 （
A.9
B.8
C.5
D.4
C
）A.9
B.8
C.5
D.4
答案
3.C
解析
【分析】
首先明确解题的两个核心依据：一是一元一次方程的定义，即方程中只含一个未知数，且未知数的最高次数为1；二是方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值。解题时先根据一元一次方程的定义求出a的值，再将x=1代入方程求出m的值，最后计算a+m的结果即可。
【解析】
第一步：根据一元一次方程的定义求a的值
∵ 方程$2x^{a-2}+m=4$是关于x的一元一次方程
∴ x的次数为1，即$a-2=1$
解得：$a=3$
此时方程可化为：$2x + m = 4$
第二步：根据方程的解求m的值
∵ 方程的解为$x=1$，将$x=1$代入$2x + m = 4$得：
$2×1 + m = 4$
即$2 + m = 4$
解得：$m=2$
第三步：计算$a+m$的值
$a+m=3+2=5$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题考查一元一次方程相关概念的应用，解题的关键是牢记一元一次方程中未知数次数为1的特点，以及方程的解满足原方程的性质，整体解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先明确解题的两个核心依据：一是一元一次方程的定义，即方程中只含一个未知数，且未知数的最高次数为1；二是方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值。解题时先根据一元一次方程的定义求出a的值，再将x=1代入方程求出m的值，最后计算a+m的结果即可。
【解析】
第一步：根据一元一次方程的定义求a的值
∵ 方程$2x^{a-2}+m=4$是关于x的一元一次方程
∴ x的次数为1，即$a-2=1$
解得：$a=3$
此时方程可化为：$2x + m = 4$
第二步：根据方程的解求m的值
∵ 方程的解为$x=1$，将$x=1$代入$2x + m = 4$得：
$2×1 + m = 4$
即$2 + m = 4$
解得：$m=2$
第三步：计算$a+m$的值
$a+m=3+2=5$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题考查一元一次方程相关概念的应用，解题的关键是牢记一元一次方程中未知数次数为1的特点，以及方程的解满足原方程的性质，整体解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4.爸爸对儿子说:"我像你这么大时,你才4岁.当你像我这么大时,我就79岁了."现在爸爸的年龄是
（
A.32岁
B.54岁
C.28岁
D.31岁
（
B
）A.32岁
B.54岁
C.28岁
D.31岁
答案
4.B
解析
【分析】
本题属于年龄问题，解题核心是两人的年龄差始终保持不变。我们可以先将年龄差设为未知数，再梳理不同时间点两人年龄和年龄差的关系：①爸爸像儿子这么大时，儿子4岁，说明儿子现在的年龄=4岁+年龄差，爸爸现在的年龄=儿子现在的年龄+年龄差=4岁+2倍年龄差；②儿子长到爸爸现在的年龄时，需要再过1个年龄差的时间，此时爸爸的年龄=爸爸现在的年龄+年龄差=4岁+3倍年龄差，对应题目中爸爸79岁的条件，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设爸爸和儿子的年龄差为$ x $岁。
根据题意可得等量关系：$ 3x + 4 = 79 $
解方程：
$ 3x = 79 - 4 $
$ 3x = 75 $
$ x = 25 $
则爸爸现在的年龄为：$ 4 + 2x = 4 + 2×25 = 54 $（岁）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 年龄差不变性质
2. 一元一次方程的应用
3. 找等量关系列方程
【点评】
本题是年龄问题的经典题型，核心破题点是挖掘出“年龄差恒定”这一隐含条件，只要理清不同时间节点两人年龄与年龄差的数量关系，就能快速建立方程求解，解题时要注意避免混淆不同时间点对应的年龄。
【难度系数】
0.6
本题属于年龄问题，解题核心是两人的年龄差始终保持不变。我们可以先将年龄差设为未知数，再梳理不同时间点两人年龄和年龄差的关系：①爸爸像儿子这么大时，儿子4岁，说明儿子现在的年龄=4岁+年龄差，爸爸现在的年龄=儿子现在的年龄+年龄差=4岁+2倍年龄差；②儿子长到爸爸现在的年龄时，需要再过1个年龄差的时间，此时爸爸的年龄=爸爸现在的年龄+年龄差=4岁+3倍年龄差，对应题目中爸爸79岁的条件，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设爸爸和儿子的年龄差为$ x $岁。
根据题意可得等量关系：$ 3x + 4 = 79 $
解方程：
$ 3x = 79 - 4 $
$ 3x = 75 $
$ x = 25 $
则爸爸现在的年龄为：$ 4 + 2x = 4 + 2×25 = 54 $（岁）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 年龄差不变性质
2. 一元一次方程的应用
3. 找等量关系列方程
【点评】
本题是年龄问题的经典题型，核心破题点是挖掘出“年龄差恒定”这一隐含条件，只要理清不同时间节点两人年龄与年龄差的数量关系，就能快速建立方程求解，解题时要注意避免混淆不同时间点对应的年龄。
【难度系数】
0.6
5.(2025·梁溪区三模)我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺,井深几何?这道题大致意思是:用绳子测量水井深度,如果将绳子折成三等份,那么每等份井外余绳四尺;如果将绳子折成四等份,那么每等份井外余绳一尺.问井深多少尺?下列说法正确的是
（
A.设井深为 $ x $ 尺,所列方程为 $ 3(x+4)=4(x-1) $
B.设绳子的长为 $ x $ 尺,所列方程为 $ \frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x + 1 $
C.绳子的长是 32 尺
D.井深 8 尺
（
D
）A.设井深为 $ x $ 尺,所列方程为 $ 3(x+4)=4(x-1) $
B.设绳子的长为 $ x $ 尺,所列方程为 $ \frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x + 1 $
C.绳子的长是 32 尺
D.井深 8 尺
答案
5.D
解析
【分析】
解题的核心是抓住“绳长固定”“井深固定”两个不变的等量关系，我们可以分别通过设井深为未知数、设绳长为未知数两种思路列方程，逐一验证选项正确性，再求解得到井深和绳长的准确值判断剩余选项即可。首先明确：折绳测井时，每折的绳长=井深+单折井外余绳长度，总绳长=折数×每折绳长；井深=总绳长÷折数 - 单折井外余绳长度。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证A选项：设井深为$x$尺，
三折测井时，每折绳长为$(x+4)$尺，总绳长为$3(x+4)$尺；
四折测井时，每折绳长为$(x+1)$尺，总绳长为$4(x+1)$尺；
由绳长相等可列方程：$3(x+4)=4(x+1)$，与A选项的$3(x+4)=4(x-1)$不符，A错误。
2. 验证B选项：设绳子长为$x$尺，
三折测井时，井深为$(\frac{1}{3}x - 4)$尺；
四折测井时，井深为$(\frac{1}{4}x - 1)$尺；
由井深相等可列方程：$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$，与B选项的$\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x + 1$不符，B错误。
3. 求解准确值：解方程$3(x+4)=4(x+1)$，
展开得：$3x + 12 = 4x + 4$，
移项计算得：$x = 8$，即井深8尺；
总绳长为$3×(8+4)=36$尺，因此C选项“绳子长32尺”错误，D选项“井深8尺”正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系建立
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准不变量，区分单折余绳和总余绳的关系，避免列方程时符号出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住“绳长固定”“井深固定”两个不变的等量关系，我们可以分别通过设井深为未知数、设绳长为未知数两种思路列方程，逐一验证选项正确性，再求解得到井深和绳长的准确值判断剩余选项即可。首先明确：折绳测井时，每折的绳长=井深+单折井外余绳长度，总绳长=折数×每折绳长；井深=总绳长÷折数 - 单折井外余绳长度。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证A选项：设井深为$x$尺，
三折测井时，每折绳长为$(x+4)$尺，总绳长为$3(x+4)$尺；
四折测井时，每折绳长为$(x+1)$尺，总绳长为$4(x+1)$尺；
由绳长相等可列方程：$3(x+4)=4(x+1)$，与A选项的$3(x+4)=4(x-1)$不符，A错误。
2. 验证B选项：设绳子长为$x$尺，
三折测井时，井深为$(\frac{1}{3}x - 4)$尺；
四折测井时，井深为$(\frac{1}{4}x - 1)$尺；
由井深相等可列方程：$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$，与B选项的$\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x + 1$不符，B错误。
3. 求解准确值：解方程$3(x+4)=4(x+1)$，
展开得：$3x + 12 = 4x + 4$，
移项计算得：$x = 8$，即井深8尺；
总绳长为$3×(8+4)=36$尺，因此C选项“绳子长32尺”错误，D选项“井深8尺”正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系建立
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准不变量，区分单折余绳和总余绳的关系，避免列方程时符号出错。
【难度系数】
0.7
6. 方程$5(x+1)=x+1$的解为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
6.$x=-1$
解析
【分析】
这是一道一元一次方程求解的题目，解题时可遵循一元一次方程常规求解步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，也可将含$(x+1)$的项移到方程同侧后合并求解；注意不要直接在方程两边同时除以$(x+1)$，否则会漏掉解。
【解析】
解法1：
去括号，得 $5x + 5 = x + 1$
移项，得 $5x - x = 1 - 5$
合并同类项，得 $4x = -4$
系数化为1，得 $x = -1$
解法2：
移项，得 $5(x+1) - (x+1) = 0$
合并同类项，得 $4(x+1) = 0$
两边同时除以4，得 $x+1 = 0$
解得 $x = -1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1.一元一次方程的解法 2.等式的基本性质
【点评】
本题属于基础计算题，考查一元一次方程的求解，易错点是直接在方程两边除以含未知数的整式$(x+1)$导致解题错误，按照常规步骤求解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程求解的题目，解题时可遵循一元一次方程常规求解步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，也可将含$(x+1)$的项移到方程同侧后合并求解；注意不要直接在方程两边同时除以$(x+1)$，否则会漏掉解。
【解析】
解法1：
去括号，得 $5x + 5 = x + 1$
移项，得 $5x - x = 1 - 5$
合并同类项，得 $4x = -4$
系数化为1，得 $x = -1$
解法2：
移项，得 $5(x+1) - (x+1) = 0$
合并同类项，得 $4(x+1) = 0$
两边同时除以4，得 $x+1 = 0$
解得 $x = -1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1.一元一次方程的解法 2.等式的基本性质
【点评】
本题属于基础计算题，考查一元一次方程的求解，易错点是直接在方程两边除以含未知数的整式$(x+1)$导致解题错误，按照常规步骤求解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
7. 若关于$ x $的方程$ 2x - 3 = 11 $与$ 4x + 5 = 3k $有相同的解，则$ k $的值是________。
答案
7.11
解析
【分析】
已知两个方程有相同的解，说明第一个不含参数的方程的解同时满足第二个含参数的方程。解题思路分为两步：第一步先求解方程$2x-3=11$得到$x$的值；第二步将求出的$x$代入$4x+5=3k$，得到仅含参数$k$的一元一次方程，解该方程即可求出$k$的值。
【解析】
1. 求解方程$2x-3=11$：
移项，得$2x=11+3$
合并同类项，得$2x=14$
系数化为1，得$x=7$
2. 因为两个方程的解相同，所以$x=7$也是方程$4x+5=3k$的解，将$x=7$代入该方程：
$4×7+5=3k$
计算左边得：$28+5=3k$，即$33=3k$
系数化为1，得$k=11$
【答案】
11
【知识点】
同解方程的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，核心考查同解方程的应用，解题关键是先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程计算参数，掌握一元一次方程的基本解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
已知两个方程有相同的解，说明第一个不含参数的方程的解同时满足第二个含参数的方程。解题思路分为两步：第一步先求解方程$2x-3=11$得到$x$的值；第二步将求出的$x$代入$4x+5=3k$，得到仅含参数$k$的一元一次方程，解该方程即可求出$k$的值。
【解析】
1. 求解方程$2x-3=11$：
移项，得$2x=11+3$
合并同类项，得$2x=14$
系数化为1，得$x=7$
2. 因为两个方程的解相同，所以$x=7$也是方程$4x+5=3k$的解，将$x=7$代入该方程：
$4×7+5=3k$
计算左边得：$28+5=3k$，即$33=3k$
系数化为1，得$k=11$
【答案】
11
【知识点】
同解方程的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，核心考查同解方程的应用，解题关键是先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程计算参数，掌握一元一次方程的基本解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
8. 若单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^{3}$与$-2a^{3}b^{n}$的和仍是单项式，则方程$\frac{x-7}{n}-\frac{1+x}{m}=1$的解为________.
答案
8.$x=-23$
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据“两个单项式的和仍是单项式”判断这两个单项式是同类项，再依据同类项“相同字母的指数相等”的性质求出m、n的值，最后将m、n代入一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤计算即可得到方程的解。
【解析】
∵ 单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^{3}$与$-2a^{3}b^{n}$的和仍是单项式
∴ 两个单项式是同类项，相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}m+1=3\\n=3\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=2\\n=3\end{cases}$
将$m=2$，$n=3$代入方程$\frac{x-7}{n}-\frac{1+x}{m}=1$，得：
$\frac{x-7}{3}-\frac{1+x}{2}=1$
去分母（两边同时乘6）：$2(x-7)-3(1+x)=6$
去括号：$2x-14-3-3x=6$
移项：$2x-3x=6+14+3$
合并同类项：$-x=23$
系数化为1：$x=-23$
【答案】
$x=-23$
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将同类项的性质与一元一次方程的解法结合考查，解题核心是先准确求出参数m、n的值，解方程时需注意去分母不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先根据“两个单项式的和仍是单项式”判断这两个单项式是同类项，再依据同类项“相同字母的指数相等”的性质求出m、n的值，最后将m、n代入一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤计算即可得到方程的解。
【解析】
∵ 单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^{3}$与$-2a^{3}b^{n}$的和仍是单项式
∴ 两个单项式是同类项，相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}m+1=3\\n=3\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=2\\n=3\end{cases}$
将$m=2$，$n=3$代入方程$\frac{x-7}{n}-\frac{1+x}{m}=1$，得：
$\frac{x-7}{3}-\frac{1+x}{2}=1$
去分母（两边同时乘6）：$2(x-7)-3(1+x)=6$
去括号：$2x-14-3-3x=6$
移项：$2x-3x=6+14+3$
合并同类项：$-x=23$
系数化为1：$x=-23$
【答案】
$x=-23$
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将同类项的性质与一元一次方程的解法结合考查，解题核心是先准确求出参数m、n的值，解方程时需注意去分母不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化。
【难度系数】
0.7
9.一家商店将某种服装每件按进价加价40%作为标价，随后又打出八折优惠大促销，结果每件服装还可获利60元，则这种服装每件的进价是
500
元.答案
9.500
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心是理清各量之间的关系：进价是基础量，标价是进价加价40%得到，售价是标价打八折后的价格，利润=售价-进价。我们可以设进价为未知数，根据“每件获利60元”的等量关系列方程求解，解题步骤为：先设进价为x元，再分别表示出标价、实际售价，接着根据利润公式列方程，最后解方程得到结果。
【解析】
解：设这种服装每件的进价是x元。
1. 计算标价：按进价加价40%，因此标价为 $x×(1+40\%)=1.4x$ 元；
2. 计算实际售价：打八折优惠，因此实际售价为 $1.4x×0.8=1.12x$ 元；
3. 根据“售价-进价=利润”的等量关系列方程：
$1.12x - x = 60$
合并同类项得：$0.12x = 60$
解得：$x = 60÷0.12 = 500$
【答案】
500
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是准确梳理进价、标价、折扣、售价、利润之间的数量关系，找准等量关系列方程求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心是理清各量之间的关系：进价是基础量，标价是进价加价40%得到，售价是标价打八折后的价格，利润=售价-进价。我们可以设进价为未知数，根据“每件获利60元”的等量关系列方程求解，解题步骤为：先设进价为x元，再分别表示出标价、实际售价，接着根据利润公式列方程，最后解方程得到结果。
【解析】
解：设这种服装每件的进价是x元。
1. 计算标价：按进价加价40%，因此标价为 $x×(1+40\%)=1.4x$ 元；
2. 计算实际售价：打八折优惠，因此实际售价为 $1.4x×0.8=1.12x$ 元；
3. 根据“售价-进价=利润”的等量关系列方程：
$1.12x - x = 60$
合并同类项得：$0.12x = 60$
解得：$x = 60÷0.12 = 500$
【答案】
500
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是准确梳理进价、标价、折扣、售价、利润之间的数量关系，找准等量关系列方程求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
10.按如图所示的程序计算,若开始输入的$x$的值为正整数,最后输出的结果为556,则开始输入的$x$的值为________.
答案
10.22或111
解析
【分析】
首先明确程序的运行逻辑：输入正整数x后，计算$5x+1$的值，若结果大于500就直接输出，若不大于500就将该结果作为新的x再次代入$5x+1$计算，直到结果大于500后输出。已知最终输出结果为556，我们可以采用逆向推导的思路，分情况讨论：可能1次计算就得到556，也可能多次计算后才得到556，同时要保证每一步的x都是正整数，排除不符合条件的解。
【解析】
我们从输出结果556反向推导：
1. 若仅经过1次计算就输出结果：
可列方程$5x+1=556$
解得$5x=555$，$x=111$，111是正整数，符合要求。
2. 若经过2次计算才输出结果：
说明第一次计算的结果小于等于500，将其作为新的x代入后得到556，即第一次的计算结果满足$5× \mathrm{（}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{）}+1=556$，计算得第一次结果为111，因此可列方程$5x+1=111$
解得$5x=110$，$x=22$，22是正整数，符合要求。
3. 若尝试推导经过3次计算的情况：
可得方程$5x+1=22$，解得$x=4.2$，不是正整数，不符合要求，无需再继续往前推导。
【答案】
22或111
【知识点】
程序框图运算，一元一次方程求解，分类讨论
【点评】
本题需要结合程序运行规则逆向推导，解题时要注意分情况讨论避免漏解，同时要紧扣x为正整数的条件，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
首先明确程序的运行逻辑：输入正整数x后，计算$5x+1$的值，若结果大于500就直接输出，若不大于500就将该结果作为新的x再次代入$5x+1$计算，直到结果大于500后输出。已知最终输出结果为556，我们可以采用逆向推导的思路，分情况讨论：可能1次计算就得到556，也可能多次计算后才得到556，同时要保证每一步的x都是正整数，排除不符合条件的解。
【解析】
我们从输出结果556反向推导：
1. 若仅经过1次计算就输出结果：
可列方程$5x+1=556$
解得$5x=555$，$x=111$，111是正整数，符合要求。
2. 若经过2次计算才输出结果：
说明第一次计算的结果小于等于500，将其作为新的x代入后得到556，即第一次的计算结果满足$5× \mathrm{（}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{）}+1=556$，计算得第一次结果为111，因此可列方程$5x+1=111$
解得$5x=110$，$x=22$，22是正整数，符合要求。
3. 若尝试推导经过3次计算的情况：
可得方程$5x+1=22$，解得$x=4.2$，不是正整数，不符合要求，无需再继续往前推导。
【答案】
22或111
【知识点】
程序框图运算，一元一次方程求解，分类讨论
【点评】
本题需要结合程序运行规则逆向推导，解题时要注意分情况讨论避免漏解，同时要紧扣x为正整数的条件，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
