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1. 已知$ a = b × 3\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}c = d × \dfrac{14}{15} $，且$ a,b,c,d $都大于0，将$ a,b,c,d $按从小到大的顺序排列起来。
$(\quad)＜(\quad)＜(\quad)＜(\quad)$
$(\quad)＜(\quad)＜(\quad)＜(\quad)$
答案
1. $b＜a＜d＜c$（由题意得:$b=a÷3.5,c=a÷0.5,d=a÷\frac{14}{15}$）
解析
【分析】
我们可以把a作为基准量，将b、c、d都转化为含有a的式子，再根据a＞0的条件比较各个式子的大小，就能得到四个数的排序。首先根据等式中各数和a的关系，利用“一个因数=积÷另一个因数”的关系，分别求出b、c、d等于多少个a，再比较对应系数的大小即可。
【解析】
先将带分数$3\dfrac{1}{2}$转化为假分数$\dfrac{7}{2}$，根据已知等式分别用a表示b、c、d：
1. 由$a = b × \dfrac{7}{2}$，得$b = a ÷ \dfrac{7}{2} = a × \dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{7}a$
2. 由$a = \dfrac{1}{2}c$，得$c = a ÷ \dfrac{1}{2} = a × 2 = 2a$
3. 由$a = d × \dfrac{14}{15}$，得$d = a ÷ \dfrac{14}{15} = a × \dfrac{15}{14} = \dfrac{15}{14}a$
已知$a＞0$，比较系数大小可得$\dfrac{2}{7} ＜ 1 ＜ \dfrac{15}{14} ＜ 2$，因此$\dfrac{2}{7}a ＜ a ＜ \dfrac{15}{14}a ＜ 2a$，即$b ＜ a ＜ d ＜ c$。
【答案】
$b＜a＜d＜c$
【知识点】
分数乘除法、数的大小比较、字母表示数
【点评】
本题的核心解题思路是转化思想，选取公共量a作为基准，将其余数都用基准量表示后再比较大小，避免了复杂的通分计算，是比较多个关联数字大小的常用方法。
【难度系数】
0.7
我们可以把a作为基准量，将b、c、d都转化为含有a的式子，再根据a＞0的条件比较各个式子的大小，就能得到四个数的排序。首先根据等式中各数和a的关系，利用“一个因数=积÷另一个因数”的关系，分别求出b、c、d等于多少个a，再比较对应系数的大小即可。
【解析】
先将带分数$3\dfrac{1}{2}$转化为假分数$\dfrac{7}{2}$，根据已知等式分别用a表示b、c、d：
1. 由$a = b × \dfrac{7}{2}$，得$b = a ÷ \dfrac{7}{2} = a × \dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{7}a$
2. 由$a = \dfrac{1}{2}c$，得$c = a ÷ \dfrac{1}{2} = a × 2 = 2a$
3. 由$a = d × \dfrac{14}{15}$，得$d = a ÷ \dfrac{14}{15} = a × \dfrac{15}{14} = \dfrac{15}{14}a$
已知$a＞0$，比较系数大小可得$\dfrac{2}{7} ＜ 1 ＜ \dfrac{15}{14} ＜ 2$，因此$\dfrac{2}{7}a ＜ a ＜ \dfrac{15}{14}a ＜ 2a$，即$b ＜ a ＜ d ＜ c$。
【答案】
$b＜a＜d＜c$
【知识点】
分数乘除法、数的大小比较、字母表示数
【点评】
本题的核心解题思路是转化思想，选取公共量a作为基准，将其余数都用基准量表示后再比较大小，避免了复杂的通分计算，是比较多个关联数字大小的常用方法。
【难度系数】
0.7
2. 在“$\frac{3}{4} × \frac{2}{5}, \frac{3}{4} ÷ \frac{2}{5}, \frac{3}{4} × \frac{5}{4}, \frac{3}{4} ÷ \frac{5}{4}$”这四个算式中，得数最小的算式是（$\frac{3}{4} × \frac{2}{5}$）。
答案
2. $\frac{3}{4}×\frac{2}{5}$（都转化成乘法算式再比较）
解析
【分析】
要找出四个算式中得数最小的，我们可以利用分数除法的计算法则先把所有除法算式转化为乘法算式，观察发现转化后的四个算式都含有相同的正数因数$\frac{3}{4}$，根据积的变化规律：当一个正数乘不同的数时，另一个因数越小，所得的积就越小，因此只需要比较四个算式中另一个因数的大小，就能快速判断出得数最小的算式，也可以直接计算每个算式的结果后再比较大小。
【解析】
第一步：将除法算式转化为乘法算式（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）：
$\frac{3}{4} ÷ \frac{2}{5} = \frac{3}{4} × \frac{5}{2}$，$\frac{3}{4} ÷ \frac{5}{4} = \frac{3}{4} × \frac{4}{5}$
此时四个算式分别为：$\frac{3}{4} × \frac{2}{5}$、$\frac{3}{4} × \frac{5}{2}$、$\frac{3}{4} × \frac{5}{4}$、$\frac{3}{4} × \frac{4}{5}$
第二步：比较每个算式中除$\frac{3}{4}$外的另一个因数的大小：
转化为小数比较可得：$\frac{2}{5}=0.4$，$\frac{4}{5}=0.8$，$\frac{5}{4}=1.25$，$\frac{5}{2}=2.5$
大小关系为：$\frac{2}{5} ＜ \frac{4}{5} ＜ \frac{5}{4} ＜ \frac{5}{2}$
第三步：根据积的变化规律，因为$\frac{3}{4}＞0$，乘的因数越小，积越小，所以$\frac{3}{4} × \frac{2}{5}$的得数最小。
也可直接计算验证：四个算式结果分别为$\frac{3}{10}$、$\frac{15}{8}$、$\frac{15}{16}$、$\frac{3}{5}$，对比得$\frac{3}{10}$最小，对应算式为$\frac{3}{4} × \frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{4}×\frac{2}{5}$
【知识点】
分数乘除法、积的变化规律、数的大小比较
【点评】
本题考查分数乘除法的计算及大小比较技巧，熟练掌握分数除法的转化规则和积与因数的大小关系，可不用计算全部结果就快速得出答案，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要找出四个算式中得数最小的，我们可以利用分数除法的计算法则先把所有除法算式转化为乘法算式，观察发现转化后的四个算式都含有相同的正数因数$\frac{3}{4}$，根据积的变化规律：当一个正数乘不同的数时，另一个因数越小，所得的积就越小，因此只需要比较四个算式中另一个因数的大小，就能快速判断出得数最小的算式，也可以直接计算每个算式的结果后再比较大小。
【解析】
第一步：将除法算式转化为乘法算式（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）：
$\frac{3}{4} ÷ \frac{2}{5} = \frac{3}{4} × \frac{5}{2}$，$\frac{3}{4} ÷ \frac{5}{4} = \frac{3}{4} × \frac{4}{5}$
此时四个算式分别为：$\frac{3}{4} × \frac{2}{5}$、$\frac{3}{4} × \frac{5}{2}$、$\frac{3}{4} × \frac{5}{4}$、$\frac{3}{4} × \frac{4}{5}$
第二步：比较每个算式中除$\frac{3}{4}$外的另一个因数的大小：
转化为小数比较可得：$\frac{2}{5}=0.4$，$\frac{4}{5}=0.8$，$\frac{5}{4}=1.25$，$\frac{5}{2}=2.5$
大小关系为：$\frac{2}{5} ＜ \frac{4}{5} ＜ \frac{5}{4} ＜ \frac{5}{2}$
第三步：根据积的变化规律，因为$\frac{3}{4}＞0$，乘的因数越小，积越小，所以$\frac{3}{4} × \frac{2}{5}$的得数最小。
也可直接计算验证：四个算式结果分别为$\frac{3}{10}$、$\frac{15}{8}$、$\frac{15}{16}$、$\frac{3}{5}$，对比得$\frac{3}{10}$最小，对应算式为$\frac{3}{4} × \frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{4}×\frac{2}{5}$
【知识点】
分数乘除法、积的变化规律、数的大小比较
【点评】
本题考查分数乘除法的计算及大小比较技巧，熟练掌握分数除法的转化规则和积与因数的大小关系，可不用计算全部结果就快速得出答案，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 在○里填“＞”“＜”或“=”。
(1) 当$x=1.6$时，$0.58+0.6x$○$1.63$。
(2) 当$x=0.6$时，$x+0.3x$○$55\%$。
(1) 当$x=1.6$时，$0.58+0.6x$○$1.63$。
(2) 当$x=0.6$时，$x+0.3x$○$55\%$。
答案
3. (1) ＜ (2) ＞
解析
【分析】
解决这类含字母的式子比较大小的问题，核心思路是先代入未知数的值计算出左边式子的结果，再将左右两边统一成相同类型的数后比较大小即可。具体步骤为：第一步，把给定的x的值代入左边的式子，按照四则运算规则算出结果；第二步，把右边的数转化成和左边结果同类型的数；第三步，比较两个数的大小，填上对应的符号。
【解析】
(1) 当$x=1.6$时，计算左边式子的值：
$0.58+0.6x=0.58+0.6×1.6$
先算乘法：$0.6×1.6=0.96$
再算加法：$0.58+0.96=1.54$
比较大小：$1.54＜1.63$，因此填＜。
(2) 当$x=0.6$时，计算左边式子的值：
$x+0.3x=0.6+0.3×0.6$
先算乘法：$0.3×0.6=0.18$
再算加法：$0.6+0.18=0.78$
把右边的$55\%$化为小数：$55\%=0.55$
比较大小：$0.78＞0.55$，因此填＞。
【答案】
(1) ＜ (2) ＞
【知识点】
含字母式子求值，小数大小比较，百分数化小数
【点评】
本题属于基础计算类题型，重点考查代入求值的方法和数的大小比较规则，解题时要注意运算顺序，涉及百分数时先统一数的形式再比较，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.85
解决这类含字母的式子比较大小的问题，核心思路是先代入未知数的值计算出左边式子的结果，再将左右两边统一成相同类型的数后比较大小即可。具体步骤为：第一步，把给定的x的值代入左边的式子，按照四则运算规则算出结果；第二步，把右边的数转化成和左边结果同类型的数；第三步，比较两个数的大小，填上对应的符号。
【解析】
(1) 当$x=1.6$时，计算左边式子的值：
$0.58+0.6x=0.58+0.6×1.6$
先算乘法：$0.6×1.6=0.96$
再算加法：$0.58+0.96=1.54$
比较大小：$1.54＜1.63$，因此填＜。
(2) 当$x=0.6$时，计算左边式子的值：
$x+0.3x=0.6+0.3×0.6$
先算乘法：$0.3×0.6=0.18$
再算加法：$0.6+0.18=0.78$
把右边的$55\%$化为小数：$55\%=0.55$
比较大小：$0.78＞0.55$，因此填＞。
【答案】
(1) ＜ (2) ＞
【知识点】
含字母式子求值，小数大小比较，百分数化小数
【点评】
本题属于基础计算类题型，重点考查代入求值的方法和数的大小比较规则，解题时要注意运算顺序，涉及百分数时先统一数的形式再比较，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.85
4. 一根绳子长 $ x $ 米，把它剪成两段，第一段是它的 $\frac{5}{9}$，第二段是 $\frac{5}{9}$ 米，第一段比第二段( $\quad\quad$ )。(填“长”或“短”)
答案
4. 长（第一段为绳长的$\frac{5}{9}$,则第二段为绳长的$\frac{4}{9}$,所以第一段比第二段长）
解析
【分析】
解题时首先要明确单位“1”是这根绳子的总长度，绳子被剪成两段，两段占总长度的分率之和为1。我们可以先算出第二段绳子占总长度的分率，再将两段的分率进行比较，分率更大的那段绳子长度更长，不需要先计算绳子的具体总长度就能得出结果。
【解析】
把这根绳子的总长度看作单位“1”。
1. 计算第二段绳子占总长度的分率：
$1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$
2. 比较两段绳子的分率大小：
同分母分数比较大小，分子越大分数越大，所以$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$。
说明第一段绳子占总长度的比例更大，因此第一段绳子比第二段长。
【答案】
长
【知识点】
单位“1”的应用、分数大小比较、分数的意义
【点评】
本题的易错点是混淆分率和具体长度，很多同学会错误直接比较$\frac{5}{9}$和$\frac{5}{9}$米。解题的核心是抓住两段分率之和为1，通过比较分率就能快速判断长短，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确单位“1”是这根绳子的总长度，绳子被剪成两段，两段占总长度的分率之和为1。我们可以先算出第二段绳子占总长度的分率，再将两段的分率进行比较，分率更大的那段绳子长度更长，不需要先计算绳子的具体总长度就能得出结果。
【解析】
把这根绳子的总长度看作单位“1”。
1. 计算第二段绳子占总长度的分率：
$1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$
2. 比较两段绳子的分率大小：
同分母分数比较大小，分子越大分数越大，所以$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$。
说明第一段绳子占总长度的比例更大，因此第一段绳子比第二段长。
【答案】
长
【知识点】
单位“1”的应用、分数大小比较、分数的意义
【点评】
本题的易错点是混淆分率和具体长度，很多同学会错误直接比较$\frac{5}{9}$和$\frac{5}{9}$米。解题的核心是抓住两段分率之和为1，通过比较分率就能快速判断长短，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.7
5. 将$4.95,4.\dot{9}\dot{5},4.9\dot{5},4.96,4.\dot{9}0\dot{5}$按从大到小的顺序排列起来。
$(\quad\quad)＞(\quad\quad)＞(\quad\quad)＞(\quad\quad)＞(\quad\quad)$
$(\quad\quad)＞(\quad\quad)＞(\quad\quad)＞(\quad\quad)＞(\quad\quad)$
答案
将各数展开为多位小数：
$4.95=4.95000···$
$4.\dot{9}\dot{5}=4.959595···$
$4.9\dot{5}=4.955555···$
$4.96=4.96000···$
$4.\dot{9}0\dot{5}=4.905905···$
比较大小得：$4.96＞4.\dot{9}\dot{5}＞4.9\dot{5}＞4.95＞4.\dot{9}0\dot{5}$
$4.96＞4.\dot{9}\dot{5}＞4.9\dot{5}＞4.95＞4.\dot{9}0\dot{5}$
$4.95=4.95000···$
$4.\dot{9}\dot{5}=4.959595···$
$4.9\dot{5}=4.955555···$
$4.96=4.96000···$
$4.\dot{9}0\dot{5}=4.905905···$
比较大小得：$4.96＞4.\dot{9}\dot{5}＞4.9\dot{5}＞4.95＞4.\dot{9}0\dot{5}$
$4.96＞4.\dot{9}\dot{5}＞4.9\dot{5}＞4.95＞4.\dot{9}0\dot{5}$
解析
【分析】
要比较这组包含循环小数的数的大小，需遵循小数比较大小的规则：先比整数部分，整数部分相同则依次比较十分位、百分位、千分位……直到比出大小为止。因为循环小数是无限小数，首先需要把每个循环小数按照对应的循环节展开多写几位，和有限小数统一形式后再逐位对比，就能顺利排出大小顺序。
【解析】
先将所有数展开为多位小数，方便逐位对比：
$4.95=4.95000···$
$4.\dot{9}\dot{5}=4.959595···$
$4.9\dot{5}=4.955555···$
$4.96=4.96000···$
$4.\dot{9}0\dot{5}=4.905905···$
第一步：所有数整数部分都是4，大小相等；
第二步：比较十分位，均为9，大小相等；
第三步：比较百分位：4.96的百分位是6，其余数中$4.\dot{9}\dot{5}$、$4.9\dot{5}$、4.95的百分位是5，$4.\dot{9}0\dot{5}$的百分位是0，因此4.96最大，$4.\dot{9}0\dot{5}$最小；
第四步：比较剩余三个数的千分位：$4.\dot{9}\dot{5}$的千分位是9，$4.9\dot{5}$的千分位是5，4.95的千分位是0，因此顺序为$4.\dot{9}\dot{5}＞4.9\dot{5}＞4.95$。
合并后得到从大到小的完整顺序。
【答案】
$4.96＞4.\dot{9}\dot{5}＞4.9\dot{5}＞4.95＞4.\dot{9}0\dot{5}$
【知识点】
1. 小数大小比较 2. 循环小数的认识
【点评】
本题主要考查循环小数的含义和小数大小比较的方法，解题关键是先把循环小数展开到足够比较的位数，再按规则逐位对比，注意不要混淆不同的循环节。
【难度系数】
0.7
要比较这组包含循环小数的数的大小，需遵循小数比较大小的规则：先比整数部分，整数部分相同则依次比较十分位、百分位、千分位……直到比出大小为止。因为循环小数是无限小数，首先需要把每个循环小数按照对应的循环节展开多写几位，和有限小数统一形式后再逐位对比，就能顺利排出大小顺序。
【解析】
先将所有数展开为多位小数，方便逐位对比：
$4.95=4.95000···$
$4.\dot{9}\dot{5}=4.959595···$
$4.9\dot{5}=4.955555···$
$4.96=4.96000···$
$4.\dot{9}0\dot{5}=4.905905···$
第一步：所有数整数部分都是4，大小相等；
第二步：比较十分位，均为9，大小相等；
第三步：比较百分位：4.96的百分位是6，其余数中$4.\dot{9}\dot{5}$、$4.9\dot{5}$、4.95的百分位是5，$4.\dot{9}0\dot{5}$的百分位是0，因此4.96最大，$4.\dot{9}0\dot{5}$最小；
第四步：比较剩余三个数的千分位：$4.\dot{9}\dot{5}$的千分位是9，$4.9\dot{5}$的千分位是5，4.95的千分位是0，因此顺序为$4.\dot{9}\dot{5}＞4.9\dot{5}＞4.95$。
合并后得到从大到小的完整顺序。
【答案】
$4.96＞4.\dot{9}\dot{5}＞4.9\dot{5}＞4.95＞4.\dot{9}0\dot{5}$
【知识点】
1. 小数大小比较 2. 循环小数的认识
【点评】
本题主要考查循环小数的含义和小数大小比较的方法，解题关键是先把循环小数展开到足够比较的位数，再按规则逐位对比，注意不要混淆不同的循环节。
【难度系数】
0.7
6. 小红、小华、小兰三人比赛跑步，同时从 A 地出发到 B 地，小红用了$\frac{2}{15}$小时，小华用了 10 分钟，小兰用了 0.15 小时。他们三人中，( )先到达 B 地，( )最后一个到达。
答案
6. 小红 小华
解析
【分析】
赛跑问题中，谁从A地到B地的用时越短，谁就先到达，用时越长则到达越晚。本题中三人的时间单位不统一，且存在分数、小数不同的形式，无法直接比较大小，因此第一步要先统一时间单位，再比较三个用时的大小，即可判断出到达的先后顺序。
【解析】
首先统一时间单位为分钟（1小时=60分钟）：
1. 小红用时换算：$\frac{2}{15}$小时 = $\frac{2}{15}×60$ = 8分钟
2. 小华用时：10分钟
3. 小兰用时换算：0.15小时 = $0.15×60$ = 9分钟
比较三个用时的大小：8分钟 ＜ 9分钟 ＜ 10分钟，即小红用时最短，小华用时最长。
因此小红最先到达B地，小华最后一个到达。
【答案】
小红 小华
【知识点】
时间单位换算、数的大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查单位换算和数的大小比较的应用，解题核心是先统一单位再比较用时长短，要注意赛跑类问题的逻辑：用时越短，到达越早。
【难度系数】
0.7
赛跑问题中，谁从A地到B地的用时越短，谁就先到达，用时越长则到达越晚。本题中三人的时间单位不统一，且存在分数、小数不同的形式，无法直接比较大小，因此第一步要先统一时间单位，再比较三个用时的大小，即可判断出到达的先后顺序。
【解析】
首先统一时间单位为分钟（1小时=60分钟）：
1. 小红用时换算：$\frac{2}{15}$小时 = $\frac{2}{15}×60$ = 8分钟
2. 小华用时：10分钟
3. 小兰用时换算：0.15小时 = $0.15×60$ = 9分钟
比较三个用时的大小：8分钟 ＜ 9分钟 ＜ 10分钟，即小红用时最短，小华用时最长。
因此小红最先到达B地，小华最后一个到达。
【答案】
小红 小华
【知识点】
时间单位换算、数的大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查单位换算和数的大小比较的应用，解题核心是先统一单位再比较用时长短，要注意赛跑类问题的逻辑：用时越短，到达越早。
【难度系数】
0.7
