1. 在$\triangle ABC$中，若$AB = 2$，$AC = 4$，且$BC$的长为整数，则$\triangle ABC$的周长可能是()

A.8
B.11
C.12
D.15

1. B

在$\triangle ABC$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
已知$AB = 2$，$AC = 4$，则$AC - AB ＜ BC ＜ AC + AB$，即$4 - 2 ＜ BC ＜ 4 + 2$，$2 ＜ BC ＜ 6$。
因为$BC$的长为整数，所以$BC$可能为$3$，$4$，$5$。
当$BC = 3$时，周长为$2 + 4 + 3 = 9$；
当$BC = 4$时，周长为$2 + 4 + 4 = 10$；
当$BC = 5$时，周长为$2 + 4 + 5 = 11$。
综上，$\triangle ABC$的周长可能是$9$，$10$，$11$，选项中只有$11$符合。
B

2. 如图，点$D$，$E$分别在$\triangle ABC$的边上，连接$AD$，$CE$，$DE$，且$AD$，$CE$交于点$F$。若$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$，$BC = 2BD$，则下列说法错误的是()

A.$AD$是$\triangle ABC$的中线
B.$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle CDE}$
C.$CE$是$\triangle ADC$的角平分线
D.$\angle ACB = 2\angle DCF$

2. C

证明：
选项A：
∵$BC=2BD$，
∴$BD=DC$，
∴$AD$是$\triangle ABC$的中线，A正确。
选项B：
∵$BD=DC$，$\triangle BDE$与$\triangle CDE$同高，
∴$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle CDE}$，B正确。
选项C：
∵$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$，但点$E$位置不确定，无法证明$CE$平分$\angle ADC$，C错误。
选项D：
∵$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$，即$\angle ACB=2\angle ACE$，
又$\angle ACE=\angle DCF$（对顶角），
∴$\angle ACB=2\angle DCF$，D正确。
答案：C

3. 如图，$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。若$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle CED = 35^{\circ}$，则$\angle FEC$的度数为()

A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

3. B

证明：
∵$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，$\angle A=40°$，
∴$\angle D=\angle A=40°$。
在$\triangle CED$中，$\angle CED=35°$，
$\angle ECD=180°-\angle D-\angle CED=180°-40°-35°=105°$。
∵$\angle ACB+\angle ECD=180°$（平角定义），
∴$\angle ACB=180°-105°=75°$。
∵$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，
∴$\angle DFE=\angle ACB=75°$。
在$\triangle EFC$中，$\angle FEC=180°-\angle ECD-\angle DFE=180°-105°-45°=30°$。
答案：B

4. (教材$P43$例$1$变式)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$为$BC$上一点，且$DA = DC$，$BD = BA$，则$\angle B$的度数为()

A.$40^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$25^{\circ}$

4. B

解：设$\angle B = x$。
$\because AB = AC$，$\therefore \angle C = \angle B = x$。
$\because DA = DC$，$\therefore \angle DAC = \angle C = x$，$\angle ADB = \angle DAC + \angle C = 2x$。
$\because BD = BA$，$\therefore \angle BAD = \angle ADB = 2x$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = 3x$。
$\because \angle BAC + \angle B + \angle C = 180°$，
$\therefore 3x + x + x = 180°$，解得$x = 36°$。
$\angle B = 36°$。
答案：B

5. 如图，在锐角三角形$ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$E$是$AD$上一点，连接$EB$，$EC$。若$\angle EBC = 45^{\circ}$，$BC = 6$，则$\triangle EBC$的面积为()

A.12
B.9
C.6
D.以上都不对

5. B

证明：
∵$AB=AC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
∴$AD\perp BC$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=3$。
∵$\angle EBC=45°$，
∴在$Rt\triangle EBD$中，$\tan\angle EBC=\frac{ED}{BD}=1$，
∴$ED=BD=3$。
∴$S_{\triangle EBC}=\frac{1}{2}× BC× ED=\frac{1}{2}×6×3=9$。
答案：B

6. (教材$P50$习题第$6$题变式)如图，点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，$\triangle ABD$，$\triangle BCE$均为等边三角形，连接$AE$和$CD$，$AE$分别交$CD$，$BD$于点$M$，$P$，$CD$交$BE$于点$Q$，连接$PQ$，$BM$。有下列结论：①$\triangle ABE\cong\triangle DBC$；②$\angle DMA = 60^{\circ}$；③$\triangle BPQ$为等边三角形；④$MB$平分$\angle AMC$。其中，正确的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

6. D

证明：
①
∵△ABD，△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=DB\\ ∠ABE=∠DBC\\ BE=BC\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，①正确；
②
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠DMA=∠BAE+∠ACD，∠BAC=60°，
∴∠DMA=∠BDC+∠ACD=∠BAC=60°，②正确；
③
∵∠ABD=∠CBE=60°，A，B，C共线，
∴∠DBE=60°，
在△ABP和△DBQ中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAP=∠BDQ\\ AB=DB\\ ∠ABP=∠DBQ=60°\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ(ASA)，
∴BP=BQ，
∵∠DBE=60°，
∴△BPQ为等边三角形，③正确；
④过点B作BF⊥AE于F，BG⊥CD于G，
∵△ABE≌△DBC，
∴AE=DC，S△ABE=S△DBC，
∴$\frac{1}{2}AE\cdot BF=\frac{1}{2}DC\cdot BG$，
∴BF=BG，
∵BF⊥AE，BG⊥CD，
∴MB平分∠AMC，④正确。
综上，正确的有①②③④，共4个。
D

7. (新考法·条件开放题)如图，点$B$，$F$，$C$，$E$在同一条直线上，$AB// ED$，$AC// FD$，要使$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，只需添加一个条件，则这个条件可以是。

7. 答案不唯一，如AB=DE

8. (2023·威海)如图，在正方形$ABCD$中，分别以点$A$，$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧交于点$E$，连接$DE$，则$\angle CDE$的度数为。

8. 15°

解：连接AE，BE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ADC=90°。
∵分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，
∴AE=AB，BE=AB，
∴AE=BE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°。
∵∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠DAB - ∠EAB=90° - 60°=30°。
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=(180° - ∠DAE)/2=(180° - 30°)/2=75°。
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90° - 75°=15°。
15°

9. (整体思想)在$\triangle ABC$中，$AB$，$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$E$，$F$。若$\angle BAC = 115^{\circ}$，则$\angle EAF$的度数为。

9. 50°

在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 115°$，所以$\angle B + \angle C = 180° - 115° = 65°$。
因为$AB$的垂直平分线交$BC$于点$E$，所以$EA = EB$，故$\angle EAB = \angle B$。
同理，$AC$的垂直平分线交$BC$于点$F$，所以$FA = FC$，故$\angle FAC = \angle C$。
因此，$\angle EAB + \angle FAC = \angle B + \angle C = 65°$。
则$\angle EAF = \angle BAC - (\angle EAB + \angle FAC) = 115° - 65° = 50°$。
$50°$