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10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle B = \angle C$，$BP = CE$，$BD = CP$，则$\angle DPE$的度数为
70°
。答案
10. 70°
解析
解：在$\triangle ABC$中，$\angle A=40^{\circ}$，$\angle B=\angle C$，
$\therefore \angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
在$\triangle DBP$和$\triangle PCE$中，
$\left\{\begin{array}{l} BP=CE \\ \angle B=\angle C \\ BD=CP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DBP \cong \triangle PCE(SAS)$，
$\therefore \angle BDP=\angle CPE$。
$\because \angle DPB+\angle DPE+\angle EPC=180^{\circ}$，
$\angle DBP+\angle DPB+\angle BDP=180^{\circ}$，
$\angle BDP=\angle CPE$，
$\therefore \angle DPE=\angle DBP=70^{\circ}$。
故答案为：$70^{\circ}$。
$\therefore \angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
在$\triangle DBP$和$\triangle PCE$中，
$\left\{\begin{array}{l} BP=CE \\ \angle B=\angle C \\ BD=CP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DBP \cong \triangle PCE(SAS)$，
$\therefore \angle BDP=\angle CPE$。
$\because \angle DPB+\angle DPE+\angle EPC=180^{\circ}$，
$\angle DBP+\angle DPB+\angle BDP=180^{\circ}$，
$\angle BDP=\angle CPE$，
$\therefore \angle DPE=\angle DBP=70^{\circ}$。
故答案为：$70^{\circ}$。
11. (分类讨论思想)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 10$，$BC = 5$，线段$PQ = AB$，$P$，$Q$两点分别在$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动，当$AP$的长为
5或10
时，以$A$，$P$，$Q$三点构成的三角形与$\triangle ABC$全等。答案
11. 5或10
解析
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=10$，$BC=5$，则$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=5\sqrt{5}$。
因为$AO\perp AC$，所以$\angle OAC=90^{\circ}$，即$\triangle APQ$为直角三角形，$\angle PAQ=90^{\circ}$。
已知$PQ=AB=5\sqrt{5}$，要使$\triangle APQ$与$\triangle ABC$全等，分两种情况：
情况一：当$AP=BC=5$时，$AQ=AC=10$。在$Rt\triangle APQ$和$Rt\triangle CBA$中，$\left\{\begin{array}{l}AP=CB=5\\AQ=CA=10\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle APQ\cong Rt\triangle CBA(HL)$。
情况二：当$AP=AC=10$时，$AQ=BC=5$。在$Rt\triangle APQ$和$Rt\triangle ACB$中，$\left\{\begin{array}{l}AP=AC=10\\AQ=BC=5\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle APQ\cong Rt\triangle ACB(HL)$。
综上，$AP$的长为$5$或$10$。
5或10
因为$AO\perp AC$，所以$\angle OAC=90^{\circ}$，即$\triangle APQ$为直角三角形，$\angle PAQ=90^{\circ}$。
已知$PQ=AB=5\sqrt{5}$，要使$\triangle APQ$与$\triangle ABC$全等，分两种情况：
情况一：当$AP=BC=5$时，$AQ=AC=10$。在$Rt\triangle APQ$和$Rt\triangle CBA$中，$\left\{\begin{array}{l}AP=CB=5\\AQ=CA=10\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle APQ\cong Rt\triangle CBA(HL)$。
情况二：当$AP=AC=10$时，$AQ=BC=5$。在$Rt\triangle APQ$和$Rt\triangle ACB$中，$\left\{\begin{array}{l}AP=AC=10\\AQ=BC=5\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle APQ\cong Rt\triangle ACB(HL)$。
综上，$AP$的长为$5$或$10$。
5或10
12. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AD = 4$，连接$BD$，$BD\perp CD$，$\angle ADB = \angle C$。若$P$是边$BC$上一动点，则$DP$长的最小值为
4
。答案
12. 4
解析
证明：
∵ $\angle A = 90°$，$BD \perp CD$，
∴ $\angle A = \angle BDC = 90°$。
∵ $\angle ADB = \angle C$，
∴ $\triangle ABD \sim \triangle DBC$（AA相似）。
∴ $\angle ABD = \angle DBC$，即$BD$平分$\angle ABC$。
∵ $P$是$BC$上一动点，
∴ $DP$的最小值为点$D$到$BC$的距离。
又
∵ $BD$平分$\angle ABC$，$\angle A = 90°$，
∴ 点$D$到$BC$的距离等于$AD = 4$。
故$DP$长的最小值为$4$。
答案：$4$
∵ $\angle A = 90°$，$BD \perp CD$，
∴ $\angle A = \angle BDC = 90°$。
∵ $\angle ADB = \angle C$，
∴ $\triangle ABD \sim \triangle DBC$（AA相似）。
∴ $\angle ABD = \angle DBC$，即$BD$平分$\angle ABC$。
∵ $P$是$BC$上一动点，
∴ $DP$的最小值为点$D$到$BC$的距离。
又
∵ $BD$平分$\angle ABC$，$\angle A = 90°$，
∴ 点$D$到$BC$的距离等于$AD = 4$。
故$DP$长的最小值为$4$。
答案：$4$
13. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，过点$B$作$BE\perp AD$，交$AD$的延长线于点$E$。若$BE = 5$，则$AD$的长为
10
。答案
13. 10 解析：如图，延长BE，AC交于点F.
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAE = ∠FAE.
∵ BE⊥AD，
∴ ∠AEB = ∠AEF = 90°. 在△ABE和△AFE中，
$\begin{cases} ∠BAE = ∠FAE, \\ AE = AE, \\ ∠AEB = ∠AEF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△AFE(ASA)，
∴ BE = FE = 5.
∵ ∠AEF = 90°，
∴ ∠CAD + ∠F = 90°.
∵ ∠ACD = 90°，
∴ ∠CBF + ∠F = 90°，
∴ ∠CAD = ∠CBF. 在△ACD和△BCF中，$\begin{cases} ∠ACD = ∠BCF = 90°, \\ AC = BC, \\ ∠CAD = ∠CBF, \end{cases}$
∴ △ACD≌△BCF(ASA)，
∴ AD = BF = BE + FE = 10.
14. （2025·苏州期末）如图，在$\triangle ABC$中，边$AB$的垂直平分线$l_1$与边$BC$相交于点$D$，边$AC$的垂直平分线$l_2$与边$BC$相交于点$E$（点$D$在点$E$的左侧），连接$AD$，$AE$。若$\triangle ADE$的周长为$8$，$\angle DAE = 60^{\circ}$。求：
（1）$BC$的长；
（2）$\angle BAC$的度数。
（1）$BC$的长；
（2）$\angle BAC$的度数。
答案
14.
(1)
∵ $l_1$是边AB的垂直平分线，
∴ BD = AD.
∵ $l_2$是边AC的垂直平分线，
∴ AE = CE.
∵ C△ADE = AD + AE + DE = 8，
∴ BC = BD + DE + CE = AD + DE + AE = 8
(2)
∵ 在△ADE中，∠DAE = 60°，
∴ ∠ADE + ∠AED = 180° - 60° = 120°. 由
(1)，得BD = AD，AE = CE，
∴ ∠BAD = ∠B，∠EAC = ∠C.
∵ ∠ADE = ∠BAD + ∠B，∠AED = ∠EAC + ∠C，
∴ ∠BAD + ∠EAC = $\frac{1}{2}$(∠ADE + ∠AED) = 60°，
∴ ∠BAC = ∠BAD + ∠EAC + ∠DAE = 60° + 60° = 120°
(1)
∵ $l_1$是边AB的垂直平分线，
∴ BD = AD.
∵ $l_2$是边AC的垂直平分线，
∴ AE = CE.
∵ C△ADE = AD + AE + DE = 8，
∴ BC = BD + DE + CE = AD + DE + AE = 8
(2)
∵ 在△ADE中，∠DAE = 60°，
∴ ∠ADE + ∠AED = 180° - 60° = 120°. 由
(1)，得BD = AD，AE = CE，
∴ ∠BAD = ∠B，∠EAC = ∠C.
∵ ∠ADE = ∠BAD + ∠B，∠AED = ∠EAC + ∠C，
∴ ∠BAD + ∠EAC = $\frac{1}{2}$(∠ADE + ∠AED) = 60°，
∴ ∠BAC = ∠BAD + ∠EAC + ∠DAE = 60° + 60° = 120°
15. (2024·宜宾改编)如图，$E$，$F$分别是等边三角形$ABC$的边$AB$，$AC$上的点，且$BE = AF$，$CE$，$BF$交于点$P$。
(1)求证：$CE = BF$。
(2)求$\angle BPC$的度数。
(3)过点$B$作$BH\perp CE$，垂足为$H$。若$PF = 1$，$PH = 4$，则$CE$的长为
(1)求证：$CE = BF$。
(2)求$\angle BPC$的度数。
(3)过点$B$作$BH\perp CE$，垂足为$H$。若$PF = 1$，$PH = 4$，则$CE$的长为
9
。答案
15.
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC = AB，∠A = ∠EBC = 60°. 在△BCE和△ABF中，$\begin{cases} BC = AB, \\ ∠EBC = ∠A, \\ BE = AF, \end{cases}$
∴ △BCE≌△ABF(SAS)，
∴ CE = BF
(2)
∵ △BCE≌△ABF，
∴ ∠BCE = ∠ABF，
∴ ∠PBC + ∠PCB = ∠PBC + ∠ABF = ∠ABC = 60°，
∴ 在△PBC中，∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 120°
(3) 9
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC = AB，∠A = ∠EBC = 60°. 在△BCE和△ABF中，$\begin{cases} BC = AB, \\ ∠EBC = ∠A, \\ BE = AF, \end{cases}$
∴ △BCE≌△ABF(SAS)，
∴ CE = BF
(2)
∵ △BCE≌△ABF，
∴ ∠BCE = ∠ABF，
∴ ∠PBC + ∠PCB = ∠PBC + ∠ABF = ∠ABC = 60°，
∴ 在△PBC中，∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 120°
(3) 9
16. (2024·苏州工业园区期中)如图，在$\triangle ABC$中，$M$，$N$分别是$BC$与$EF$的中点，连接$MN$，$CF\perp AB$，$BE\perp AC$。
(1)求证：$MN\perp EF$；
(2)已知$BC = 8$，当$\angle A = 60^{\circ}$时，$EF$的长为
(1)求证：$MN\perp EF$；
(2)已知$BC = 8$，当$\angle A = 60^{\circ}$时，$EF$的长为
4
。答案
16.
(1) 连接FM，EM.
∵ CF⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠CEB = ∠CFB = 90°.
∵ M是BC的中点，
∴ BM = FM = $\frac{1}{2}$BC，CM = EM = $\frac{1}{2}$BC，
∴ FM = EM.
∵ N是EF的中点，
∴ MN⊥EF
(2) 4 解析：
∵ △ABC的内角和为180°，∠A = 60°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 120°.
∵ BM = FM = $\frac{1}{2}$BC = 4，CM = EM = $\frac{1}{2}$BC = 4，
∴ ∠ABC = ∠BFM，∠ACB = ∠CEM，
∴ ∠BMF + ∠CME = (180° - 2∠ABC) + (180° - 2∠ACB) = 360° - 2(∠ABC + ∠ACB) = 360° - 2×120° = 120°，
∴ ∠FME = 180° - (∠BMF + ∠CME) = 60°.
∵ FM = EM = 4，
∴ △EMF为等边三角形，
∴ EF = EM = 4.
(1) 连接FM，EM.
∵ CF⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠CEB = ∠CFB = 90°.
∵ M是BC的中点，
∴ BM = FM = $\frac{1}{2}$BC，CM = EM = $\frac{1}{2}$BC，
∴ FM = EM.
∵ N是EF的中点，
∴ MN⊥EF
(2) 4 解析：
∵ △ABC的内角和为180°，∠A = 60°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 120°.
∵ BM = FM = $\frac{1}{2}$BC = 4，CM = EM = $\frac{1}{2}$BC = 4，
∴ ∠ABC = ∠BFM，∠ACB = ∠CEM，
∴ ∠BMF + ∠CME = (180° - 2∠ABC) + (180° - 2∠ACB) = 360° - 2(∠ABC + ∠ACB) = 360° - 2×120° = 120°，
∴ ∠FME = 180° - (∠BMF + ∠CME) = 60°.
∵ FM = EM = 4，
∴ △EMF为等边三角形，
∴ EF = EM = 4.
