17. (2024·相城区期中改编)如图，$O$是等边三角形$ABC$内一点，将$\triangle BOC$绕点$C$按顺时针方向旋转$60^{\circ}$得到$\triangle ADC$，连接$OD$，已知$\angle AOB = 110^{\circ}$，设$\angle BOC = \alpha$。
(1)求证：$\triangle DOC$是等边三角形；
(2)当$\alpha = 150^{\circ}$时，试判断$\triangle AOD$的形状，并说明理由；
(3)当$\alpha$的度数为时，$\triangle DOA$是等腰三角形。

17.
(1)
∵ △ADC由△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到，
∴ ∠OCD = 60°，CO = CD，
∴ △OCD是等边三角形
(2) △AOD为直角三角形 理由：
∵ △COD是等边三角形，
∴ ∠ODC = 60°.
∵ △ADC由△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到，
∴ ∠ADC = ∠BOC = α = 150°，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 150° - 60° = 90°，
∴ △AOD是直角三角形.
(3) 110°或125°或140° 解析：
∵ △COD是等边三角形，
∴ ∠DOC = ∠ODC = 60°，
∴ ∠AOD = 360° - 110° - α - 60° = 190° - α.
∵ △ADC由△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到，
∴ ∠ADC = ∠BOC = α，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = α - 60°.
∵ △ADO的内角和为180°，
∴ ∠OAD = 180° - ∠AOD - ∠ADO = 50°. ① 当∠ADO = ∠OAD，即α - 60° = 50°，α = 110°时，OA = OD；② 当∠AOD = ∠ADO，即190° - α = α - 60°，α = 125°时，OA = AD；③ 当∠AOD = ∠OAD，即190° - α = 50°，α = 140°时，OD = AD. 综上所述，当α的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.

18. (2024·苏州工业园区期末)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，垂足为$D$。
(1)若$\triangle ABC$的面积为$20$，$AB + CD = 14$，则$AB - CD$的值为。
(2)点$E$在边$BC$上，$AE$与$CD$相交于点$F$，且$\angle CEF = \angle CFE$。请你利用无刻度的直尺和圆规作出点$E$(不写作法，保留作图痕迹)。
(3)在(2)的条件下，延长$AC$至点$G$，连接$GE$，使$GE = BE$。若$S_{\triangle ABE} = 5S_{\triangle CGE}$，求证：$4BE = 5CE$。

18.
(1) 6 解析：
∵ S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·CD = 20，
∴ AB·CD = 40.
∵ AB + CD = 14，
∴ AB - CD = $\sqrt{(AB + CD)^2 - 4AB·CD} = \sqrt{14^2 - 4×40} = 6$.
(2) 如图所示 解析：作∠CAB的平分线交BC，CD于点E，F.
(3) 如图，过点E作EH⊥AB于点H. 由
(2)，得AE平分∠CAB，
∴ ∠CAE = ∠HAE. 在△AEC和△AEH中，$\begin{cases} ∠ACE = ∠AHE = 90°, \\ ∠CAE = ∠HAE, \\ AE = AE, \end{cases}$
∴ △AEC≌△AEH(AAS)，
∴ EC = EH，AC = AH. 在Rt△ECG和Rt△EHB中，
$\begin{cases} GE = BE, \\ EC = EH, \end{cases}$
∴ Rt△ECG≌Rt△EHB(HL)，
∴ S△ECG = S△EHB.
∵ S△ABE = 5S△CGE，
∴ S△ABE = 5S△EHB，
∴ AB = 5BH，
∴ AC = AH = 4HB，
∴ AC : AB = 4 : 5.
∵ $\frac{S_{\triangle AEC}}{S_{\triangle AEB}} = \frac{\frac{1}{2}AC·CE}{\frac{1}{2}AB·EH} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$，
∴ 4BE = 5CE