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1.(2023·无锡改编)下列说法正确的是(
A.$-9$的平方根是$-3$
B.$9$的平方根是$3$
C.$9$的算术平方根是$\pm 3$
D.$9$的算术平方根是$3$
D
)A.$-9$的平方根是$-3$
B.$9$的平方根是$3$
C.$9$的算术平方根是$\pm 3$
D.$9$的算术平方根是$3$
答案
1.D
2.(2024·高新区期中)若$\sqrt {9-n}$是整数，则满足条件的自然数$n$的个数为(
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
C
)A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
2.C
解析
要使$\sqrt{9 - n}$是整数，设$\sqrt{9 - n} = k$（$k$为整数），则$9 - n = k^2$，即$n = 9 - k^2$。
因为$n$是自然数，所以$n \geq 0$，即$9 - k^2 \geq 0$，$k^2 \leq 9$。
$k$为非负整数（因为算术平方根非负），则$k$的可能取值为$0$，$1$，$2$，$3$：
当$k = 0$时，$n = 9 - 0^2 = 9$；
当$k = 1$时，$n = 9 - 1^2 = 8$；
当$k = 2$时，$n = 9 - 2^2 = 5$；
当$k = 3$时，$n = 9 - 3^2 = 0$。
满足条件的自然数$n$有$0$，$5$，$8$，$9$，共$4$个。
C
因为$n$是自然数，所以$n \geq 0$，即$9 - k^2 \geq 0$，$k^2 \leq 9$。
$k$为非负整数（因为算术平方根非负），则$k$的可能取值为$0$，$1$，$2$，$3$：
当$k = 0$时，$n = 9 - 0^2 = 9$；
当$k = 1$时，$n = 9 - 1^2 = 8$；
当$k = 2$时，$n = 9 - 2^2 = 5$；
当$k = 3$时，$n = 9 - 3^2 = 0$。
满足条件的自然数$n$有$0$，$5$，$8$，$9$，共$4$个。
C
3.(2023·南通)如图，数轴上的五个点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$分别表示数$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，则表示数$\sqrt {10}$的点应在(
A.线段$AB$上
B.线段$BC$上
C.线段$CD$上
D.线段$DE$上
C
)A.线段$AB$上
B.线段$BC$上
C.线段$CD$上
D.线段$DE$上
答案
3.C
解析
因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
数轴上点$C$表示$3$，点$D$表示$4$，所以表示数$\sqrt{10}$的点应在线段$CD$上。
C
数轴上点$C$表示$3$，点$D$表示$4$，所以表示数$\sqrt{10}$的点应在线段$CD$上。
C
4. 设边长为$3$的正方形的对角线长为$a$.给出下列关于$a$的四种说法：①$a$是无理数；②$a$可以用数轴上的一个点来表示；③$3\lt a＜4$；④$a$是$18$的算术平方根.其中，正确的是(
A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④
C
)A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④
答案
4.C
解析
①由勾股定理得：$a=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$是无理数，故①正确；
②实数与数轴上的点一一对应，$a$是实数，故$a$可以用数轴上的一个点来表示，②正确；
③$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{25}=5$，$16＜18＜25$，则$4＜\sqrt{18}＜5$，即$4＜a＜5$，故③错误；
④$a=\sqrt{18}$，故$a$是$18$的算术平方根，④正确。
正确的是①②④。
C
②实数与数轴上的点一一对应，$a$是实数，故$a$可以用数轴上的一个点来表示，②正确；
③$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{25}=5$，$16＜18＜25$，则$4＜\sqrt{18}＜5$，即$4＜a＜5$，故③错误；
④$a=\sqrt{18}$，故$a$是$18$的算术平方根，④正确。
正确的是①②④。
C
5. 有下列各数：$-2$，$0$，$\dfrac {1}{3}$，$0.020020002\cdots$(相邻两个$2$之间依次多一个$0$)，$\pi$，$\sqrt {9}$.其中，无理数的个数是(
A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
C
)A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
答案
5.C
解析
$-2$是整数，属于有理数；
$0$是整数，属于有理数；
$\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$0.020020002\cdots$(相邻两个$2$之间依次多一个$0$)是无限不循环小数，属于无理数；
$\pi$是无限不循环小数，属于无理数；
$\sqrt{9}=3$是整数，属于有理数。
无理数有$0.020020002\cdots$，$\pi$，共$2$个。
C
$0$是整数，属于有理数；
$\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$0.020020002\cdots$(相邻两个$2$之间依次多一个$0$)是无限不循环小数，属于无理数；
$\pi$是无限不循环小数，属于无理数；
$\sqrt{9}=3$是整数，属于有理数。
无理数有$0.020020002\cdots$，$\pi$，共$2$个。
C
6.(2023·凉山)如图，边长为$2$的等边三角形$ABC$的两个顶点$A$，$B$分别在两条射线$OM$，$ON$上滑动.若$OM\bot ON$，则$OC$长的最大值为(
A.$\sqrt {3}$
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {3}+1$
D.$\sqrt {3}-1$
C
)A.$\sqrt {3}$
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {3}+1$
D.$\sqrt {3}-1$
答案
6.C
解析
解：取AB中点D，连接OD，CD。
∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴CD⊥AB，AD=BD=1，
CD=AC·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
∵OM⊥ON，D为AB中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=1。
在△OCD中，OC≤OD+CD，当O，D，C三点共线时取等号，
∴OC的最大值为OD+CD=1+$\sqrt{3}$。
答案：C
∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴CD⊥AB，AD=BD=1，
CD=AC·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
∵OM⊥ON，D为AB中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=1。
在△OCD中，OC≤OD+CD，当O，D，C三点共线时取等号，
∴OC的最大值为OD+CD=1+$\sqrt{3}$。
答案：C
7. 用四舍五入法按要求对下列各数取近似值：
(1)$349995$(精确到百位，用科学记数法表示)：
(2)$3.4995$(精确到$0.01$)：
(3)$0.003584$(精确到千分位)：
(1)$349995$(精确到百位，用科学记数法表示)：
3.500×10^{5}
；(2)$3.4995$(精确到$0.01$)：
3.50
；(3)$0.003584$(精确到千分位)：
0.004
.答案
7.
(1) $3.500×10^{5}$
(2) 3.50
(3) 0.004
(1) $3.500×10^{5}$
(2) 3.50
(3) 0.004
8. 若$(a-3)^{2}+\sqrt {b-5}=0$，则以$a$，$b$为边长的等腰三角形的周长为
11或13
.答案
8.11或13
解析
因为$(a - 3)^2+\sqrt{b - 5}=0$，且$(a - 3)^2\geq0$，$\sqrt{b - 5}\geq0$，所以$a - 3 = 0$，$b - 5 = 0$，解得$a = 3$，$b = 5$。
情况一：当腰长为$3$，底边长为$5$时，$3 + 3＞5$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 5=11$。
情况二：当腰长为$5$，底边长为$3$时，$5 + 3＞5$，能构成三角形，周长为$5 + 5 + 3=13$。
故该等腰三角形的周长为$11$或$13$。
情况一：当腰长为$3$，底边长为$5$时，$3 + 3＞5$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 5=11$。
情况二：当腰长为$5$，底边长为$3$时，$5 + 3＞5$，能构成三角形，周长为$5 + 5 + 3=13$。
故该等腰三角形的周长为$11$或$13$。
9.(2024·常熟期中)如图，在钝角三角形$ABC$中，$\angle CAB=15^{\circ }$，$AB=2$.$D$是$AB$边上任意一点，$E$是$AC$边上一动点，当$DE+BE$取得最小值时，$AD$的长为
$\sqrt{3}$
.答案
9. $\sqrt{3}$ 解析:如图，作点B关于直线AC的对称点$B^{\prime}$，连接$AB^{\prime}$，$B^{\prime}E$，则$AB^{\prime}=AB=2$，$B^{\prime}E=BE$，$\angle B^{\prime}AB=2\angle CAB=30^{\circ}$.过点$B^{\prime}$作$B^{\prime}H\perp AB$，垂足为H.根据“垂线段最短”可知，当$B^{\prime}$，E，D三点共线，且$B^{\prime}D$垂直于AB时，$DE + BE = DE + B^{\prime}E$取得最小值，该最小值就是$B^{\prime}H$的长，此时点D，H重合.$\because$在$Rt\triangle AHB^{\prime}$中，$HB^{\prime}=\frac{1}{2}AB^{\prime}=1$，$\therefore AH=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，即当$DE + BE$取得最小值时，AD的长为$\sqrt{3}$.
10.（2024·相城区期中）求下列各式中$x$的值：
（1）$2x^{2}-1=31$；
（2）$(x-1)^{2}=\sqrt {625}$；
（3）$27(x+2)^{3}=-125$；
（4）$-(x-\sqrt {9})^{3}=27$.
（1）$2x^{2}-1=31$；
（2）$(x-1)^{2}=\sqrt {625}$；
（3）$27(x+2)^{3}=-125$；
（4）$-(x-\sqrt {9})^{3}=27$.
答案
10.
(1)$x = \pm4$
(2)$x = 6$或$x = -4$
(3)$x = -\frac{11}{3}$
(4)$x = 0$
(1)$x = \pm4$
(2)$x = 6$或$x = -4$
(3)$x = -\frac{11}{3}$
(4)$x = 0$
