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13. 如图,P是直线$y=\frac {3}{4}x$上一动点,若点A,B的坐标分别为$(5,0),(9,3)$,则$\triangle PAB$的面积为
$\frac{15}{2}$
.答案
13.$\frac{15}{2}$ 解析：由点A，B的坐标，易得直线AB对应的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x - \frac{15}{4}$，
∴直线AB可以看作是由直线OP向下平移$\frac{15}{4}$个单位长度得到的，即直线AB与直线OP平行.连接OB，根据“同底等高的两个三角形的面积相等”，得$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot|y_B|=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$.
∴直线AB可以看作是由直线OP向下平移$\frac{15}{4}$个单位长度得到的，即直线AB与直线OP平行.连接OB，根据“同底等高的两个三角形的面积相等”，得$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot|y_B|=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$.
14. 在平面直角坐标系中,已知$A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)$三点,$D(1,m)$是一个动点.当$\triangle ACD$的周长最小时,$\triangle ABD$的面积为
$\frac{4}{3}$
.答案
14.$\frac{4}{3}$ 解析：根据题意，得点D在直线x = 1上运动，点C关于直线x = 1的对称点E的坐标为(2,-1).设直线AE对应的函数表达式为y = kx + b.把A(-1,0)，E(2,-1)
代入，得$\begin{cases}0=-k + b\\-1=2k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3}\\b=-\frac{1}{3}\end{cases}$.
∴直线AE对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$.易得当点D在直线AE上时，$\triangle ACD$的周长最小，
∴将D(1,m)代入$y=-\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$，得$m=-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$，即点D的坐标为$(1,-\frac{2}{3})$，
∴当$\triangle ACD$的周长最小时，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB×|-\frac{2}{3}|=\frac{1}{2}×4×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$.
代入，得$\begin{cases}0=-k + b\\-1=2k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3}\\b=-\frac{1}{3}\end{cases}$.
∴直线AE对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$.易得当点D在直线AE上时，$\triangle ACD$的周长最小，
∴将D(1,m)代入$y=-\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$，得$m=-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$，即点D的坐标为$(1,-\frac{2}{3})$，
∴当$\triangle ACD$的周长最小时，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB×|-\frac{2}{3}|=\frac{1}{2}×4×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$.
15. 某企业下属A,B两厂向甲、乙两地运送水泥共520吨,A厂比B厂少运送20吨,从A厂运往甲、乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨,从B厂运往甲、乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨.
(1) A厂运送
(2) 现甲地需要水泥240吨,乙地需要水泥280吨.受条件限制,从B厂运往甲地的水泥最多150吨.设从A厂运往甲地水泥a吨,从A,B两厂将水泥运往甲、乙两地的总运费为w元.求w与a之间的函数表达式,并请你为该企业设计一种总运费最低的运送方案.
(1) A厂运送
250
吨水泥,B厂运送270
吨水泥.(2) 现甲地需要水泥240吨,乙地需要水泥280吨.受条件限制,从B厂运往甲地的水泥最多150吨.设从A厂运往甲地水泥a吨,从A,B两厂将水泥运往甲、乙两地的总运费为w元.求w与a之间的函数表达式,并请你为该企业设计一种总运费最低的运送方案.
答案
15.
(1)250 270
(2)
∵从A厂运往甲地水泥a吨，
∴从A厂运往乙地水泥(250 - a)吨，从B厂运往甲地水泥(240 - a)吨，从B厂运往乙地水泥280 - (250 - a)=(30 + a)吨.
∵从B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240 - a≤150，解得a≥90.根据题意，得w = 40a + 35(250 - a)+28(240 - a)+25(a + 30)=2a + 16220.
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a = 90时，总运费最低，最低总运费为2×90 + 16220 = 16400(元).答：总运费最低的运送方案为从A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨，从B厂运往甲地水泥150吨，运往乙地水泥120吨，总运费最低为16400元
(1)250 270
(2)
∵从A厂运往甲地水泥a吨，
∴从A厂运往乙地水泥(250 - a)吨，从B厂运往甲地水泥(240 - a)吨，从B厂运往乙地水泥280 - (250 - a)=(30 + a)吨.
∵从B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240 - a≤150，解得a≥90.根据题意，得w = 40a + 35(250 - a)+28(240 - a)+25(a + 30)=2a + 16220.
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a = 90时，总运费最低，最低总运费为2×90 + 16220 = 16400(元).答：总运费最低的运送方案为从A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨，从B厂运往甲地水泥150吨，运往乙地水泥120吨，总运费最低为16400元
16. 如图①,某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地,高速列车匀速行驶,如图②所示为高速列车离乙地的距离$y(km)$与行驶时间$x(h)$之间的函数图象.
(1) 甲、丙两地间的距离是
(2) 求高速列车离乙地的距离$y(km)$与行驶时间$x(h)$之间的函数表达式,并写出x的取值范围.
(1) 甲、丙两地间的距离是
1050
km;(2) 求高速列车离乙地的距离$y(km)$与行驶时间$x(h)$之间的函数表达式,并写出x的取值范围.
答案
16.
(1)1050
(2)当0≤x≤3时，设高速列车离乙地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = k₁x + b₁.把(0,900)，(3,0)代入，得$\begin{cases}b₁ = 900\\3k₁ + b₁ = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁=-300\\b₁ = 900\end{cases}$.
∴y = - 300x + 900.
∵高速列车的速度为900÷3 = 300(km/h)，150÷300 = 0.5(h)，3 + 0.5 = 3.5(h)，
∴图象过点(3.5,150).当3＜x≤3.5时，设高速列车离乙地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = k₂x + b₂.把(3,0)，(3.5,150)代入，得$\begin{cases}3k₂ + b₂ = 0\\3.5k₂ + b₂ = 150\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₂ = 300\\b₂=-900\end{cases}$.
∴y = 300x - 900，
∴$y=\begin{cases}-300x + 900(0\leq x\leq3)\\300x - 900(3＜x\leq3.5)\end{cases}$
(1)1050
(2)当0≤x≤3时，设高速列车离乙地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = k₁x + b₁.把(0,900)，(3,0)代入，得$\begin{cases}b₁ = 900\\3k₁ + b₁ = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁=-300\\b₁ = 900\end{cases}$.
∴y = - 300x + 900.
∵高速列车的速度为900÷3 = 300(km/h)，150÷300 = 0.5(h)，3 + 0.5 = 3.5(h)，
∴图象过点(3.5,150).当3＜x≤3.5时，设高速列车离乙地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = k₂x + b₂.把(3,0)，(3.5,150)代入，得$\begin{cases}3k₂ + b₂ = 0\\3.5k₂ + b₂ = 150\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₂ = 300\\b₂=-900\end{cases}$.
∴y = 300x - 900，
∴$y=\begin{cases}-300x + 900(0\leq x\leq3)\\300x - 900(3＜x\leq3.5)\end{cases}$
