7.(2024广西中考)如果$a + b = 3$,$ab = 1$,那么$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$的值为()
A.0
B.1
C.4
D.9

7. D

8.已知$a$,$b$,$c分别是\triangle ABC$的边长,若$a^{2} + 2ab + b^{2} = c^{2} + 45$,$a + b - c = 5$,则$\triangle ABC$的周长为______.

8. 9

9.分解因式:(1)$(a - 4)(a - 6) + 1 = $______; (2)$(x + 2y)^{2} - 8xy = $______.

9. (1)$(a-5)^{2}$ (2)$(x-2y)^{2}$

10.利用因式分解计算:
(1)$\frac{1}{2}×3.7^{2} - 3.7×2.7 + \frac{1}{2}×2.7^{2}$; (2)$503^{2} + 1006×502 + 502^{2} - 1006^{2}$.

10. 解：(1)原式$=\frac{1}{2}×(3.7^{2}-2×3.7×2.7+2.7^{2})$ $=\frac{1}{2}×(3.7-2.7)^{2}$ $=\frac{1}{2}×1^{2}=\frac{1}{2}$；(2)原式$=503^{2}+2×503×502+502^{2}-1006^{2}$ $=(503+502)^{2}-1006^{2}$ $=1005^{2}-1006^{2}$ $=(1005+1006)×(1005-1006)$ $=2011×(-1)$ $=-2011$。

11.分解因式:
(1)$x^{2}(x - 1) - 4(x - 1)$; (2)$(9a^{2} + 1)^{2} - 36a^{2}$;
(3)$(a^{2} - b^{2} - c^{2})^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}$; (4)$(1 + y)^{2} - 14(1 - y^{2}) + 49(1 - y)^{2}$.

11. 解：(1)原式$=(x-1)(x^{2}-4)$ $=(x-1)(x+2)(x-2)$；(2)原式$=(9a^{2}+1+6a)(9a^{2}+1-6a)$ $=(3a+1)^{2}(3a-1)^{2}$；(3)原式$=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+a^{2}+b^{2}-c^{2})·(a^{2}-b^{2}-c^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})$ $=(2a^{2}-2c^{2})(-2b^{2})$ $=-4b^{2}(a+c)(a-c)$；(4)原式$=(1+y)^{2}-14(1+y)·(1-y)+49(1-y)^{2}$ $=[1+y-7(1-y)]^{2}$ $=(8y-6)^{2}$ $=[2(4y-3)]^{2}$ $=4(4y-3)^{2}$。

12.【阅读理解】整体思想是数学解题中常见的一种思想方法.下面是某同学对多项式$(x^{2} + 2x)(x^{2} + 2x + 2) + 1$进行因式分解的过程:
解:设$x^{2} + 2x = a$,原式$= a(a + 2) + 1 = a^{2} + 2a + 1 = (a + 1)^{2} = (x^{2} + 2x + 1)^{2} = (x + 1)^{4}$.
(1)【尝试运用】请你结合以上的思想方法对多项式$(x^{2} - 4x)(x^{2} - 4x + 8) + 16$进行因式分解;
(2)【拓展延伸】求证:四个连续整数的乘积与1的和一定是某个整数的平方.

12. 解：(1)设$x^{2}-4x=y$，则原式$=y(y+8)+16=y^{2}+8y+16=(y+4)^{2}=(x^{2}-4x+4)^{2}=(x-2)^{4}$；(2)设最小的整数为$n$，则$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)+1$。设$n^{2}+3n=y$，则原式$=(y+2)y+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}=(n^{2}+3n+1)^{2}$，∴四个连续整数的积与1的和一定是某个整数的平方。