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1. 如图，AB为⊙O的弦，且点C在AB上。若AC=6，BC=2，且圆心O到AB的距离为3，则OC的长为()
A.3
B.4
C.$\sqrt{11}$
D.$\sqrt{13}$
A.3
B.4
C.$\sqrt{11}$
D.$\sqrt{13}$
答案
D
解析
过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理得AD=DB=AB/2。AB=AC+BC=6+2=8，故AD=4。AC=6，所以CD=AC-AD=6-4=2。OD=3，OD⊥AB，在Rt△ODC中，OC=√(OD²+CD²)=√(3²+2²)=√13。
2. (2023·吉林)如图，AB、AC是⊙O的弦，OB、OC是⊙O的半径，P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP。若∠BAC=70°，则∠BPC的度数可能是()
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
答案
D
解析
∵∠BAC是圆周角，所对弧为BC弧，∴∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°（圆周角定理）。在△BOC中，OB=OC，∠OBC=∠OCB=(180°-140°)/2=20°。P在OB上（不与B重合），∠BPC随P移动变化：当P与O重合时，∠BPC=∠BOC=140°；当P接近B时，∠BPC接近180°-∠OBC=160°。故∠BPC范围为140°≤∠BPC＜160°，选项中155°在此范围。
3. 已知点A、B、C在⊙O上。若∠AOC=80°，则∠ABC的度数为()
A.40°
B.100°
C.40°或140°
D.40°或100°
A.40°
B.100°
C.40°或140°
D.40°或100°
答案
C
解析
∵∠AOC=80°，∴劣弧AC的度数为80°，优弧AC的度数为360°-80°=280°.
当点B在优弧AC上时，∠ABC是劣弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=80°÷2=40°；
当点B在劣弧AC上时，∠ABC是优弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=280°÷2=140°.
综上，∠ABC的度数为40°或140°.
当点B在优弧AC上时，∠ABC是劣弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=80°÷2=40°；
当点B在劣弧AC上时，∠ABC是优弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=280°÷2=140°.
综上，∠ABC的度数为40°或140°.
4. (2024·西藏)如图，AC为⊙O的直径，点B、D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为()
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
答案
C
解析
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°（直径所对圆周角为直角）。
∵∠ABD=60°，∠ABD与∠ACD均为弧AD所对的圆周角，∴∠ACD=∠ABD=60°。
在Rt△ADC中，∠ACD=60°，CD=2，∠CAD=30°，
∴AC=2CD=4（30°角所对直角边是斜边一半），
∴AD=√(AC²-CD²)=√(4²-2²)=√12=2√3。
∵∠ABD=60°，∠ABD与∠ACD均为弧AD所对的圆周角，∴∠ACD=∠ABD=60°。
在Rt△ADC中，∠ACD=60°，CD=2，∠CAD=30°，
∴AC=2CD=4（30°角所对直角边是斜边一半），
∴AD=√(AC²-CD²)=√(4²-2²)=√12=2√3。
5. 如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上。已知A(2,0)、D(4,0)，以点O为圆心、OD为半径的弧经过点B，交y轴的正半轴于点E，连接DE、BE，则∠BED的度数是()
A.15°
B.22.5°
C.30°
D.45°
A.15°
B.22.5°
C.30°
D.45°
答案
C
解析
∵矩形OABC，A(2,0)，设B(2,c)，D(4,0)，⊙O半径OD=4，
∴OB=OD=4，由OB=√(2²+c²)=4，得c=2√3，即B(2,2√3)。
∵E在y轴正半轴且OE=4，∴E(0,4)。
∵∠BOD=60°（tan∠BOD=2√3/2=√3），即弧BD所对圆心角为60°，
∴∠BED为弧BD所对圆周角，故∠BED=1/2∠BOD=30°。
6. (2024·宜宾)如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，则$\frac{AB+AC}{AD}$的值为()
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
A
解析
连接BD、CD。
∵BC是⊙O直径，∴∠BAC=∠BDC=90°（直径所对圆周角为直角）。
∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAD=45°。
∵∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD（等圆周角对等弧），∴BD=CD（等弧对等弦）。
∴△BDC是等腰直角三角形，BD=CD，BC=√2BD。
在圆内接四边形ABDC中，由托勒密定理得：AB·CD + AC·BD=AD·BC。
∵BD=CD，∴BD(AB + AC)=AD·BC。
∴(AB + AC)/AD=BC/BD=√2。
∵BC是⊙O直径，∴∠BAC=∠BDC=90°（直径所对圆周角为直角）。
∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAD=45°。
∵∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD（等圆周角对等弧），∴BD=CD（等弧对等弦）。
∴△BDC是等腰直角三角形，BD=CD，BC=√2BD。
在圆内接四边形ABDC中，由托勒密定理得：AB·CD + AC·BD=AD·BC。
∵BD=CD，∴BD(AB + AC)=AD·BC。
∴(AB + AC)/AD=BC/BD=√2。
7. (2025·苏州期末)四个半径为5的等圆与直线l的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线l的最大距离为8，则这个圆可能是。
答案
$O_3$
解析
设圆的半径为$R$，$R=5$。
题目中给出某个圆上的点到直线$l$的最大距离为8。
假设圆心到直线$l$的距离为$d$，则圆上距离直线$l$最远的点的距离为$d+R$。
根据题意，$d+R=8$，即$d+5=8$，所以$d=3$。
根据图示，圆心$O_1$到直线$l$的距离为5（圆心到直线$l$的距离等于半径），不符合$d=3$的条件。
圆心$O_2$在直线$l$上，所以距离为0，不符合$d=3$的条件。
圆心$O_3$到直线$l$的距离为3，符合$d=3$的条件。
圆心$O_4$到直线$l$的距离为5，不符合$d=3$的条件。
因此，符合条件的圆是$O_3$所在的圆。
题目中给出某个圆上的点到直线$l$的最大距离为8。
假设圆心到直线$l$的距离为$d$，则圆上距离直线$l$最远的点的距离为$d+R$。
根据题意，$d+R=8$，即$d+5=8$，所以$d=3$。
根据图示，圆心$O_1$到直线$l$的距离为5（圆心到直线$l$的距离等于半径），不符合$d=3$的条件。
圆心$O_2$在直线$l$上，所以距离为0，不符合$d=3$的条件。
圆心$O_3$到直线$l$的距离为3，符合$d=3$的条件。
圆心$O_4$到直线$l$的距离为5，不符合$d=3$的条件。
因此，符合条件的圆是$O_3$所在的圆。
8. (2023·襄阳)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上。若∠ADE=70°，则∠AOC=°。
答案
140
解析
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE=70°，
∴∠ABC=∠ADE=70°（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∴∠AOC=2∠ABC=140°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∴∠ABC=∠ADE=70°（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∴∠AOC=2∠ABC=140°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
9. 已知△ABC的三边长a、b、c满足$a+b^{2}+|c-6|+28=4\sqrt{a-1}+10b$，则△ABC的外接圆的半径为。
答案
$\frac{25}{8}$
解析
由已知等式$a + b^2 + |c - 6| + 28 = 4\sqrt{a - 1} + 10b$，移项配方得：
$(\sqrt{a - 1} - 2)^2 + (b - 5)^2 + |c - 6| = 0$
因非负数和为0，故$\sqrt{a - 1}=2$，$b=5$，$c=6$，解得$a=5$，$b=5$，$c=6$。
△ABC为等腰三角形，腰长5，底边6。过顶点作高，得高为4，底角正弦值$\sin B=\frac{4}{5}$。
由正弦定理$\frac{b}{\sin B}=2R$，即$\frac{5}{\frac{4}{5}}=2R$，解得$R=\frac{25}{8}$。
$(\sqrt{a - 1} - 2)^2 + (b - 5)^2 + |c - 6| = 0$
因非负数和为0，故$\sqrt{a - 1}=2$，$b=5$，$c=6$，解得$a=5$，$b=5$，$c=6$。
△ABC为等腰三角形，腰长5，底边6。过顶点作高，得高为4，底角正弦值$\sin B=\frac{4}{5}$。
由正弦定理$\frac{b}{\sin B}=2R$，即$\frac{5}{\frac{4}{5}}=2R$，解得$R=\frac{25}{8}$。
