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10. 如图，AC是⊙O的弦，AC=5，B是⊙O上的一个动点，且∠ABC=45°，M、N分别是AC、BC的中点，则MN长的最大值是。
答案
5√2/2
解析
∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN=1/2AB。要使MN最大，需AB最大。
∵A、B、C在⊙O上，∠ABC=45°，AC=5，由正弦定理：AC/sin∠ABC=2R（R为⊙O半径），即5/sin45°=2R。
∵sin45°=√2/2，∴5/(√2/2)=2R，解得2R=5√2（⊙O直径）。
AB为⊙O弦，最大值为直径5√2，∴MN最大值=1/2×5√2=5√2/2。
∵A、B、C在⊙O上，∠ABC=45°，AC=5，由正弦定理：AC/sin∠ABC=2R（R为⊙O半径），即5/sin45°=2R。
∵sin45°=√2/2，∴5/(√2/2)=2R，解得2R=5√2（⊙O直径）。
AB为⊙O弦，最大值为直径5√2，∴MN最大值=1/2×5√2=5√2/2。
11. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以点A为圆心，AB为半径画弧，交AC的延长线于点D，过点C作CE//AB，交$\overgroup{BD}$于点E，连接BE，则$\frac{CE}{BE}$的值为。
答案
√2/2
解析
设AC=BC=a，△ABC为等腰直角三角形，AB=√2a。以A为圆心、AB为半径作圆，AD=AB=√2a。建立坐标系，C(0,0)，A(0,a)，B(a,0)，圆A方程x²+(y-a)²=2a²。CE//AB，AB斜率为-1，故CE方程y=-x。联立圆方程与y=-x，解得E((√3-1)a/2,(1-√3)a/2)。计算CE=√[((√3-1)a/2)²+((1-√3)a/2)²]=(√3-1)a/√2，BE=√[(a-(√3-1)a/2)²+(0-(1-√3)a/2)²]=(√3-1)a。则CE/BE=1/√2=√2/2。
12. (新考法·开放题)(2024·潍坊)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO//BC，连接CO并延长，交⊙O于点D，分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M，直线OM交BC于点E，连接AE。有下列结论：①$\overgroup{AB}=\overgroup{AD}$；②AB=OE；③∠AOD=∠BAC；④四边形AOCE为菱形。其中，一定正确的是(填序号)。
答案
①④
解析
①连接OB，∵AO//BC，∴∠OAC=∠ACB。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACB=∠OCA。∵∠AOD=2∠OCA（圆心角是圆周角2倍），∠AOB=2∠ACB（圆心角是圆周角2倍），∴∠AOB=∠AOD，∴$\overgroup{AB}=\overgroup{AD}$，①正确。
②设OA=R，∠OCA=α，则AB=2Rsinα，OE=2Rcosα，仅当α=45°时AB=OE，非一定成立，②错误。
③∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)，∠AOD=2α，仅特定角度时相等，非一定成立，③错误。
④∵OM垂直平分AC，∴AE=CE，∠AFO=∠CFO=90°。∵AO//BC，∴∠OAF=∠ECF，又AF=FC，∴△AOF≌△ECF（ASA），∴AO=EC，OF=EF。∵OA=OC，∴AO=EC=AE=OC，∴四边形AOCE为菱形，④正确。
13. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，$\overgroup{AB}=\overgroup{BF}$，CE=1，AB=6，求弦AF的长。
答案
$\frac{48}{5}$
解析
连接OA、OB、OF，设⊙O半径为r。
∵CD为直径，AB⊥CD于E，AB=6，∴AE=BE=3，OE=r-CE=r-1（CE=1）。
在Rt△OEA中，OA²=OE²+AE²，即r²=(r-1)²+3²，解得r=5。
∴OE=5-1=4，⊙O半径为5。
建立坐标系：以O为原点，CD为x轴，E(-4,0)，A(-4,3)，B(-4,-3)。
∵$\overgroup{AB}=\overgroup{BF}$，∴∠AOB=∠BOF。设F(x,y)，OB=(-4,-3)，OF=(x,y)。
由向量点积：OB·OF=(-4)x+(-3)y=|OB||OF|cos∠AOB=5×5×$\frac{(-4)(-4)+3×(-3)}{5×5}$=7，即-4x-3y=7。
又x²+y²=25，联立解得F($\frac{44}{25}$,-$\frac{117}{25}$)（舍B点对称点）。
AF=$\sqrt{(-4-\frac{44}{25})^2+(3+\frac{117}{25})^2}$=$\sqrt{(\frac{-144}{25})^2+(\frac{192}{25})^2}$=$\frac{240}{25}$=$\frac{48}{5}$。
∵CD为直径，AB⊥CD于E，AB=6，∴AE=BE=3，OE=r-CE=r-1（CE=1）。
在Rt△OEA中，OA²=OE²+AE²，即r²=(r-1)²+3²，解得r=5。
∴OE=5-1=4，⊙O半径为5。
建立坐标系：以O为原点，CD为x轴，E(-4,0)，A(-4,3)，B(-4,-3)。
∵$\overgroup{AB}=\overgroup{BF}$，∴∠AOB=∠BOF。设F(x,y)，OB=(-4,-3)，OF=(x,y)。
由向量点积：OB·OF=(-4)x+(-3)y=|OB||OF|cos∠AOB=5×5×$\frac{(-4)(-4)+3×(-3)}{5×5}$=7，即-4x-3y=7。
又x²+y²=25，联立解得F($\frac{44}{25}$,-$\frac{117}{25}$)（舍B点对称点）。
AF=$\sqrt{(-4-\frac{44}{25})^2+(3+\frac{117}{25})^2}$=$\sqrt{(\frac{-144}{25})^2+(\frac{192}{25})^2}$=$\frac{240}{25}$=$\frac{48}{5}$。
14. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC=CB，连接DA并延长，与⊙O交于点E，连接AC、CE。
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长。
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长。
答案
（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角）。
∵D在BC延长线上，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°。
∵DC=CB，∴AC垂直平分BD。
∴AD=AB（垂直平分线上的点到两端距离相等）。
∴∠B=∠D（等边对等角）。
（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∴AC²+BC²=AB²=16。
设AC=x，∵BC-AC=2，∴BC=x+2。
则x²+(x+2)²=16，解得x=√7-1（负值舍去）。
∴AC=√7-1，BC=√7+1。
∵∠B=∠AEC（同弧AC所对圆周角相等），∠B=∠D，∴∠D=∠AEC。
又∠DCE=∠ECA，∴△DCE∽△ECA。
∴CE/CA=CD/CE，即CE²=CA·CD。
∵CD=CB=√7+1，∴CE²=(√7-1)(√7+1)=6。
∴CE=√6。
∵D在BC延长线上，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°。
∵DC=CB，∴AC垂直平分BD。
∴AD=AB（垂直平分线上的点到两端距离相等）。
∴∠B=∠D（等边对等角）。
（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∴AC²+BC²=AB²=16。
设AC=x，∵BC-AC=2，∴BC=x+2。
则x²+(x+2)²=16，解得x=√7-1（负值舍去）。
∴AC=√7-1，BC=√7+1。
∵∠B=∠AEC（同弧AC所对圆周角相等），∠B=∠D，∴∠D=∠AEC。
又∠DCE=∠ECA，∴△DCE∽△ECA。
∴CE/CA=CD/CE，即CE²=CA·CD。
∵CD=CB=√7+1，∴CE²=(√7-1)(√7+1)=6。
∴CE=√6。
