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9. 从不等式组$\left\{\begin{array}{l} x-3(x-2)≤4,\\ \frac {2+2x}{3}≥x-1\end{array}\right. $的所有整数解中任取一个数,它是偶数的概率为.
答案
$\frac{2}{5}$
解析
解不等式组：
解$x - 3(x - 2) \leq 4$，得$x - 3x + 6 \leq 4$，$-2x \leq -2$，$x \geq 1$；
解$\frac{2 + 2x}{3} \geq x - 1$，得$2 + 2x \geq 3x - 3$，$-x \geq -5$，$x \leq 5$。
所以不等式组的解集为$1 \leq x \leq 5$，整数解为1，2，3，4，5，共5个。其中偶数为2，4，共2个。概率为$\frac{2}{5}$。
解$x - 3(x - 2) \leq 4$，得$x - 3x + 6 \leq 4$，$-2x \leq -2$，$x \geq 1$；
解$\frac{2 + 2x}{3} \geq x - 1$，得$2 + 2x \geq 3x - 3$，$-x \geq -5$，$x \leq 5$。
所以不等式组的解集为$1 \leq x \leq 5$，整数解为1，2，3，4，5，共5个。其中偶数为2，4，共2个。概率为$\frac{2}{5}$。
10. 取5张看上去无差别的卡片,分别在正面写上数字1、2、3、4、5,现把它们洗匀并正面朝下摆放在桌面上.从中任意抽出1张,记卡片上的数字为m,求数字m使分式方程$\frac {x}{x-1}-1=\frac {m}{(x-1)(x+2)}$无解的概率.
答案
$\frac{1}{5}$
解析
解：
1. 解分式方程：
原方程为$\frac{x}{x-1}-1=\frac{m}{(x-1)(x+2)}$，两边同乘最简公分母$(x-1)(x+2)$，得：
$x(x+2)-(x-1)(x+2)=m$。
2. 化简整式方程：
展开并整理左边：
$x(x+2)-(x-1)(x+2)=x^2+2x-(x^2+x-2)=x+2$，
故整式方程为$x+2=m$，解得$x=m-2$。
3. 确定方程无解的条件：
分式方程无解需整式方程的解为增根。原方程的增根使分母为0，即$x-1=0$或$x+2=0$，解得$x=1$或$x=-2$。
当$x=1$时，$m-2=1\Rightarrow m=3$；
当$x=-2$时，$m-2=-2\Rightarrow m=0$（$m=0$不在卡片数字中，舍去）。
4. 计算概率：
卡片数字为1,2,3,4,5，共5种等可能结果，其中使方程无解的$m=3$，共1种结果。
概率为$\frac{1}{5}$。
1. 解分式方程：
原方程为$\frac{x}{x-1}-1=\frac{m}{(x-1)(x+2)}$，两边同乘最简公分母$(x-1)(x+2)$，得：
$x(x+2)-(x-1)(x+2)=m$。
2. 化简整式方程：
展开并整理左边：
$x(x+2)-(x-1)(x+2)=x^2+2x-(x^2+x-2)=x+2$，
故整式方程为$x+2=m$，解得$x=m-2$。
3. 确定方程无解的条件：
分式方程无解需整式方程的解为增根。原方程的增根使分母为0，即$x-1=0$或$x+2=0$，解得$x=1$或$x=-2$。
当$x=1$时，$m-2=1\Rightarrow m=3$；
当$x=-2$时，$m-2=-2\Rightarrow m=0$（$m=0$不在卡片数字中，舍去）。
4. 计算概率：
卡片数字为1,2,3,4,5，共5种等可能结果，其中使方程无解的$m=3$，共1种结果。
概率为$\frac{1}{5}$。
11. 有四张正面分别标有数-1、0、2、3的不透明卡片,它们除数不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,将该卡片上的数记为a.求使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac {3x-2}{2}＜x+1,\\ ax＞8\end{array}\right. $有解的概率.
答案
$\frac{1}{2}$
解析
解：不等式组为$\left\{\begin{array}{l} \frac {3x-2}{2}＜x+1,\\ ax＞8\end{array}\right.$
解第一个不等式：$\frac{3x-2}{2}＜x+1$
两边同乘2：$3x-2＜2x+2$
移项：$x＜4$
第二个不等式$ax＞8$，a的可能取值为-1、0、2、3，分情况讨论：
1. 当$a=-1$时，不等式为$-x＞8$，解得$x＜-8$。
与第一个不等式解集$x＜4$的交集为$x＜-8$，有解。
2. 当$a=0$时，不等式为$0＞8$，无解。
3. 当$a=2$时，不等式为$2x＞8$，解得$x＞4$。
与第一个不等式解集$x＜4$无交集，无解。
4. 当$a=3$时，不等式为$3x＞8$，解得$x＞\frac{8}{3}$。
与第一个不等式解集$x＜4$的交集为$\frac{8}{3}＜x＜4$，有解。
综上，使不等式组有解的a值为-1、3，共2种情况。
总基本事件数为4，故概率$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
解第一个不等式：$\frac{3x-2}{2}＜x+1$
两边同乘2：$3x-2＜2x+2$
移项：$x＜4$
第二个不等式$ax＞8$，a的可能取值为-1、0、2、3，分情况讨论：
1. 当$a=-1$时，不等式为$-x＞8$，解得$x＜-8$。
与第一个不等式解集$x＜4$的交集为$x＜-8$，有解。
2. 当$a=0$时，不等式为$0＞8$，无解。
3. 当$a=2$时，不等式为$2x＞8$，解得$x＞4$。
与第一个不等式解集$x＜4$无交集，无解。
4. 当$a=3$时，不等式为$3x＞8$，解得$x＞\frac{8}{3}$。
与第一个不等式解集$x＜4$的交集为$\frac{8}{3}＜x＜4$，有解。
综上，使不等式组有解的a值为-1、3，共2种情况。
总基本事件数为4，故概率$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
12. 甲、乙是两个不透明的纸箱,甲箱中有三张分别标有数$\frac {1}{4}$、$\frac {1}{2}$、1的卡片,乙箱中有三张分别标有数1、2、3的卡片,卡片除所标数外无其他差别.现制定一个游戏规则:从甲箱中任取一张卡片,将其数记为a,从乙箱中任取一张卡片,将其数记为b.若a、b能使关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1=0$有两个不相等的实数根,则小明获胜;否则,小华获胜.求小华获胜的概率.
答案
$\frac{4}{9}$
解析
解：
1. 确定判别式条件：
方程 $ax^2 + bx + 1 = 0$ 的判别式为 $\Delta = b^2 - 4a$。
小华获胜的条件是 $\Delta \leq 0$，即 $b^2 - 4a \leq 0$，化简得 $4a \geq b^2$。
2. 列出所有可能结果：
甲箱 $a$ 有 3 种取值：$\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1$；乙箱 $b$ 有 3 种取值：1, 2, 3。
总共有 $3 × 3 = 9$ 种等可能结果：
$(\frac{1}{4},1), (\frac{1}{4},2), (\frac{1}{4},3), (\frac{1}{2},1), (\frac{1}{2},2), (\frac{1}{2},3), (1,1), (1,2), (1,3)$。
3. 筛选满足 $4a \geq b^2$ 的结果：
$(\frac{1}{4},1)$：$4a = 1$，$b^2 = 1$，$1 \geq 1$，满足；
$(\frac{1}{2},1)$：$4a = 2$，$b^2 = 1$，$2 \geq 1$，满足；
$(1,1)$：$4a = 4$，$b^2 = 1$，$4 \geq 1$，满足；
$(1,2)$：$4a = 4$，$b^2 = 4$，$4 \geq 4$，满足。
共 4 种满足条件的结果。
4. 计算概率：
小华获胜的概率为 $\frac{满足条件的结果数}{总结果数} = \frac{4}{9}$。
1. 确定判别式条件：
方程 $ax^2 + bx + 1 = 0$ 的判别式为 $\Delta = b^2 - 4a$。
小华获胜的条件是 $\Delta \leq 0$，即 $b^2 - 4a \leq 0$，化简得 $4a \geq b^2$。
2. 列出所有可能结果：
甲箱 $a$ 有 3 种取值：$\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1$；乙箱 $b$ 有 3 种取值：1, 2, 3。
总共有 $3 × 3 = 9$ 种等可能结果：
$(\frac{1}{4},1), (\frac{1}{4},2), (\frac{1}{4},3), (\frac{1}{2},1), (\frac{1}{2},2), (\frac{1}{2},3), (1,1), (1,2), (1,3)$。
3. 筛选满足 $4a \geq b^2$ 的结果：
$(\frac{1}{4},1)$：$4a = 1$，$b^2 = 1$，$1 \geq 1$，满足；
$(\frac{1}{2},1)$：$4a = 2$，$b^2 = 1$，$2 \geq 1$，满足；
$(1,1)$：$4a = 4$，$b^2 = 1$，$4 \geq 1$，满足；
$(1,2)$：$4a = 4$，$b^2 = 4$，$4 \geq 4$，满足。
共 4 种满足条件的结果。
4. 计算概率：
小华获胜的概率为 $\frac{满足条件的结果数}{总结果数} = \frac{4}{9}$。
