8. 如图，在△ABC和△EDF中，∠B=∠D=90°，点A，E，C，F在同一条直线上，AE=CF，BC的延长线交DF于点M，∠MCF=∠F.求证：BC=DF.
答案
8.
∵∠MCF=∠F，∠MCF=∠ACB，
∴∠ACB=∠F.
∵AE=CF，
∴AE+EC=CF+EC，即AC=EF.在△ABC和
△EDF中，$\begin{cases}∠B=∠D,\\∠ACB=∠F,\ AC=EF,\end{cases}$
∴△ABC≌△EDF(AAS)，
∴BC=DF
∵∠MCF=∠F，∠MCF=∠ACB，
∴∠ACB=∠F.
∵AE=CF，
∴AE+EC=CF+EC，即AC=EF.在△ABC和
△EDF中，$\begin{cases}∠B=∠D,\\∠ACB=∠F,\ AC=EF,\end{cases}$
∴△ABC≌△EDF(AAS)，
∴BC=DF
9. （2023·营口改编）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，AE//BF，∠ECD=∠FDC，连接CF，DE.
（1）求证：CE=DF；
（2）若AB=8，AC=2，求CD的长.
（1）求证：CE=DF；
（2）若AB=8，AC=2，求CD的长.
答案
9.(1)
∵AE//BF，
∴∠A=∠B.
∵∠ACE+∠ECD=180°，
∠BDF+∠FDC=180°，∠ECD=∠FDC，
∴∠ACE=
∠BDF.在△ACE和△BDF中，$\begin{cases}∠A=∠B,\\∠ACE=∠BDF,\\AE=BF,\end{cases}$
∴△ACE≌△BDF(AAS)，
∴CE=DF (2)由(1)知，
△ACE≌△BDF，
∴AC=BD=2.
∵AB=8，
∴CD=AB-
AC-BD=4，
∴CD的长为4
∵AE//BF，
∴∠A=∠B.
∵∠ACE+∠ECD=180°，
∠BDF+∠FDC=180°，∠ECD=∠FDC，
∴∠ACE=
∠BDF.在△ACE和△BDF中，$\begin{cases}∠A=∠B,\\∠ACE=∠BDF,\\AE=BF,\end{cases}$
∴△ACE≌△BDF(AAS)，
∴CE=DF (2)由(1)知，
△ACE≌△BDF，
∴AC=BD=2.
∵AB=8，
∴CD=AB-
AC-BD=4，
∴CD的长为4
10. 如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB//CD，∠ABE=∠CDF，AF+AE=AC.
(1)①△ABE≌
②△BCE≌
③△ABC≌
(2)对(1)中的①②加以证明.
]
(1)①△ABE≌
△CDF
；②△BCE≌
△DAF
；③△ABC≌
△CDA
.(2)对(1)中的①②加以证明.
]答案
10.(1)①△CDF ②△DAF ③△CDA (2)①
∵AB//
CD，
∴∠BAE=∠DCF.
∵AF+AE=AC，
∴AE=AC-
AF=CF.在△ABE和△CDF中，$\begin{cases}∠ABE=∠CDF,\\∠BAE=∠DCF,\\AE=CF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(AAS) ②
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，BE=DF，
∴∠BEC=∠DFA.
∵AF+
AE=AC，CE+AE=AC，
∴AF=CE.在△BCE和△DAF中，
$\begin{cases}BE=DF,\\∠BEC=∠DFA,\\CE=AF,\end{cases}$
∵AB//
CD，
∴∠BAE=∠DCF.
∵AF+AE=AC，
∴AE=AC-
AF=CF.在△ABE和△CDF中，$\begin{cases}∠ABE=∠CDF,\\∠BAE=∠DCF,\\AE=CF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(AAS) ②
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，BE=DF，
∴∠BEC=∠DFA.
∵AF+
AE=AC，CE+AE=AC，
∴AF=CE.在△BCE和△DAF中，
$\begin{cases}BE=DF,\\∠BEC=∠DFA,\\CE=AF,\end{cases}$
