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1. 已知P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为()
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
答案
B
解析
过圆内一点的最长弦为直径，故⊙O直径为10cm，半径r=5cm。最短弦与OP垂直，设最短弦为AB，AB=6cm，OP⊥AB于P，则AP=3cm。在Rt△OAP中，OA²=AP²+OP²，即5²=3²+OP²，解得OP=4cm。
2. (2024·龙东地区)如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径.若∠B=25°，则∠CAD等于()
A.50°
B.55°
C.65°
D.70°
A.50°
B.55°
C.65°
D.70°
答案
C
解析
1. 连接 $ C D $。
$ AD $ 是直径，因此 $ \angle ACD = 90° $。
2. $ \angle D = \angle B = 25° $（同弧所对的圆周角相等）。
3. $ \angle CAD = 90° - \angle D = 90° - 25° = 65° $。
$ AD $ 是直径，因此 $ \angle ACD = 90° $。
2. $ \angle D = \angle B = 25° $（同弧所对的圆周角相等）。
3. $ \angle CAD = 90° - \angle D = 90° - 25° = 65° $。
3. (2023·杭州)如图，在⊙O中，半径OA、OB互相垂直，点C在$\overset{\frown}{AB}$上.若∠ABC=19°，则∠BAC的度数为()
A.23°
B.24°
C.25°
D.26°
A.23°
B.24°
C.25°
D.26°
答案
D
解析
连接OC。
∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=1/2∠AOB=45°（同弧所对圆周角是圆心角一半）。
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-19°-45°=116°。（此步错误，重新分析）
（正确思路）：∵OA=OB，OA⊥OB，∴∠OAB=∠OBA=45°。
∠AOC=2∠ABC=38°（同弧所对圆心角是圆周角两倍），
∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-38°=52°，
∠BAC=1/2∠BOC=26°（同弧所对圆周角是圆心角一半）。
∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=1/2∠AOB=45°（同弧所对圆周角是圆心角一半）。
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-19°-45°=116°。（此步错误，重新分析）
（正确思路）：∵OA=OB，OA⊥OB，∴∠OAB=∠OBA=45°。
∠AOC=2∠ABC=38°（同弧所对圆心角是圆周角两倍），
∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-38°=52°，
∠BAC=1/2∠BOC=26°（同弧所对圆周角是圆心角一半）。
4. (2024·广州)如图，在⊙O中，弦AB的长为$4\sqrt{3}$，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是.
答案
点P在⊙O外
解析
设⊙O的半径为r，OC与AB交于点D。
∵OC⊥AB，AB=4√3，∴AD=DB=2√3（垂径定理）。
设OD=x，则在Rt△ODB中，x²+(2√3)²=r²，即x²+12=r²①。
∵∠ABC=30°，∠BDC=90°，∴在Rt△BDC中，tan30°=DC/DB，DC=DB·tan30°=2√3×(√3/3)=2。
∵OC=r，OD=x，∴DC=r-x=2，即x=r-2②。
将②代入①：(r-2)²+12=r²，解得r=4。
∵OP=5＞r=4，∴点P在⊙O外。
∵OC⊥AB，AB=4√3，∴AD=DB=2√3（垂径定理）。
设OD=x，则在Rt△ODB中，x²+(2√3)²=r²，即x²+12=r²①。
∵∠ABC=30°，∠BDC=90°，∴在Rt△BDC中，tan30°=DC/DB，DC=DB·tan30°=2√3×(√3/3)=2。
∵OC=r，OD=x，∴DC=r-x=2，即x=r-2②。
将②代入①：(r-2)²+12=r²，解得r=4。
∵OP=5＞r=4，∴点P在⊙O外。
5. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1，点O、A、B、C在格点(两条网格线的交点叫做格点)处，以O为原点建立平面直角坐标系，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为.
答案
(0,-1)
解析
由图可知，点A(0,1)，B(2,-1)，C(-2,-1)。设圆心坐标为(x,y)，根据圆心到圆上各点距离相等，可得：
$\begin{cases}x^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \\x^2 + (y - 1)^2 = (x + 2)^2 + (y + 1)^2\end{cases}$
化简第一个方程：$x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1$，得$-4y + 4x - 4 = 0$，即$x - y = 1$；
化简第二个方程：$x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 4x + 4 + y^2 + 2y + 1$，得$-4y - 4x - 4 = 0$，即$x + y = -1$；
联立$\begin{cases}x - y = 1 \\ x + y = -1\end{cases}$，解得$x=0$，$y=-1$。
$\begin{cases}x^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \\x^2 + (y - 1)^2 = (x + 2)^2 + (y + 1)^2\end{cases}$
化简第一个方程：$x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1$，得$-4y + 4x - 4 = 0$，即$x - y = 1$；
化简第二个方程：$x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 4x + 4 + y^2 + 2y + 1$，得$-4y - 4x - 4 = 0$，即$x + y = -1$；
联立$\begin{cases}x - y = 1 \\ x + y = -1\end{cases}$，解得$x=0$，$y=-1$。
6. 如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC=CD，∠DAC=35°，∠ACD=45°，则∠ADB的度数为.
答案
65
解析
在△ADC中，∠DAC=35°，∠ACD=45°，则∠ADC=180°-35°-45°=100°。
∵BC=CD，∴弧BC=弧CD，故它们所对的圆周角∠BAC=∠DAC=35°。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC=180°-∠ADC=80°（圆内接四边形对角互补）。
在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-35°-80°=65°。
∵∠ACD=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=65°+45°=110°。
∵BC=CD，∴△BCD为等腰三角形，∠CDB=(180°-∠BCD)/2=(180°-110°)/2=35°。
∵∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠ADB=∠ADC-∠CDB=100°-35°=65°。
∵BC=CD，∴弧BC=弧CD，故它们所对的圆周角∠BAC=∠DAC=35°。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC=180°-∠ADC=80°（圆内接四边形对角互补）。
在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-35°-80°=65°。
∵∠ACD=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=65°+45°=110°。
∵BC=CD，∴△BCD为等腰三角形，∠CDB=(180°-∠BCD)/2=(180°-110°)/2=35°。
∵∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠ADB=∠ADC-∠CDB=100°-35°=65°。
7. 求证：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧.
答案
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
证明：连接OA、OB。
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB。
∵CD⊥AB，
∴△OAB是等腰三角形，OE是底边AB上的高。
根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE。
∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴弧AD=弧BD。
∵CD是直径，
∴弧CAD=弧CBD。
∵弧CAD=弧CA+弧AD，弧CBD=弧CB+弧BD，且弧AD=弧BD，
∴弧CA=弧CB。
综上，垂直于弦AB的直径CD平分弦AB以及弦所对的两条弧AC、BC和AD、BD。
求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
证明：连接OA、OB。
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB。
∵CD⊥AB，
∴△OAB是等腰三角形，OE是底边AB上的高。
根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE。
∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴弧AD=弧BD。
∵CD是直径，
∴弧CAD=弧CBD。
∵弧CAD=弧CA+弧AD，弧CBD=弧CB+弧BD，且弧AD=弧BD，
∴弧CA=弧CB。
综上，垂直于弦AB的直径CD平分弦AB以及弦所对的两条弧AC、BC和AD、BD。
