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8. (2024·吴中区一模)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=5$,$BC=4$,$E$是$AC$边上的动点,以$CE$为直径作$\odot F$,连接$BE$交$\odot F$于点$D$,连接$AD$,则$AD$长的最小值为.
答案
$\sqrt{29}-2$
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=5$，$BC=4$。以$CE$为直径作$\odot F$，点$D$在$\odot F$上，故$\angle CDE=90^{\circ}$（直径所对圆周角为直角），即$CD\perp BE$，则$\angle CDB=90^{\circ}$。因此，点$D$在以$BC$为直径的圆上（直角顶点轨迹为斜边为直径的圆），圆心$M$为$BC$中点，半径$r=\frac{BC}{2}=2$。
$BC=4$，$M$为$BC$中点，故$CM=2$。在$Rt\triangle ACM$中，$AC=5$，$CM=2$，则$AM=\sqrt{AC^{2}+CM^{2}}=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}$。
$AD$最小值为点$A$到圆$M$上点的最短距离，即$AM - r=\sqrt{29}-2$。
$BC=4$，$M$为$BC$中点，故$CM=2$。在$Rt\triangle ACM$中，$AC=5$，$CM=2$，则$AM=\sqrt{AC^{2}+CM^{2}}=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}$。
$AD$最小值为点$A$到圆$M$上点的最短距离，即$AM - r=\sqrt{29}-2$。
9. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(0,1)$、$B(0,1+t)$、$C(0,1-t)(t\gt0)$,点$P$在以点$D(4,4)$为圆心、$1$为半径的圆上运动,且始终满足$\angle BPC=90^{\circ}$,则$t$的最小值为,$t$的最大值为.
答案
$t$的最小值为4，$t$的最大值为6。
解析
点$A(0,1)$为$B,C$的中点，所以$A$是$B,C$的中点，且$AB=t$。
因为$\angle BPC=90°$，所以点$P$在以$A$为圆心，$BC$为直径的圆上运动，即$P$满足圆的方程$x^2+(y-1)^2=t^2$。
同时，点$P$在以点$D(4,4)$为圆心，1为半径的圆上运动，即$P$满足圆的方程$(x-4)^2+(y-4)^2=1$。
两圆有公共点，即两圆相切或相交，需满足圆心距离$|AD|$满足：
$|t-1|\leq|AD|\leq t+1$。
其中，$|AD|=\sqrt{(4-0)^2+(4-1)^2}=5$，代入不等式：
$|t-1|\leq5\leq t+1$。
解不等式：
$|t-1|\leq5$，即$-5\leq t-1\leq5$，解得$-4\leq t\leq6$；
$5\leq t+1$，即$t\geq4$。
结合$t＞0$，所以$t$的范围为$4\leq t\leq6$。
因此，$t$的最小值为4，最大值为6。
因为$\angle BPC=90°$，所以点$P$在以$A$为圆心，$BC$为直径的圆上运动，即$P$满足圆的方程$x^2+(y-1)^2=t^2$。
同时，点$P$在以点$D(4,4)$为圆心，1为半径的圆上运动，即$P$满足圆的方程$(x-4)^2+(y-4)^2=1$。
两圆有公共点，即两圆相切或相交，需满足圆心距离$|AD|$满足：
$|t-1|\leq|AD|\leq t+1$。
其中，$|AD|=\sqrt{(4-0)^2+(4-1)^2}=5$，代入不等式：
$|t-1|\leq5\leq t+1$。
解不等式：
$|t-1|\leq5$，即$-5\leq t-1\leq5$，解得$-4\leq t\leq6$；
$5\leq t+1$，即$t\geq4$。
结合$t＞0$，所以$t$的范围为$4\leq t\leq6$。
因此，$t$的最小值为4，最大值为6。
10. 如图,以点$G(0,1)$为圆心、$2$为半径的圆与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于$C$、$D$两点,$E$为$\odot G$上一动点,$CF\perp AE$于点$F$.当点$E$从点$B$出发按顺时针方向运动到点$D$时,求点$F$所经过的路径长.
答案
$ \frac{\sqrt{3}\pi}{3} $
解析
解：
1. 确定圆G的方程及交点坐标
圆G：圆心$ G(0,1) $，半径2，方程为$ x^2 + (y-1)^2 = 4 $。
与x轴交于$ A(-\sqrt{3},0) $，$ B(\sqrt{3},0) $（令$ y=0 $解得）；
与y轴交于$ C(0,3) $，$ D(0,-1) $（令$ x=0 $解得）。
2. F点轨迹分析
因$ CF \perp AE $，则$ \angle AFC = 90° $，故F在以$ AC $为直径的圆M上（直角对直径）。
$ AC $中点$ M $（圆心）：$ \left( \frac{-\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+3}{2} \right) = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right) $；
半径$ r = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{(-\sqrt{3}-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{3} $。
3. 确定F点起点与终点
当$ E=B(\sqrt{3},0) $时，$ AE $为x轴，$ CF \perp x $轴（y轴），交点$ F=O(0,0) $；
当$ E=D(0,-1) $时，$ AE $斜率为$ -\frac{1}{\sqrt{3}} $，$ CF $斜率为$ \sqrt{3} $，联立方程解得$ F=A(-\sqrt{3},0) $。
4. 计算弧长
在圆M中，$ O(0,0) $、$ A(-\sqrt{3},0) $、$ M\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right) $构成等边三角形（$ MO=MA=OA=\sqrt{3} $），圆心角$ \angle OMA = 60° = \frac{\pi}{3} $。
弧长$ l = r\theta = \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}\pi}{3} $。
1. 确定圆G的方程及交点坐标
圆G：圆心$ G(0,1) $，半径2，方程为$ x^2 + (y-1)^2 = 4 $。
与x轴交于$ A(-\sqrt{3},0) $，$ B(\sqrt{3},0) $（令$ y=0 $解得）；
与y轴交于$ C(0,3) $，$ D(0,-1) $（令$ x=0 $解得）。
2. F点轨迹分析
因$ CF \perp AE $，则$ \angle AFC = 90° $，故F在以$ AC $为直径的圆M上（直角对直径）。
$ AC $中点$ M $（圆心）：$ \left( \frac{-\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+3}{2} \right) = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right) $；
半径$ r = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{(-\sqrt{3}-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{3} $。
3. 确定F点起点与终点
当$ E=B(\sqrt{3},0) $时，$ AE $为x轴，$ CF \perp x $轴（y轴），交点$ F=O(0,0) $；
当$ E=D(0,-1) $时，$ AE $斜率为$ -\frac{1}{\sqrt{3}} $，$ CF $斜率为$ \sqrt{3} $，联立方程解得$ F=A(-\sqrt{3},0) $。
4. 计算弧长
在圆M中，$ O(0,0) $、$ A(-\sqrt{3},0) $、$ M\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right) $构成等边三角形（$ MO=MA=OA=\sqrt{3} $），圆心角$ \angle OMA = 60° = \frac{\pi}{3} $。
弧长$ l = r\theta = \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}\pi}{3} $。
11. 如图,$B$是线段$AC$的中点,过点$C$的直线$l$与$AC$成$60^{\circ}$的角,在直线$l$上取一点$P$,使得$\angle APB=30^{\circ}$,则满足条件的点$P$的个数是 ()
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$
答案
B
解析
以AB为弦，构造圆周角为30°的圆。设AC=2a，则AB=BC=a。根据圆周角定理，圆心在AB垂直平分线上，圆心角为60°，半径R=a，圆心到AB距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，得两个圆（AB上下各一个）。建立坐标系，设A(-a,0)，B(0,0)，C(a,0)，直线l过C与AC成60°，方程为$y=\sqrt{3}(x-a)$。联立圆方程与直线l，下方圆与直线l有两交点，上方圆无交点。故满足条件的点P有2个。
12. 如图,在等边三角形$ABC$中,$AB=6$,点$D$、$E$分别在边$BC$、$AC$上,且$BD=CE$,连接$AD$、$BE$交于点$F$,连接$CF$,求$CF$长的最小值.
答案
2√3
解析
解：
1. 证明∠AFB=120°为定值
在等边△ABC中，AB=BC=6，∠ABD=∠BCE=60°。设BD=CE=x，由SAS得△ABD≌△BCE，故∠BAD=∠CBE。设∠BAD=∠CBE=α，则∠ABF=60°-α，在△ABF中，∠AFB=180°-α-(60°-α)=120°，即∠AFB=120°为定值。
2. 确定点F的轨迹
定弦AB=6，∠AFB=120°，故F在以AB为弦的圆上（优弧AB）。设圆心为O，半径为R。AB中点M(0,0)，A(-3,0)，B(3,0)，C(0,3√3)。由圆周角定理，圆心角∠AOB=120°，由余弦定理得AB²=36=2R²-2R²cos120°，解得R=2√3。圆心O在AB垂直平分线（y轴）上，坐标为(0,-√3)。
3. 计算CF的最小值
点C(0,3√3)，圆心O(0,-√3)，CO=4√3。CF最小值为CO-R=4√3-2√3=2√3。
1. 证明∠AFB=120°为定值
在等边△ABC中，AB=BC=6，∠ABD=∠BCE=60°。设BD=CE=x，由SAS得△ABD≌△BCE，故∠BAD=∠CBE。设∠BAD=∠CBE=α，则∠ABF=60°-α，在△ABF中，∠AFB=180°-α-(60°-α)=120°，即∠AFB=120°为定值。
2. 确定点F的轨迹
定弦AB=6，∠AFB=120°，故F在以AB为弦的圆上（优弧AB）。设圆心为O，半径为R。AB中点M(0,0)，A(-3,0)，B(3,0)，C(0,3√3)。由圆周角定理，圆心角∠AOB=120°，由余弦定理得AB²=36=2R²-2R²cos120°，解得R=2√3。圆心O在AB垂直平分线（y轴）上，坐标为(0,-√3)。
3. 计算CF的最小值
点C(0,3√3)，圆心O(0,-√3)，CO=4√3。CF最小值为CO-R=4√3-2√3=2√3。
