8. 如图，AB是⊙O的直径，C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD，交CF于点G，连接CD、AD、BF.
(1) 求证：△BFG≌△CDG；
(2) 若AD=BE=2，求BF的长.

(2) $2\sqrt{3}$

(1) 证明：
∵C为$\overset{\frown}{BD}$中点，∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，∴∠BDC=∠BFC（等弧所对圆周角相等）。
∵CF⊥AB，AB为直径，∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AF}$（垂径定理），$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$（等弧对等弦），∴BF=BC。
又$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，∴BC=CD，∴BF=CD。
在△BFG和△CDG中，
$\begin{cases} ∠BGF=∠CGD（对顶角相等） \\ ∠BFG=∠CDG（已证） \\ BF=CD（已证） \end{cases}$，
∴△BFG≌△CDG（AAS）。
(2) 解：
设⊙O半径为r，则AB=2r。
∵AB为直径，∴∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△ADB中，AD=2，$BD^2=AB^2-AD^2=(2r)^2-2^2=4r^2-4$。
∵CF⊥AB，由垂径定理得CE=EF，设EF=CE=a，则CF=2a。
∵BE=2，OE=OB-BE=r-2，在Rt△OEF中，$EF^2=OF^2-OE^2=r^2-(r-2)^2=4r-4$，∴$EF=2\sqrt{r-1}$。
∵△BFG≌△CDG，∴BG=CG，FG=DG，设BG=CG=m，FG=DG=n，则BD=CF=m+n。
∵BD=$\sqrt{4r^2-4}=2\sqrt{r^2-1}$，CF=2EF=$4\sqrt{r-1}$，∴$2\sqrt{r^2-1}=4\sqrt{r-1}$，两边平方得$4(r^2-1)=16(r-1)$，化简得$r+1=4$，∴r=3。
∴BF=$2\sqrt{r}=2\sqrt{3}$。

9. (2023·重庆B卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC.若∠ACD=50°，则∠BAC的度数为()

A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

B

连接OC。
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∠OCD=90°。
∵∠ACD=50°，∴∠ACO=∠OCD - ∠ACD=90° - 50°=40°。
∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO=40°。

10. 如图，在矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、F.给出下列说法：①AC与BD的交点是⊙O的圆心；②AF与DE的交点是⊙O的圆心；③BC与⊙O相切.其中，正确的个数是()

A.0
B.1
C.2
D.3

C

建立坐标系，设矩形ABCD中A(0,0)，B(b,0)，C(b,c)，D(0,c)，G为BC中点则G(b,c/2)。圆O过A、D、G，设圆心O(x,y)。由OA=OD得圆心在AD垂直平分线y=c/2上，即y=c/2；由OA=OG得x=b/2 - c²/(8b)，故圆心O(b/2 - c²/(8b), c/2)。
①矩形对角线交点为(b/2,c/2)，与圆心O横坐䌷不同，错误。
②求AF与DE交点：圆与AB交于E(2x0,0)，与CD交于F(2x0,c)。AF方程y=[c/(2x0)]x，DE方程y=[-c/(2x0)]x + c，联立得交点(x0,c/2)即圆心，正确。
③BC为x=b，圆心到BC距离d=b - x0=b/2 + c²/(8b)，半径r=√(x0² + (c/2)²)=d，故BC与圆相切，正确。
正确说法为②③，共2个。

11. 如图，在扇形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE、BE，则∠AEB的度数为.

135°

设∠CAB=α，CA=CB，故∠CBA=α，∠ACB=180°-2α。CD⊥AB，∠ADC=90°，则∠ACD=90°-α。E是△ACD内心，AE平分∠CAD，∠CAE=α/2；CE平分∠ACD，∠ACE=(90°-α)/2。在△ACE中，∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=180°-α/2-(90°-α)/2=135°。AE平分∠CAB，∠EAB=α/2=∠EAC，又∠AEB=∠AEC=135°（△AEC∽△AEB）。

12. (2024·济宁)如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD=AC.E是⊙O外一点，∠BAE=∠CAD，∠ADE=∠ACB，连接BE.
(1) 若AB=8，求AE的长；
(2) 求证：EB是⊙O的切线.

(1) ∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠DAE=∠CAB。
又∵∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）。
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
∵AD=AC，∴$\frac{AD}{AC}=1$，∴$\frac{AE}{AB}=1$，即AE=AB。
∵AB=8，∴AE=8。
(2) 连接OB。
∵△ADE∽△ACB，∴∠AED=∠ABC。
∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB。
∵∠ACB是⊙O的圆周角，∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB（同弧所对圆周角是圆心角一半）。
∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=$\frac{180°-\angle AOB}{2}=90°-\frac{1}{2}\angle AOB=90°-\angle ACB$。
由(1)知∠ABE=∠ACB，∴∠OBE=∠OBA+∠ABE=90°-∠ACB+∠ACB=90°。
∴OB⊥EB，又OB是⊙O半径，∴EB是⊙O的切线。
(1) 8；(2) 证明见上。